甘肃省兰州市第二十七中学高三数学上学期第四次月考试

兰州二十七中2015—2016学年第四次月考试卷
高三数学(理)
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设{|2},{|ln(1)}A x y x B y y x ==-==+，则A B =I ( )
A ．(1,)-+∞
B ．(,2]-∞
C ．(1,2]-
D ．∅
2．正项等比数列{}n a 中，14029,a a 是方程210160x x -+=的两根，则22015log a 的值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3.函数()3sin(2),(0,)3
f x x π
φφπ=-
+∈满足)()(x f x f =，则φ的值为（ ）
A. 6π
B. 3π
C.
56π D. 3
2π 4．曲线1
(0)y x x
=
>在点00(,)P x y 处的切线为l ．
若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．422+
B ．22
C ．2
D ．527+
5．设命题甲：关于x 的不等式2240x ax ++≤有解，命题乙：设函数()log (2)a f x x a =+- 在区间),1(+∞上恒为正值，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知,,A B C 三点不在同一条直线上，O 是平面ABC 内一定点，P 是ABC ∆内的一动点，若，则直线AP 一定过ABC ∆的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
7．已知函数()ln 2sin f x x α=+（)2
,
0(π
α∈）的导函数为()f x '，若存在01x <使得
00()()f x f x '=成立，则实数α的取值范围为（ ）
A ．,32ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
3,
0π
C ．,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．由()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍得到12sin(3)6
y x π=-的图象，则()f x 为（ ） A ．312sin()26x π+
B ．12sin(6)6x π-
C ．312sin()23x π+
D ．12sin(6)3
x π+ 9．已知实数变量,x y 满足1,
0,220,x y x y mx y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
且目标函数3z x y =+的最大值为8，则实数m
的值为( ) A.32
B.
12
C.2
D.1
10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．4
B ．
43
C ．2
D ．
83
11．已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同，且离心率互为倒数，12,F F 它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当
1260F PF ∠=︒时，则椭圆1C 的离心率为（ ）
A.33
B.
32
C.
22
D.
12
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序． 若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入 的整数i 的最大值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
1
开始 0,0s n ==
输入i
否
是
结束
21n s s =++
输出s
1n n =+
?n i <
（Ⅱ 非选择题）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置)
13．已知双曲线22
22x y a b
-=l(a ，b>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0，则双曲线的离心率
是 ．
14．由函数y=x 2
的图像与直线y=2x 围成的图形的面积是 。

15．在数列｛a n ｝中， a 1=l ，a 2=2，且a n+2－a n =1+(－1)n （n∈N *
)，则
a 1+a 2+…+a 5l = 。

16．直线y=x+m 与圆x 2+y 2=16交于不同的两点M ，N ，
，其中O 是坐标原
点，则实数m 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项等比数列{}n a 满足6,2,321+a a a 成等差数列,且512
49a a a =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设(
)
n n n a a b ⋅+=1log
3
,求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.某校在2 015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[)100,90,...
第六组[]140,130,得到如右图所示的频率分布直方
图.
（Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为X ，求X 的分布列和期望
19.如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，
CE ∥BG ，且2
BCD BCE π
∠=∠=，
平面ABCD ⊥平面BCEG ,222=====BG AD CE CD BC （Ⅰ）证明：AG //平面BDE ;
（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值.
20.如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>错误!未找到引用源。

x
O
频率/组距
0.008
0.016
0.024
0.03y
l M
的离心率为23
，其左、右顶点分别为()()0,2,0,221A A -.
过点()0,1D 的直线l 与该椭圆相交于M N 、两点． （Ⅰ）求椭圆C 错误!未找到引用源。

