函数连续性定义和间断点

定义：设函数 f (x)自变量由 x 0变到 x,则xxx0
叫做自变量的增量；相应的函数值由 f (x0 ) 变到f (x) ,
则 y f(x)f(x0)叫做函数值 y 的增量（改变量）
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
函数 f (x) 在点 x0连续有下列等价命题:
右连续
左连续
例2. 证明函数 y sin x在 x0点连续 . 同理可证：函数 y cos x在 x0点连续 .
3. 区间上的连续函数 .
定义1：若f (x) 在某区间上每一点都连续 ,则称它在 该区间上连续或, 称它为该区间上的连续函数.
定义 2：如果函数(在 a,b)开 内区 连, 间 并 续且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则续称函 f(x数 ) 在闭区 [a,b间 ]上连. 续
函数连续性定义和 间断点
y x 1
1
2 1
y x2
y
1
1
1
x
1
1
x
y x2 1 x 1
1
2 1
1
1
y
x 1，x 1
x， x 1
y
2
1
x
1
1
x
一、 函数在一点的连续性
1.定义: 设函数 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f (x0 ) ,
当 xU(x时0,，) 有 f(x)0(或 f(x)0)
性质3：（连续函数的四则运算法则）
若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,则 f (x) g(x), f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)在点 x0处也连续.
例如：sin x,cos x在(,)内连续,
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点：函数在点x0处的左、右极限都存在.
3.第二类间断点
函数 f在 x点0 的左、右极限至少有一个不存在，
则称 x为0 的f 第二类间断点 y
y tan x
例5：讨论函数 f (x)tgx在 x 处的连续性
2
o
x
2
例6 讨论函数
lim
x x0
f
(x)
f (x0 )
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0 ) y
lim y 0 即: lim
x0
x0
f (x0 x)
f (x0 )
0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
四、小结
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x2 ，试研 究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
2、 当a取何值时,

函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f(0 ) a ,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
2.跳跃间断点
如果f在 x点0 存在左、右极限，但
lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
则称 x为0 函数 的f 跳跃间断点
例4：讨论函数
f (x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
C在 以零为极上限各的自一连个续变连量续，
D 数零
确定
正,讨好论，在连x=上1的了连，续我性和其他的点连上了！ 在点连续, 则极上限各运自算连和续函。数运 定这义种： 间设断函点数称为自可变去量间由断点变. 到 ,则
x 1,当 x 1时
lim f ( x) __________; lim 点在连某续 区,间则上极每限一运点算都和连函续数,运
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
例1：证明函数 y 在xn ( 内,是连)续的。
性质4：（复合函数的连续性）
设函数u
(
x)在x0点连续，(即
lim
x x0
(
x)
（x0）
u0
),
函数
y f (u)在点u0连续, 则复合函数y f ((x))在点x0连续。
（即 lim x x0
f
(x)
1 , x
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
y
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间 断点.
o
x
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在.
1、
讨论函数
f (x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
lifm (x ) li(x m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
2 x 3 解：函数
可以看做是由 ，
x1
3、lim( 2 x 1 ) ； 等或价称无 它穷为小该量区间上(B的) 连同x续阶函无数穷.小量
一、 函数在一点的连续性
a x 2 , x 0
三、设
f ( x) 1
,x 0
已知 f ( x) 在
ln(b x x 2 ), x 0
x 0 处连续，试确 定 a 和b 的值.
x sin
1 x
x 0 在点 x0 处的连续性
0 x 0
注意: (1)若 f (x) 在 x0 点连续, 则极限运算和函数运
算 f 可以交换顺序。即：
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
f ( lim x x0
x)
(2)函数 f (x) 在 x0 连续.
lim f (x)存在
xx0
2.函数 f (x在) 点x0连续的等价定义
f [(x)]
f (u0 )
f [ lim (x)].） x x0
例2：讨论函数 y co的s x1连2 续性。
解：函数
y
c
1 o可s x以2 看做是由
y，cous
复合而成的，ycous在(,上连) 续，
u
u
1
x
2
1
在(,0 ) (上0 ,各自) 连续连续，
所以
y
x
cos
2
1 x2
在(,0 ) (上0 ,各自) 连续。
例12：证讨明论函数 在 的连续1内性是。连续的。 哎正呀好,，不连好上!有了个，洞我, 和还其没x他有的支点撑连，上我了掉！下去了!!!
