山东省青岛市西海岸新区6中2024届中考三模数学试题含解析

山东省青岛市西海岸新区6中2024年中考三模数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）
A．12cm B．122cm C．24cm D．242cm
2．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE 等于（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．下列说法正确的是（）
A．﹣3是相反数B．3与﹣3互为相反数
C．3与1
3
互为相反数D．3与﹣
1
3
互为相反数
4．下列各数中，最小的数是（）
A．﹣4 B．3 C．0 D．﹣2
5．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（）
A ．线段P
B B ．线段B
C C ．线段CQ
D ．线段AQ
6．某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（ ）
A ．9分
B ．8分
C ．7分
D ．6分
7．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a ，b 对应的密文为a ＋2b ，2a －b ，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是( ) A ．3，－1
B ．1，－3
C ．－3，1
D ．－1，3
8．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850 发芽的频率
m
n
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断：
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955； ②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；
③若n 为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（ ） A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．②③
9．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ）
A ．2a b =
B ．2a b =
C ．2a b =
D ．2a b =
10．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（ ）
A．1
2
B．
1
3
C．
2
3
D．
3
4
11．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（）A．0.86×104B．8.6×102C．8.6×103D．86×102
12．方程＝的解为( )
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．化简
1
1-(1)
1
m
m
⎛⎫
⋅-=
⎪
-
⎝⎭
__________．
14．不等式组
20
30
x
x
->
⎧
⎨
+>
⎩
的解集为________.
15．如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=k
x
（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB
面积为6，则k的值为_____．
16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是_____．
17．亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
18．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数
是．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
20．（6分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
21．（6分）先化简
2
2
44
2
x x
x x
-+
-
÷(x-
4
x
),然后从55x的值代入求值.
22．（8分）为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为a元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的左边为（2,10），请你结合表格和图象，回答问题：
购买量x（千克） 1 1.5 2 2.5 3
付款金额y（元） a 7.5 10 12 b
（1）由表格得：a= ；b= ；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约多少钱？
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，
且CF＝1
2
BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
24．（10分）主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：
A．放下自我，彼此尊重；B．放下利益，彼此平衡；
C．放下性格，彼此成就；D．合理竞争，合作双赢．
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟．根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
观点频数频率
A a 0.2
B 12 0.24
C 8 b
D 20 0.4
（1）参加本次讨论的学生共有人；表中a＝，b＝；
（2）在扇形统计图中，求D所在扇形的圆心角的度数；
（3）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞
争，合作双赢）的概率．
25．（10分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
26．（12分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参
考数据：sin53°≈4
5
,cos53°≈
3
5
，tan53°≈
4
3
)
27．（12分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D 【解题分析】
过A 作AD ⊥BF 于D,根据45°角的三角函数值可求出AB 的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC 的长即可. 【题目详解】
如图，过A 作AD ⊥BF 于D ， ∵∠ABD=45°，AD=12， ∴sin 45AD
AB ︒
=
=122，
又∵Rt △ABC 中，∠C=30°， ∴AC=2AB=242， 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键. 2、C 【解题分析】
试题分析：∵DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=65°
. ∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，∴∠BAE=∠CAD ，AC=AD.
∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°． 故选C ．
考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．
3、B
【解题分析】
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，可据此来判断各选项是否正确．【题目详解】
A、3和-3互为相反数，错误；
B、3与-3互为相反数，正确；
C、3与1
3
互为倒数，错误；
D、3与-1
3
互为负倒数，错误；
故选B．
【题目点拨】
此题考查相反数问题，正确理解相反数的定义是解答此题的关键．
4、A
【解题分析】
有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可
【题目详解】
根据有理数比较大小的方法，可得
﹣4＜﹣2＜0＜3
∴各数中，最小的数是﹣4
故选：A
【题目点拨】
本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键要明确：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小
5、C
【解题分析】
根据三角形高线的定义即可解题.
【题目详解】
解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,
故选C.
【题目点拨】
本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.
6、C
【解题分析】分析: 根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最中间位置的数就是第四个，从而得出答案.
详解: 将这组数据按从小到大排列为：6＜7＜7＜7＜8＜9＜9，故中位数为：7分，
故答案为：C.
