江苏省宿迁市沭阳银河学校高二12月月考试卷 数学 Word版含答案

沭阳银河学校2014-2015学年度第一学期12月月考
高二数学试卷 12月11日
一、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共计40分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. “”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
2. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．
3. 底面边长为2，侧棱与底面成60︒的正四棱锥的侧面积为 ▲ ．
4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ．
5.已知空间四边形OABC 中， a , b , c , 点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，则 ▲ ．
6. 过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是、，则 ▲ .
7. 已知A ，B ，C 的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P 的坐标是，若，则点P 的坐标是 ▲ ．
8.
如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A 'DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形（点A '平面ABC ），则下列命题中正确的是 ▲ ．
①动点A ' 在平面ABC 上的射影在线段AF 上；
②BC ∥平面A 'DE ；③三棱锥A '-FED 的体积有最大值． 9. 设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2 = 1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1，2)，则椭圆的中心到准线
距离的最小值是 ▲ ．
10. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF 是一个直角三角形，∠AEF = 90︒，AE = a ，EF = b ，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. （本题满分8分）
抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，它与圆相交，公共弦的长为，求该抛物线的方程，并写出它的
焦点坐标与准线方程．
12.（本题满分8分）
g x=
已知且．条件：函数在其定义域上是减函数；条件：函数()
为真，试求的取值范围．
13.（本题满分10分）
已知，命题恒成立；命题直线与椭圆有公共点．是否存在正数，使得为真命题，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由．
14.（本题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值.
15.（本题满分12分）
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1= 3a，BC= 2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF= 2a．
（1）求证：B1F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥B1-ADF的体积；
（3）求证：BE∥平面ADF．
．
16.（本题满分12分）
已知椭圆E：的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A、B，过点A的直线l与椭圆E及直线分别相交于点M、N．
①当过A、F、N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
②若，求的面积．
2013年12月高二数学理科试题参考答案
1．充分不必要2．3．4．2 5．abc6．7．8．①②③9．2＋5．10．11．解：由题意，抛物线方程为设公共弦MN交轴于点A，则MA=AN=．，
2,2).
OA N
∴==∴±点在抛物线上，即，故抛物线的方程为或……………4分
抛物线的焦点坐标为准线方程为．抛物线的焦点坐标为准线方程为．……………8分
12．解：若为真，则，得．……………２分
若为真，则对恒成立．记，则
22,,
()
2,,
x a x a
f x
a x a
--≥
⎧
=⎨
-<
⎩
所以的最小值为，故为真即为，即．……………
６分
于是为真，即为“或”故的取值范围为．……８分
13．解：对，，（），所以要使恒成立，应有……………４分
，直线恒过定点（0，2），要使直线与椭圆有公共点，应有，解得若为真命题，则与都为真命题，因此所以……………８分
综上，存在使得为真命题．……………１０分
14．解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知2
2
2
2
3)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=, 即AD CD BD 33==
,在中，∠DAB=60°，，则为直角三角形，且．又AE ⊥BD ，平面AED ，
平面AED ，且，故BD ⊥平面AED ；……………５分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，)0,2
1
,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量为平面的一个法向量.
设向量为平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=00m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
2323z y y x ， 取，则，则为平面的一个法向量
.
5
5
5
1,cos =
=
>=
<，而二面角F-BD-C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为．……………１０分 15．（1）证明：∵AB = AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ．
在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，
∵B 1B ⊥底面ABC ，AD 底面ABC ，∴AD ⊥B 1B ． ∵BCB 1B = B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1． ∵B 1F 平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F ．
在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F = CD = a ，B 1C 1 = CF = 2a ， ∴Rt △DCF ≌ Rt △FC 1B 1．
∴∠CFD = ∠C 1B 1F ．∴∠B 1FD = 90°．∴B 1F ⊥FD ． ∵ADFD = D ，∴B 1F ⊥平面AFD ．……………６分 （2）∵B 1F ⊥平面AFD ， ∴111
3
B ADF ADF V S B F -=⋅⋅△
=11132AD DF B F ⨯⨯⨯⨯=
（3）连EF ，EC ，设，连，
，∴四边形AEFC 为矩形，为中点． 为中点，． 平面，．平面，平面……………１２分 16．解：⑴由已知，，且，所以，，所以，
所以椭圆的方程为．………………………４分 ⑵（ⅰ）由⑴，，，设．
设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点的坐标代入，得
2
1640,420,
6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪
=⎨⎪=⎩+++++++解得2,
72,8,
d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩…………………………６分 所以圆的方程为2272
2()80x y x t y t
--=+++，
A F
C
B
D
C B 1
1
1
E
1 1 1 A
M
即222172172
(1)[()]9()24x y t t t t
-=+++
++， 因为，当且仅当时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．……………………………８分
（ⅱ）由对称性不妨设直线的方程为． 由22(4),1,1612
y k x x y =⎧⎪
⎨=⎪
⎩++得，……………………………9分
所以22
2424(,)3434k MA k k --=++，2223224(,)3434k k
MB k k -=++，
所以cos 24MA MB AMB MA MB
∠=
=
= 化简，得，……………………………………１０分 解得，或，即，或，
此时总有，所以的面积为．…………………………12分。