北师大版高中数学必修一2-4-2 二次函数的性质 .docx

2-4-2 二次函数的性质
基础巩固
一、选择题
1．函数y＝－x2＋1在下列哪个区间上是增加的()
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析]y＝－x2＋1中二次项系数小于0，图像开口向下，易知递增区间为(－∞，0]．
2．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
[答案] C
[解析]因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc
＝( )
A ．－6
B ．11
C ．－14 D.1
4 [答案] C
[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b
2a ＝4，8a －b 24a ＝0. 解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－1
4.
4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．[－2，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[2，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵对称轴x ＝1－a
3，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴1－a
3≥1，∴a ≤－2.
5．二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( )
A ．－2x 2－8x
B ．2x 2－8x
C ．2x 2＋8x
D ．－2x 2＋8x
[答案] A
[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图像过原点，
∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .
6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )
A ．[0，＋∞)
B ．(－∞，－0]
C ．[0,4]
D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
[答案] C
[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x
2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C.
二、填空题
7．(2012·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．
[答案] k ≤16或k ≥80
[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k 8， ∴k 8≤2或k
8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.
8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．
[答案] (－14，1
4)
[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.
所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2
，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝4，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－14，
y ＝14.
三、解答题
9．(2012·九江高一检测)已知二次函数y ＝－4x 2＋8x －3. (1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
(2)求函数的最大值；
(3)写出函数的单调区间．(不必证明)
[解析] (1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1,1)．
(2)y ＝－4(x －1)2＋1，故函数的最大值为1. (3)函数的单调增区间是(－∞，1]， 单调减区间是[1，＋∞).
能 力 提 升
一、选择题
1．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)>25
[答案] A
[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m
8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋
∞)⊆[m
8，＋∞)，
即－2≥m
8，∴m ≤－16. ∴f (1)＝9－m ≥25.
2．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供________人洗浴．( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] B
[解析] 设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设，知y ＝200
－34t ＋2t 2
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －1722＋200－2892(t >0)，当t ＝172＝8.5分钟时，y 取最小值，此时共放浴用水34×8.5＝289升，而28965＝429
65，故一次至多可供4人洗浴．
二、填空题
3．已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －9顶点为A ，若二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像经过点A ，且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点，则这个二次函数的解析式为________．
[答案] y ＝12x 2－3
2x
[解析] ∵y ＝－2x 2＋8x －9＝－2(x －2)2－1，
∴A (2，－1)．设所求二次函数的解析式为y ＝ax (x －3)，则由题
意知－1＝a ×2(2－3)，即a ＝1
2.
∴所求解析式为y ＝12x 2－3
2x
.
4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．
[答案] 3或－1
[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.
由－x 2＋2x ＋3＝0得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝3或－1. 三、解答题
5．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；
(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－9
2)． [解析] (1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．
得：⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝1a ＋b ＋c ＝2
4a ＋2b ＋c ＝－1
，解之得：⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－2
b ＝3
c ＝1
，
∴函数的解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.
(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，其顶点的坐标是(h ，k )，
∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y ＝a (x ＋2)2＋3. 又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3. ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3， ∴y ＝2x 2＋8x ＋11.
即函数的解析式为y ＝2x 2＋8x ＋11.
(3)设二次函数的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点， 且过点(1，－9
2)，设y ＝a (x ＋2)(x －4)， 则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12. ∴所求的函数解析式为y ＝1
2(x ＋2)(x －4)， 即y ＝1
2x 2－x －4.
6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点．
(1)求m 的取值范围；
(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．
[解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，
有Δ＝4(m －1)2
－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－5
9，
即当m ≤－5
9且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点， 综上可知，当m ≤－5
9时，此函数的图像与x 轴总有交点． (2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1
m ＋6.
∵1x 1＋1
x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，
当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.
7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．
[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a
2
4，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的
充分条件是f (x )在x ∈[－2,2]上的最小值非负．
(1)当－a
2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤7
3，这与a >4矛盾，此时a 不存在．
(2)当－2≤－a
2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2＝3－a －a 2
4，3－a －a 2
4≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2. 结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.
(3)当－a
2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.
∵a<－4，∴－7≤a<－4.
由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．。