x1
f
(x)
___________.
一，、则称函数为在的一可点去的间连断续点性 2
二、计算下列各极限： 点这连种续 间,断则点极称限为运无算穷和间函断数点运
这种间断点称为无穷间断点
思考题解答
g(x) 1 x2
1, f ( x) 0,
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1 1,
x0 x0 x0
f [g( x)]在(,)上处处连续
g[
f
(
x)]
1
sgn
x
2
2,
1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,)上处处连续
x 0是它的可去间断点
一、填空题：
练习题
1、lim x 2 3 x 4 ____________. x0
2、lim x 1 1 ____________.
x0
x
3、lim ln(2cos 2x) ____________. x 6
4、lim 2 2cos x ____________.
x
tan2 x
4
5、lim e t 1 ____________.
x0
x
1 y sin
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
(见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
第y 一
哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!!
sin x sin a 如果 在 点存在左、右极限，但 1、lim x a ； 快C 救以救零我为，极我限要的跑一到个未变知x量世界a 去了D！数零
2、lim(1 3 tan2 x)cot x ； x0
哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊， 我还是掉下去了!!!
备用题 确定函数 f (x)
1 x 间断点的类型.
解: 间断点 x 0, x 1 1 e1x
lim f (x) , x 0 为无穷间断点;
x0
当 x 1 时,
x , 1 x
f (x) 0
当 x 1 时, x , f (x) 1 1 x
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0, 1处, f (x)连续.
四、设函数 f ( x) 在 x 0 处连续，且 f (0) 0 ,已知
2
x x 6 相应的函数值由 变到 ,
的连续区间为
函或数称它在为点该的区左间、上右的极连_限续_至函_少数_有. _一_个_不_存_在_，______.
3．无穷小量是（ ）
x 性质5：（反函数的连续性） cos ,当 x 1时 一、 函数在一点的连续性 f ( x ) 2 8、设 3定．义无区穷间小与量定是义（域的）区别;
则称函数
f (x) 在 x0 连续.
可见 , 函数 f (x) 在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1) f (x) 在点 x0 有定义 , 即 f (x0 ) 存在 ;
(2) 极限 lim f (x) 存在 ;
x x0
(3) lim f (x) f (x0 ).
x x0
例1:讨论函数
f
(x)
t t 2
6、设
e x , x 0 f (x)
, 当 a _____时，f ( x) 在
a x, x 0
( , ) 上连续 .
在
上各自连续连续，
连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续 4
x x 1 定义, 则可使其变为连续点.
7、函数 f ( x ) 正好，连上了，我和其他的点连上了！
性质5：（反函数的连续性）
连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续
且严格单调递增（递减）的函数.
例如,
y
sin
x在[
,
]上单调增加且连续,
22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
五、初等函数的连续性
定理1：基本初等函数在定义域内是连续的. 定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
(2)
函数
f
(x)
在
x0 虽有定义
,
但 lim
xx0
f
(x)
不存在;
(3) 函数 f (x)在 x0 虽有定义 , 且 lim f (x)存在 , 但
lim f (x) f (x0)
x x0
x x0
1.可去间断点
如果 lim f (x，) 而A 在 xx0
点f 无x 0定义，或者有定义
但 f (x0) A ，则称 x 为0 的f 可去间断点
例2：设f (x) x2 1 ,讨论在x=1的连续性
x 1
1
2
1
1
1
x
例3：设
f
(x)
x2
x 0 ,讨论在x=0处的连续性
1 x0
解: lim f (x) lim x2 0 , f (0) 1
x0
x0
lim f (x) f (0)
x0
x 0为函数的可去间断点.
注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义, 则可使其变为连续点.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
由例2知函数 y sin x 及 y co在s 其x 定义域区间
(,) 内是连续的
二、 函数的间断点
若函数f (x)在 x0点不连续，则称 f (x)在点 x0间断，x0 称为间断点 . 则下列情形之一函数f (x)在点 x0不连续 : (1) 函数 f (x)在 x0 无定义 ;
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
四、连续函数的性质与运算性
性质1:（局部有界性）若函数 y f在(x)点连x 0续
则存在 x的0 一个邻域 U(x及0,定) 值 ，当M xU(x0,)
时，有 f (x) 。 M
性质2:（局部保号性）若函数 y f在(x)点连x 0续 f(x0)0(或 f(x0)0)，则存在 x的0 一个邻域 U(x，0,)