【教育资料精选】2019年中考数学复习圆第30讲与圆有关的位置关系试题(含解析)

第30讲与圆有关的位置关系
1. (2012，河北)如图，A(－5，0)，B(－3，0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t s.
(1)求点C的坐标；
(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；
(3)以点P为圆心，PC的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．
第1题图
【思路分析】 (1)由∠CBO＝45°，∠COB为直角，得∠BCO＝45°.所以∠BCO＝∠CBO.可得OC＝OB＝3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标．(2)需要对点P的位置进行分类讨论．①当点P在点B右侧时，由∠BCO＝45°，用∠BCO－∠BCP求出∠PCO＝30°.又OC＝3，在Rt△POC中，求出OP的长．由PQ＝OQ＋OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.②当点P在点B左侧时，用∠BCO＋∠BCP求出∠PCO＝60°.又OC＝3，在Rt△POC中，求出OP的长，由PQ＝OQ＋OP求出运动的总路程，即可求出此时的时间t.(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，分三种情况讨论．①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP＝90°，由∠BCO＝45°，得到∠OCP＝45°，即此时△COP 为等腰直角三角形，可得出OP＝OC，由OC＝3，得到OP＝3，用OQ－OP求出点P运动的路程，即可得出此时的时间t.②当⊙P与CD相切于点C时，点P与点O重合，可得出点P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t.③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到A为切点，由PC＝PA，且PA＝9－t，PO＝t－4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t.综上，得到所有满足题意的时间t的值．
解：(1)∵∠CBO＝45°，∠COB＝90°，
∴∠BCO＝90°－45°＝45°.
∴∠BCO＝∠CBO.
∴OC＝OB＝3.
∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为(0，3)．
(2)分两种情况考虑．
①当点P在点B右侧时，如答图①.
∵∠BCP＝15°，∠BCO＝45°，
∴∠PCO＝30°.
∴OP＝CO·tan 30°＝ 3.
此时t＝4＋ 3.
②当点P在点B左侧时，如答图②.
∵∠BCP＝15°，∠BCO＝45°，∴∠PCO＝60°.
∴OP＝CO·tan 60°＝3 3.
此时t＝4＋3 3.
∴当∠BCP ＝15°时，t 的值为4＋3或4＋3 3.
(3)由题意，知若⊙P 与四边形ABCD 的边相切时，有以下三种情况． ①如答图③，当⊙P 与BC 相切于点C 时， 有∠BCP ＝90°.
∵∠BCO ＝45°，∴∠OCP ＝45°. ∴OP ＝3，此时t ＝1.
②如答图④，当⊙P 与CD 相切于点C 时， 有PC ⊥CD ，即点P 与点O 重合，此时t ＝4. ③如答图⑤，当⊙P 与AD 相切于点A 时， 有PC ＝PA .
∴PC 2＝PA 2＝(9－t )2，PO 2＝(t －4)2
.
∴(9－t )2＝(t －4)2＋32
. 解得t ＝5.6.
∴t 的值为1或4或5.6.
第1题答图
2. (2018，河北，导学号5892921)如图，点A 在数轴上表示的数为26，以原点O 为圆心，
OA 的长为半径作优弧，使点B 在点O 的右下方，且tan ∠AOB ＝4
3
，在优弧上任取一点P ，且能
过点P 作直线l ∥OB 交数轴于点Q ，设Q 在数轴上表示的数为x ，连接OP .
第2题图
(1)若优弧上的一段的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值； (2)求x 的最小值，并指出此时直线l 与所在圆的位置关系；
(3)若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值．
【思路分析】 (1)利用弧长公式求出圆心角的度数．利用PQ ∥OB ，得∠PQO ＝∠QOB .根据tan ∠AOB ＝43，得OP OQ ＝4
3，求出OQ 的长即可解决问题．(2)当点Q 在点O 的左边，直线PQ 与⊙O
相切时，x 的值最小．(3)因为P 是优弧上的任意一点，所以点P 的位置分三种情形，分别求
解即可解决问题．
解：(1)由π26
180
n ＝13π，解得n ＝90.
∴∠AOP ＝90°. ∵PQ ∥OB ，
∴∠PQO ＝∠QOB .
∴tan ∠PQO ＝tan ∠QOB ＝43＝OP
OQ .
