九年级数学上册第22章二次函数集训课堂素养训练二次函数的图象和性质的九种常见类型课件 新人教版

解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(2，0)，∴0＝4a＋2b＋c①. ∵对称轴是直线 x＝1，∴－2ba＝1②. ∵关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝x 有两个相等的实数根，
∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0③，由①②③可得ab＝ ＝－ 1，12， c＝0.
∴抛物线的解析式为 y＝－12x2＋x.
∴44c＝aa＋－－222bb，＋＋cc＝＝00，，解得abc＝＝ ＝－120，，2.
∴抛物线的解析式为 y＝12x2－2.
(2)过原点任作直线l交抛物线于M,N两点,如图②所示． ①求△CMN面积的最小值．
解：设直线 l 的解析式为 y＝kx，M(x1，y1)， N(x2，y2)，由yy＝ ＝12kxx2，－2，可得12x2－kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1·x2＝－4.
解：由题易知点 A′的坐标为(4，0)，点 M 的坐标为(－2，－2)， 设直线 A′M 的解析式为 y＝kx＋b′， 则4－k＋2kb＋′＝b′0＝，－2，解得bk′＝＝13－，43， 故直线 A′M 的解析式为 y＝13x－43， 令 x＝0，则 y＝－43，故点 Q0，－43 .
(3)在坐标平面内是否存在点N,使以点A,O,C,N为顶点的 四边形是平行四边形？若存在,请直接写出点N的坐 标；若不存在,请说明理由．
设点 Px，12x2－54x－354＜x＜4，则点 Dx，34x－3， ∴BD＝ （x－0）2＋34x－3＋32＝54x， PD＝34x－3－12x2－54x－3＝－12x2＋2x，
∴PD＋BD＝－12x2＋2x＋54x＝－12x－1432＋13629. ∵54＜x＜4，－12＜0，∴当 x＝143时， PD＋BD 有最大值为13629.此时，点 P143，－5372.
解：将点 A，C 的坐标代入 y＝12x2＋bx＋c 得1212××146＋－24bb＋＋c＝c＝6，0， 解得bc＝＝02，，故抛物线的解析式为 y＝12x2＋2x.
(2)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小．具体 作法如图②,作点A关于y轴的对称点A′,连接MA′ 交y轴于点Q,连接AM,AQ,此时△AMQ的周长最 小．请求出点Q的坐标．
∴直线 l 的解析式为 y＝1＋ 3x.
综上，点
P
3，－12，直线
l
的解析式为
y ＝ 1－
3 x
或点
P－
3，－12，直线 l 的解析式为 y＝1＋
3 x.
8．【2020·齐齐哈尔节选】综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 A(－4， 0)，点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴上，且 OA＝OB，直 线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2，6)，如图①. (1)求抛物线的解析式．
7．【2020·永州】在平面直角坐标系xOy中,等腰直角 △ABC的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B在x轴 上,且AB＝4,抛物线经过A,B,C三点,如图①所示． (1)求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 在等腰直角三角形 中，OC 垂直平分 AB，且 AB＝4， ∴OA＝OB＝OC＝2. ∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－2)．
解：∵抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3, ∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x＝3. ∴当x＜3时,y随x的增大而减小． ∵点A(m,y1),B(n,y2)都在抛物线C2上,且m＜n＜0＜3,∴y1 ＞y2.
5．【2020·陕西】如图,抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3,12) 和(－2,－3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对 称轴为直线l. (1)求该抛物线的解析式．
(2)动点P(a,－6)能否在抛物线C2上？请说明理由．
解：动点P(a,－6)不在抛物线C2上,理由如下： ∵抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3, ∴函数的最小值为－3. ∵－6＜－3, ∴动点P(a,－6)不在抛物线C2上．
(3)若点A(m,y1),B(n,y2)都在抛物线C2上,且m＜n＜0,比 较y1,y2的大小,并说明理由．
易知 m3＝1，m4＝－1 不合题意，舍去，
当 m1＝
3时，点
P
3，－12，线段 PQ 的中点为1＋2
3，－1，
∴1＋2 3k＝－1.∴k＝1－ 3.∴直线 l 的解析式为 y＝(1－ 3)x，
当 m2＝－
3时，点 P－
3，－12，线段 PQ 的中点为1－2
3，－1，
∴1－2 3k＝－1. ∴k＝1＋ 3.
解：易知抛物线的对称轴为直线x＝－1,在y＝x2＋2x－3 中,令y＝0,则x＝－3或x＝1,令x＝0,则y＝－3, 故点A的坐标为(－3,0),点C的坐标为(0,－3), 故OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°,∴当PD＝DE ＝3时,以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等．
设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,m－(－1)＝3,解 得m＝2,故n＝22＋2×2－3＝5,故点P(2,5), 故点E(－1,2)或(－1,8)； 当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得, 点P(－4,5),此时点E坐标同上, 综上,点P的坐标为(2,5)或(－4,5)；点E的坐标为(－1,2)或 (－1,8)．
B．(－2,－5)
C．(2,5) D．(2,－5)
2．【中考·德州】函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a 是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象 可能是( B )
3 ． 【 2020·南 通 】 已 知 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 经 过 A(2,0),B(3n－4,y1),C(5n＋6,y2)三点,对称轴是直线x ＝1.关于x的方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数 根． (1)求抛物线的解析式；
(3)如图②，将抛物线 L：y＝12x2－54x－3 向右平移得到抛物线 L′，
直线 AB 与抛物线 L′交于 M，N 两点，若点 A 是线段 MN 的
中点，求抛物线 L′的解析式． 解：设平移后的抛物线 L′的解析式为 y＝12(x－m)2－13221， 联立方程组可得：y＝34x－3，
y＝12（x－m）2－13221，
解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入 y＝x2＋bx＋c 得1－2＝3＝9＋4－3b2＋ b＋c，c，解得bc＝＝－2，3. 故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3.
