2024年高考数学专题复习冲A专题(1)含绝对值的函数

2.函数f(x)的图象:如下图所示:
-2-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
知识提要
专题考点
二、已知y=|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值为M,则M的最小
值是
.
这里仅通过类比或数形结合进行理解.
1.多点控制:|f(x)|在x∈[s,t]上的最大值的最小值问题(端点或切比雪
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
2
பைடு நூலகம்
化简得 t≤
解得
-7-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
3.(2019年6月浙江学考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)
上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R)
冲A专题(1)
含绝对值的函数
-1-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
知识提要
专题考点
一、绝对值的意义
1.绝对值函数的代数表达:f(x)=|x-a|=
-, ≥ ,
-, < .
一般解决绝对值问题,常规方法是采用分类讨论去绝对值,比较适
合大题的解答;对选择填空,可采用几何意义或两边夹逼近的思想.
则f(x)≤4恒成立⇔M≤4.
(i)当a≤0时,由(2)可知,
对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立,
所以M=a2-a+2.
2 - + 2 ≤ 4,
由
解得-1≤a≤0.
≤ 0,
(ⅱ)当0<a≤1时,因为x∈[-1,1],
所以f(x)=|x2-a|+|a2-x|≤|x2|+|a|+|a2|+|x|≤4恒成立.
当b2-4b-2=-6时,b=2(舍去).
-6-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
2.(2021年1月浙江学考)已知a∈R,b>0,若存在实数x∈[0,1),使得
|bx-a|≤b-ax2成立,则
答案 [-1,
2+1
]
2

的取值范围是

.






解析 因为|bx-a|≤b-ax2,且 b>0,所以丨 x- 丨≤1- x2.令 t= ,则原不等
单峰函数|f(x)-(kx+b)|表示一次函数在y轴上的截距差,则最大值的
最小值在一次函数直线穿过最小一次函数在y轴上的截距的中间
时取得.
具体方法:连接f(x)两端点直线l1,过f(x)上一点作与l1平行的切线l2,则
y=kx+b为夹在平行直线中间的平行直线,l1,l2的一次函数在y轴上的
截距分别为m,n, 则 Mmin=
(2)当a≤0时,因为x∈[-1,1],
所以f(x)=|x2-a|+|a2-x|=x2-a+|a2-x|
≤x2-a+|a2|+|x|=a2-a+|x|+x2≤a2-a+2.
即对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立.
-9-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
(3)记f(x)=|x2-a|+|a2-x|(-1≤x≤1)的最大值为M,
(1)当a=0时,判断函数f(x)的奇偶性;
(2)当a≤0时,证明:f(x)≤a2-a+2;
(3)若f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=0时,f(x)=|x2|+|x|,定义域为[-1,1],
且对于任意的x∈[-1,1],有f(-x)=|x2|+|x|=f(x)恒成立,
所以函数f(x)为偶函数.
专题考点
专题考点
1.(2020年1月浙江学考)已知函数f(x)=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R,使得
f(x)在[2,b]上恰有两个零点,则实数b的最小值是
.
答案 2+2 3
解析 因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2
与x=b时恰好取到零点的边界.
若x=2,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解得a=2或a=-4.
恒成立,则2a2+b2的最小值是
.
答案
8
3
解析 如图,作出y=||x|-2|x-1||的图象,
因为f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R),
所以y=|a+|x-b||的图象始终在
y=||x|-2|x-1||的上方,
+ ≥ 2,
所以 x=0 时,a+|b|≥2 且 b≥0,所以
夫多项式极值点处取);
二次函数:f(x)=ax2+bx+c,用两端点及中点函数值表示(或消去)a,b,c;
-3-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
知识提要
专题考点
2.一次函数在y轴上的截距(指一次函数的图象与y轴交点的纵坐
标):|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值的最小值问题,一般针对
≥ 0,
4
3
8
3
8
3
2a2+b2≥2(2-b)2+b2=3b2-8b+8=3(b- )2+ ≥ ,
当且仅当
2
4
a= ,b= 时取等号.
3
3
-8-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
4.(2020年7月浙江学考)设a∈R,已知函数f(x)=|x2-a|+|a2-x|,x∈[-1,1].
|-|
.
2
-4-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
知识提要
专题考点
特别地,当f(x)在x∈[s,t]上满足f(s)=f(t)(平口函数),
+
|-|
,Mmin=
.
2
2
且 m=f(x)max,n=f(x)min,则 y=kx+b 中,k=0,b=
-5-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
-10-
冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
(ⅲ)当a>1时,因为x∈[-1,1],
1
2
1
4
所以 f(x)=|x2-a|+|a2-x|=a-x2+a2-x=-(x+ )2+a2+a+ ,
1
1
2
此时 M=f(- )=a +a+ ,
2
4
1
3
2 + + ≤ 4,
4
由
得 1<a≤ .
当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,满足f(x)在[2,b]上恰好有两个零点,则
f(b)=|b2+2b-2|-6=0且b>2,b2+2b-2=6,解得b=2(舍去)或b=-4(舍
去),b2+2b-2=-6(不合题意).
当a=-4时,f(b)=|b2-4b-2|-6=0,当b2-4b-2=6时,b=2+2 3 .
2
> 1,
3
2
综上所述,a 的取值范围为[-1, ].
-11-
冲A专题(1) 含绝对值的函数