∴OQ ＝392.
∴x ＝392
.
(2)如答图①.当点Q 在点O 的左边，直线PQ 与⊙O 相切时，x 的值最小． 在Rt △OPQ 中，OQ ＝OP ÷4
5
＝32.5，
此时x 的值为－32.5. (3)分三种情况：
①如答图②，过点O 作OH ⊥PQ 于点H . 设OH ＝4k ，QH ＝3k .
在Rt △OPH 中，∵OP 2＝OH 2＋PH 2
，
∴262＝(4k )2＋(3k －12.5)2
.
整理，得k 2
－3k －20.79＝0. 解得k ＝6.3.
∴OQ ＝5k ＝31.5，此时x 的值为31.5.
②如答图③，过点O 作OH ⊥PQ 交PQ 的延长线于点H . 设OH ＝4k ，QH ＝3k .
在Rt △OPH 中，∵OP 2＝OH 2＋PH 2
，
∴262＝(4k )2＋(12.5＋3k )2
.
整理，得k 2
＋3k －20.79＝0. 解得k ＝3.3.
∴OQ ＝5k ＝16.5，此时x 的值为－16.5. ③如答图④，过点O 作OH ⊥PQ 于点H . 设OH ＝4k ，QH ＝3k .
在Rt △OPH 中，∵OP 2＝OH 2＋PH 2
，
∴262＝(4k )2＋(3k －12.5)2
.
整理，得k 2
－3k －20.79＝0. 解得k ＝6.3.
∴OQ ＝5k ＝31.5，此时x 的值为－31.5.
综上所述，满足条件的x 的值为31.5或－16.5或－31.5.
第2题答图
点与圆的位置关系
例1 (2017，福州)如图，在6×6的正方形网格中，有6个点，M，N，O，P，Q，R(除点R外其余5个点均为格点)，以点O为圆心，OQ的长为半径作圆，则在⊙O外的点是(C)
例1题图
A. M
B. N
C. P
D. R
【解析】∵OQ＝12＋22＝5，OP＝22＋22＝22，ON＝2，OR＝12＋1.52＝ 3.25，OM ＝12＋22＝5，∴在⊙O外的点是P.
针对训练1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以点C为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是(B)
训练1题图
A. 点O在⊙C外
B. 点O在⊙C上
C. 点O在⊙C内
D. 不能确定
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，O是AB的中点，∴OC＝2.∵以点C为圆心，2为半径作⊙C，∴OC＝半径．∴点O在⊙C上.
直线与圆的位置关系
例2 如图，⊙O的半径为4，P是⊙O外的一点，PO＝10，A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA.当直线l与⊙O相切时，PA的长为(B)
例2题图
A. 10
B. 21
2
C. 11
D. 434
【解析】 如答图，连接OA ，OC (C 为切点)，过点O 作OB ⊥AP 于点B .在Rt △AOB 中，OB 2
＝OA 2－AB 2＝16－AB 2
.∵l 与⊙O 相切，∴OC ⊥l .∵∠OBD ＝∠OCD ＝∠CDB ＝90°，∴四边形BOCD 为矩形．∴BD ＝OC ＝4.∵直线l 垂直平分PA ，∴PD ＝BD ＋AB ＝4＋AB .∴PB ＝8＋AB .在Rt △OBP 中，OB 2＋PB 2＝OP 2，即16－AB 2＋(8＋AB )2＝102
.解得AB ＝54.∴PA ＝2PD ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋4＝212
.
例2答图
针对训练2 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB ＝45°，点P 在数轴上运动．若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP ＝x ，则x 的取值范围是
训练2题图
【解析】 如答图，设切点为C ，连接OC ，则圆的半径OC ＝1，OC ⊥PC .∵∠AOB ＝ 45°，OA ∥PC ，∴∠OPC ＝45°.∴PC ＝OC ＝1.∴OP ＝ 2.同理，原点左侧的距离也是2，且线段长是正数．∴x 的取值范围是0＜x ≤ 2.
训练2答图
切线的判定和性质
例3 (导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB ＝∠DCE .
(1)求证：CE 是⊙O 的切线；
(2)若tan ∠BAC ＝2，BC ＝2，求⊙O 的半径．。