(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上 的点．要使以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等, 求满足条件的点P,点E的坐标．
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋16. ∴|x1－x2|＝2 k2＋4. ∴S△CMN＝12OC·|x1－x2|＝2 k2＋4. ∴当 k＝0 时 2 k2＋4取最小值为 4. ∴△CMN 面积的最小值为 4.
②已知 Q1，－32是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P，
使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称，若存在，求出点 P 的坐标
及直线 l 的解析式；若不存在，请说明理由． 解：假设抛物线上存在点 P(m，12m2－2)，使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称， ∴OP＝OQ，即 12＋322＝ m2＋12m2－22.
解得 m1＝ 3，m2＝－ 3，m3＝1，m4＝－1.
由题意可得35nn－ ＋46><11， ，
∴不等式组无解．
3n－4－1<1－（5n＋6），
综上所述 0＜n＜53.
4．【2020·湖北】把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4 个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C2. (1)直接写出抛物线C2的函数解析式． 解：∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2, ∴把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度, 再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝(x＋1－4)2 ＋2－5,即y＝(x－3)2－3. ∴抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3.
∴x2－2m＋34x＋m2－2156＝0， 设点 M(x1，y1)，点 N(x2，y2)， ∵直线 AB 与抛物线 L′交于 M，N 两点， ∴x1，x2 是方程 x2－2m＋34x＋m2－2156＝0 的两根．
∴x1＋x2＝2m＋34.
∵点 A 是 MN 的中点，∴x1＋x2＝8. ∴2m＋34＝8.∴m＝143. ∴平移后的抛物线 L′的解析式为 y＝12x－1432－13221， 即 y＝12x2－143x＋32.
解：存在． 点N的坐标为(6,6)或(－6,－6)或(－2,6)．
9．【2020·攀枝花】如图,开口向下的抛物线与x轴交 于点A(－1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),点P是第一 象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；
解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x －2),将C(0,4)的坐标代入,得4＝－2a, 解得a＝－2, ∴ 该 抛 物 线 所 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y ＝ － 2(x ＋ 1)(x－2),即y＝－2x2＋2x＋4.
6．【2020·荆门】如图，抛物线 L：y＝12x2－54x－3 与 x 轴正半轴 交于点 A，与 y 轴交于点 B. (1)求直线 AB 的解析式及抛物线顶点坐标；
解：∵抛物线 L：y＝12x2－54x－3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，∴点 A(4，0)，点 B(0，－3)． 设直线 AB 的解析式为 y＝kx－3， ∴0＝4k－3.∴k＝34.∴直线 AB 的解析式为 y＝34x－3.
∵y＝12x2－54x－3＝12x－542－13221，
∴抛物线顶点坐标为54，－13221.
(2)如图①,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物 线上一动点,过点P作PC⊥x轴,垂足为C,PC 交AB于点D,求PD＋BD的最大值,并求出此 时点P的坐标；
解：∵点 A(4，0)，点 B(0，－3)，∴OA＝4，OB＝3. ∴AB＝ OA2＋OB2＝ 16＋9＝5.
10．【2020·威海】已知在平面直角坐标系中, 抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A. 点B的坐标为(3,5)． (1)求抛物线过点B时顶点A的坐标；
解：∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3,5), ∴把B(3,5)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1,整理得m2 －4m＋3＝0,解得m1＝1,m2＝3, 当m＝1时,y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1, 其顶点A的坐标为(1,1)； 当m＝3时,y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5, 其顶点A的坐标为(3,5)； 综上,顶点A的坐标为(1,1)或(3,5)．
第二十二章 二次函数
集训课堂 素养训练 二次函数的图象和性质的九种常见
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1．【中考·岳阳】抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是
(C) A．(－2,5)
(2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值．
解：如图，连接 OP，设点 P 的坐标为(m，－2m2＋2m＋4)(0<m<2)． ∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴OA＝1，OC＝4，OB＝2.
∴S＝S 四边形 CABP＝S△OAC＋S△OCP＋S△OPB ＝12×1×4＋12×4m＋12×2×(－2m2＋2m＋4) ＝－2m2＋4m＋6 ＝－2(m－1)2＋8， ∴当 m＝1 时，S 最大，最大值为 8.
(2)若n＜－5,试比较y1与y2的大小；
解：∵n＜－5，∴3n－4＜－19，5n＋6＜－19. ∴点 B，点 C 在对称轴直线 x＝1 的左侧． ∵－12＜0，∴当 x<1 时，y 随 x 的增大而增大． ∵(3n－4)－(5n＋6)＝－2n－10＝－2(n＋5)＞0， ∴3n－4＞5n＋6.∴y1＞y2.
(3)若B,C两点在直线x＝1的两侧,且y1＞y2,求n的取 值范围．
解：若点 B 在对称轴直线 x＝1 的左侧，点 C 在对称轴直线 x ＝1 的右侧时， 由题意可得351nn－－ ＋（463<>n11－， ，4）<5n＋6－1，∴0＜n＜53.
若点 C 在对称轴直线 x＝1 的左侧，点 B 在对称轴直线 x＝1 的 右侧时，