点睛: 本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
7、A
【解题分析】
根据题意可得方程组
21
27
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，再解方程组即可．
【题目详解】
由题意得：
21 27 a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
3
1 a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故选A．
8、D
【解题分析】
①利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，n=400，数值较小，不能近似的看为概率，①错误；②利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，可得②正确；③用4000乘以绿豆发芽的的概率即可求得绿豆发芽的粒数，③正确．
【题目详解】
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论正确．
故选D．
【题目点拨】
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
9、B 【解题分析】
由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为1
4
a ，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论． 【题目详解】
解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为1
4
a ， ∵小长方形与原长方形相似，
,
14
a b b a ∴= 2a b ∴=
故选B ． 【题目点拨】
此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键． 10、D 【解题分析】
先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解. 【题目详解】
随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
至少有一次正面朝上的概率是34
， 故选：D . 【题目点拨】
本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n
=. 11、C 【解题分析】
科学记数法就是将一个数字表示成a ×
10的n 次幂的形式，其中1≤|a |＜10，n 表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂． 【题目详解】
数据8 600用科学记数法表示为8.6×103 故选C ． 【题目点拨】
用科学记数法表示一个数的方法是 （1）确定a ：a 是只有一位整数的数；
（2）确定n ：当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）． 12、C 【解题分析】
方程两边同乘（x-1）(x+3)，得 x+3-2(x-1)=0， 解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0， 所以x=5是原方程的解， 故选C.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13、2-m 【解题分析】
根据分式的运算法则先算括号里面，再作乘法亦可利用乘法对加法的分配律求解． 【题目详解】 解：法一、()11-11m m ⎛
⎫⋅- ⎪-⎝⎭
=（11m m --- 1
1
m -） ()1m ⋅- =
2
1
m m -- ()1m ⋅- = 2-m ．
故答案为：2-m ．
法二、原式=()1111m m ⎛⎫
+⋅- ⎪-⎝⎭
= =1-m+1 =2-m ．
故答案为：2-m ． 【题目点拨】
本题考查分式的加减和乘法，解决本题的关键是熟练运用运算法则或运算律． 14、x>1 【解题分析】
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集． 【题目详解】
2030x x ->⎧⎨
+>⎩①
②
， 解不等式①，得：x>1， 解不等式②，得：x ＞-3， 所以不等式组的解集为：x>1， 故答案为：x>1． 【题目点拨】
本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15、4 【解题分析】
分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，根据C 是AB 的中点得到CN 为AMB 的中位线，然后设MN NB a ==，CN b =，2AM b =，根据OM AM ON CN ⋅=⋅，得到OM a =，最后根据面积
32236a b ab =⋅÷==求得2ab =，从而求得224k a b ab =⋅==.
【题目详解】
分别过点A 、点C 作OB 的垂线，垂足分别为点M 、点N ，如图
点C 为AB 的中点，
∴CN 为AMB 的中位线，
∴MN NB a ==，CN b =，2AM b =，
OM AM ON CN ⋅=⋅，
∴()2OM b OM a b ⋅=+⋅， ∴OM a =，
∴32236AOB
S
a b ab =⋅÷==，
∴2ab =，
∴224k a b ab =⋅==.
故答案为：4. 【题目点拨】
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2
k ，且保持不变.
16、 【解题分析】
试题分析：过P 点作PE ⊥AB 于E ，过P 点作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，连接PA ．
∵PE ⊥AB ，2，
∴AE=
1
2
PA=2， 根据勾股定理得：PE=1， ∵点A 在直线y=x 上， ∴∠AOC=45°， ∵∠DCO=90°， ∴∠ODC=45°，
∴△OCD 是等腰直角三角形， ∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°， ∴∠DPE=∠PDE=45°， ∴DE=PE=1，
∴
∵⊙P 的圆心是（2，a ），
∴a=PD+DC=2+2．
【题目点拨】
本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x 与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．
17、1
【解题分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理.
解：根据三角形的内角和可知填：1．
18、n1＋n＋1．
【解题分析】
试题解析：仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，
分别为：
第一个图有：1+1+1个，
第二个图有：4+1+1个，
第三个图有：9+3+1个，
…
第n个为n1+n+1.