的方程； （Ⅱ）设直线
1A M 错误!未找到引用源。

与2NA 错误!未找到引用源。

的斜率分别为12,k k 错
误!未找到引用源。

.试问：是否存在实数λ，使得21k k λ=错误!未找到引用源。

？若存在，
求λ的值；若不存在，请说明理由．
21.已知函数()()()1ln 12
+-+-=x x a x x f (其中R a ∈,且a 为常数)
（Ⅰ）若对于任意的()+∞∈,1x ,都有()0>x f 成立,求a 的取值范围;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根,求a 的取值范围.
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵
的中点，E 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：DE ∥AB ；
（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD ·CD ．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为13cos 3sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足.
（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；
（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线3
π
θ=与曲线1C 、2C 分
别交于A 、B 两点，求AB .
A
B
D
E
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,.
（Ⅰ）证明：4
1
|6131|<+b a ；
（Ⅱ）比较|41|ab -与||2b a -的大小.
兰州二十七中2015—2016学年第四次月考答案
高三数学(理)
1.B
2.A
3.C
4.C
5.B
6.A
7.C
8.B
9.D 10.D 11.A 12.B
（Ⅱ 非选择题）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置)
13．
13
3
； 14．43 ； 15．676 ； 16．(42,22][22,42)--U ．
三、解答题：解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤): 【解析】17
（Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的公比为()0>q q
由399923
24
2
23
5124
±=⇒==⇒==q a a q a a a a ,因为0>q ,所以3=q .
又因为
6
,2,321+a a a 成等差数列,所以
()3012690461111231=⇒=-++⇒=-++a a a a a a a
所以数列{}n a 的通项公式为n n a 3=. （
Ⅱ
）
(
方
法
一
)
依
题
意
得
()n
n n b 312⋅+=,则
()n n n T 312373533321⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=……①
()()14323123123735333+⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n T ……②
2-1
得
()()
2
3
2
1
333323
122-+⋅⋅⋅++⋅-⋅+=+n
n n n T ()121
21
3233
13323
12+++⋅=---⋅-⋅+=n n n n n
所以数列{}n b 的前n 项和13+⋅=n n n T 【解析】18.
（Ⅰ）根据频率分布直方图，得: 成绩在[120，130）的频率为
1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；
所以估计该校全体学生的数学平均成绩为
85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，
所以该校的数学平均成绩为107； （Ⅱ）根据频率分布直方图得，
这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人， 而在[]140,120的学生共有,105008.05012.0=⨯+⨯ 所以X 的可能取值为0、1、2、3， 所以P （X =0）=
=
=， P （X =1）=
=
=，
P （X =2）===， P （X =3）===；
所以X 的分布列为
数学期望值为EX =0×+1×+2×+3×=1.2．
【解析】19.
由平面ABCD BCEG ⊥平面，平面ABCD BCEG BC =I 平面, ,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG , ∴EC ABCD ⊥平面 .
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得 (0,2,0(20,0(002(2,1,0)(0,2,1)B D E A G ），，），，，），
（Ⅰ）设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则(0,2,2),(2,0,2)EB ED =-=-u u u r u u u r
Q 0
EB m ED m ∴⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r 即0
0y z x z -=⎧⎨-=⎩
， x y z ∴==，
∴平面BDE 的一个法向量为(1,1,1)m =u r
，
(2,1,1)AG =-u u u r Q 2110AG m ∴⋅=-++=u u u r u r ，AG m ∴⊥u u u r u r
，
AG BDE ⊄Q 平面，∴AG ∥平面BDE .
（Ⅱ）设平面BAG 的法向量为()z y x n ,,=，平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角为
θ……….8分
因为()0,1,2-=BA ,()1,0,0=BG ,由0,0=⋅=⋅BG n BA n 得⎩⎨
⎧==-00
2z y x ，
∴平面BAG 的一个法向量为()0,2,1=n ，
∴515
5
321cos =⋅+θ. 故平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值为5
15
【解析】20.
（Ⅰ）依题意可知.2=a 1,32
3
22=-=∴=∴=
c a b c e Θ. 所以椭圆的方程为:14
22
=+y x
（Ⅱ）(方法一)设直线的方程为()21+=x k y ,直线2NA 的方程为()22-=x k y .
联立方程组()()
.0416161414
22
1212212
21=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k x k x k y x x k y 解得点M 的坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-144,14822112121k k k k M
同理,可解得点N 的坐标为.144,1428222222
2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-k k k k N
由N D M ,,三点共线,得,11
42
81
44114821442
22
22
222121211-+-+-=-+-+k k k k k k k k 化简有()()03141221=-+k k k k . 已知21,k k 同号,所以123k k =.故存在3=λ,使得成立. 【解析】21.
（Ⅰ）由()()()()x a x x x a x x f --=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-='211112知 当2≤a 时,()0>'x f Θ对于()+∞∈,1x 恒成立,()x f ∴在()+∞,1上单调递增
()()01=>∴f x f ,此时命题成立; 当2>a 时,()x f Θ在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
1a 上单调递减,在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,2a 上单调递增, ∴当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
1a x 时,有()()01=<f x f .这与题设矛盾,不合. 故a 的取值范围是(]2,∞-
（Ⅱ）依题意(]2,∞-∈a ,设()()1++=a x f x g ,原题即为若()x g 在(]2,0上有且只有一个零点,求a 的取值范围.显然函数()x g 与()x f 的单调性是一致的.
①当0≤a 时,因为函数()x g 在区间()1,0上递减,(]2,1上递增,所以()x g 在(]2,0上的最小值为()11+=a g ,
由于0111122
22>+-⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e
a e e g ,要使()x g 在(]2,0上有且只有一个零点,需满足
()01=g 或()02<g ,解得1-=a 或2
ln 2
-
<a ; ②当2=a 时,因为函数
()x g 在(]
2,0上单调递增,且
()
()02ln 222,024
14
84>+=<--=
-g e e e g ,所以此时()x g 在(]2,0上有且只有一个零点;
③当20<<a 时,因为函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0a 上单调递增,在⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,2a 上单调递减,在(]2,1上单调递增,
又因为()011>+=a g ,所以当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈2,2a x 时,总有()0>x g , ()022ln 2212222222222<⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+<<+-+-+-+-+-
a e a a e e e g a e
a a a a a a a a a
a Θ, 所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
2,
0a 上必有零点,又因为()x g 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0a 上单调递增,从而当20<<a 时,()x g 在(]2,0上有且只有一个零点.
综上所述,当20≤<a 或2
ln 2
-<a 或1-=a 时,方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根.
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
【证明】：22.
（Ⅰ）连接OE ，因为D 为的中点，E 为BC 的中点， 所以OED 三点共线．………………………… …2分
因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，
所以OE ∥AB ，故DE ∥AB.………………………… …5分 （Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ∠
DAC ＝∠DCB ．
又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE △DAC ∽△ECD ．………… …8分
AC CD ＝AD CE
AD ·CD ＝AC ·CE 2AD ·CD ＝AC ·2CE
2AD ·CD ＝AC ·BC ．……………………………10分
【解析】：23.
（1）设()()'
''
'
2,,,,,2,2,
x x P x y M x y OP OM y y ⎧=⎪=∴⎨=⎪⎩u u u r u u u u r Q ………………………… …2分
Q 点M 在曲线
1
C 上，
()'
2''2'13,133,
x x y y θθ⎧=⎪∴∴-+=⎨=⎪⎩，………………………… …4分
曲线2C 的普通方程为()2
2212x y -+=；………………………… …5分 （2）曲线1C 的极坐标方程为2
2cos 20,ρρθ--= 将3
π
θ=
代入得2ρ=，∴A 的极坐标为2,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，………………………… …7分 曲线2C 的极坐标方程为2
4cos 80,ρρθ--= 将3
π
θ=
代入得4ρ=，∴B 的极坐标为4,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，………………………… …9分 E
A
D
11 422AB ∴=-=.………………………… …10分
【解析】：24.（I)记⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<----≤=+--=1,312,122,
3|2||1|)(x x x x x x x f ，由0122<--<-x 解得：2121<<-x ，即)2
1,21(-=M ………………………… …3分 所以，4
121612131||61||31|6131|=⨯+⨯<+≤+b a b a ;………………………… …5分 （II ）由（I ）得：412<a ，4
12<b ，………………………… …6分 因为
=---22||4|41|b a ab )2(4)1681(2222b ab a b a ab +--+-………………………… …8分 0)14)(14(22>--=b a ，故22||4|41|b a ab ->-，即||2|41|b a ab ->-………………………… …10分。