考点：规律型：图形的变化类．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【解题分析】
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，
（3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【题目详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA 1224117+=A 12253+34 即OB 2+OA 12=A 1B 2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【题目点拨】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 20、证明过程见解析 【解题分析】
要证明BE=CD ，只要证明AB=AC 即可，由条件可以求得△AEC 和△ADB 全等，从而可以证得结论． 【题目详解】
∵BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在△ADB 和△AEC 中，
ADB AEC AD AE
A A ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADB ≌△AEC （ASA ） ∴AB=AC ， 又∵AD=AE ， ∴BE=CD ．
考点：全等三角形的判定与性质． 21、当x=－1时，原式=
1=11+2-； 当x=1时，原式=11
=1+23
【解题分析】
先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算． 【题目详解】
原式=
22(2)4
(2)x x x x x
--÷- =()2(2)•(2)2(2)
x x
x x x x --+-
=
12
x +
∵x x 为整数， ∴若使分式有意义，x 只能取-1和1 当x =1时，原式=
1
3
．或：当x =-1时，原式=1 22、（1）5,1 （2）当0＜x≤2时，y=5x ，当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式为y=4x+2 （3）1.6元. 【解题分析】
（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出a 值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出b 值；
（2）分段函数，当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ；当x ＞2时，设关系式为y ＝k1x ＋b ，然后将（2，10），且x ＝3时，y ＝1，代入关系式即可求出k ，b 的值，从而确定关系式； （3）代入（2）的解析式即可解答． 【题目详解】
解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x ， ∵10÷2＝5，
∴a ＝5，b ＝2×5＋5×0.8＝1． 故答案为a ＝5，b ＝1．
（2）当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ， ∵y ＝kx 的图象经过（2，10）， ∴2k ＝10，解得k ＝5， ∴y ＝5x ；
当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y ＝1k x ＋b
∵y ＝kx+b 的图象经过点（2，10），且x ＝3时，y ＝1，
11210314k b k b +⎧⎨
+⎩＝＝ ，解得14
2k b =⎧⎨=⎩
， ∴当x ＞2时，y 与x 的函数关系式为：y ＝4x ＋2． ∴y 关于x 的函数解析式为：()50242(2)
x x y x x ⎧≤≤=⎨
+>⎩ ；
（3）甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，即5x ＝8，解得x ＝1.6，即甲农户购买玉米种子1.6千克；如果他们两人合起来购买，共购买玉米种子（1.6＋4）＝5.6千克，这时总费用为：y ＝4×5.6＋2＝24.4元． （8＋4×4＋2）−24.4＝1.6（元）．
答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元． 【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键．注意：求正比例函数，只要一对x ，y 的值就可以；而求一次函数y ＝kx ＋b ，则需要两组x ，y 的值． 23、证明见解析. 【解题分析】
利用三角形中位线定理判定OE ∥BC ，且OE=12BC ．结合已知条件CF=1
2
BC ，则OE//CF ，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论． 【题目详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是BD 的中点．
又∵点E 是边CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，∴OE ∥BC ，且OE=1
2
BC ． 又∵CF=
1
2
BC ，∴OE=CF ． 又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF ， ∴四边形OCFE 是平行四边形． 【题目点拨】
本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．熟记相关定理并能应用是解题的关键. 24、（1）50、10、0.16；（2）144°；（3）1
2
. 【解题分析】
（1）由B 观点的人数和所占的频率即可求出总人数；由总人数即可求出a 、b 的值，
（2）用360°乘以D观点的频率即可得；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解
【题目详解】
解：（1）参加本次讨论的学生共有12÷0.24=50，
则a=50×0.2=10，b=8÷50=0.16，
故答案为50、10、0.16；
（2）D所在扇形的圆心角的度数为360°×0.4=144°；
（3）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种，
所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率为61 122
=．
【题目点拨】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（1）1
3
；（2）
5
9
.
【解题分析】
【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
【题目详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，
所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，
∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为120
360
︒
︒
＝
1
3
；
（2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为1
3
，所有可能性如下表所示：
第一次第二次 1 －2 3
1 (1，1) (1，－2) (1，3) －
2 (－2，1) (－2，－2) (－2，3)
3 (3，1) (3，－2) (3，3)
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为5 9 .
【题目点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26、（20-53）千米.
【解题分析】
分析：作BD⊥AC，设AD=x，在Rt△ABD中求得BD=3x，在Rt△BCD中求得CD=43
3
x，由AC=AD+CD建
立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=
BD
cos DBC
∠
可得答案．
详解：过点B作BD⊥ AC，
依题可得：∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），∵BD⊥AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,
在Rt△ABD中，设AD=x，
∴tan∠ABD=AD BD
即tan30°=
3
3 AD
BD
=
∴3x，
在Rt△DCB中，
∴tan∠CBD=CD BD
即tan53°=
4
3 CD
BD
=，
∴CD=43 3
x
∵CD+AD=AC,
∴
=13，解得，
x=3
∴
BD=12-
在Rt△BDC中，
∴cos∠CBD=tan60°=BD BC
,
即：
BC=
20
5
BD
cos DBC
==-
∠(千米),
故B、C两地的距离为（
.
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
27、BF的长度是1cm．
【解题分析】
利用“两角法”证得△BEF∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
【题目详解】
解：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
∴BE
CD
＝
BF
CF
，
又∵AD＝BC＝260cm ,AB＝CD＝130cm，AE＝60cm
∴BE＝70cm，CD＝130cm，BC＝260cm ，CF＝(260－BF)cm
∴
70
130
＝
260
BF
BF
－
，
解得：BF＝1．
即：BF的长度是1cm．
【题目点拨】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键要掌握：有两角对应相等的两三角形相似；两三角形相似，对应边的比相等．。