2018年高考数学理一轮复习课时达标：第二章 函数、导

课时达标 第13讲
[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，它是导数方法的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．
一、选择题
1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2
D ．－4
解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.
2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( D )
A ．0
B ．26
C ．29
D ．212
解析：∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，
∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)·…·(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8 ＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
3．(2017·河南八市质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是
( D )
A ．－23
B ．－43
C ．43
D ．34
解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －1
2
cos x ，
所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x
1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )
A ．⎣⎡⎭
⎫0，π
4 B ．⎣⎡⎭⎫
3π4，π
C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4
D ．⎣⎡⎭⎫
π4，π2
解析：∵y ＝4
e x ＋1，∴y ′＝－4e x
(e x ＋1)2＝－4e x
(e x )2
＋2e x ＋1＝－4
e x
＋1e
x ＋2
≥－1⎝⎛⎭
⎫当且仅当e x ＝1
e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0. 又∵0≤α<π，∴3π
4
≤α<π，故选B ．
5．(2017·河南郑州质检)函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y －1＝0
解析：∵f ′(x )＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1.又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0，故选C ．
6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )
的图象，则f (－1)＝( D )
A ．13
B ．－23
C ．73
D ．－13或53
解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝5
3；
若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0， 又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－1
3.
二、填空题
7．(2017·广东惠州模拟)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为5x ＋y ＋2＝0. 解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
8．(2017·河北邯郸模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于1
2
log 2e.
解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1
ln 2(x －1)，
∴三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝1
2
log 2e.
9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2，则切点坐标为⎝⎛⎭⎫3，94－3ln 3. 解析： ∵y ′＝x 2－3
x
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.
故切点坐标为⎝⎛⎭⎫3，9
4－3ln 3. 三、解答题
10．(1)已知f (x )＝e πx ·sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫
12； (2)已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求
f ′(1)
f (1)
. 解析：(1)∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝πe π
2 ⎝⎛⎭⎫sin π2＋cos π
2＝πe π
2 . (2)∵f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1＋
x 1＋x 2， ∴f ′(1)＝10(1＋2)9·
⎝
⎛⎭⎫1＋12＝10
2
(1＋2)10＝52(1＋2)10. 又f (1)＝(1＋2)10，∴f ′(1)
f (1)＝5 2.
11．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. (1)求C 上斜率最小的切线方程；
(2)证明：C 关于斜率最小时切线的切点对称．
解析：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，即切线的斜率最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.
(2)证明：设点(x 0，y 0)∈C ，点(x ，y )是点(x 0，y 0)关于切点(2，－12)对称的点，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝4－x ，y 0＝－24－y . ∵点(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6. ∴点(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．
12．设函数f (x )＝ax ＋1
x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f ′(x )＝a －1
(x ＋b )2
，于是⎩⎨⎧
2a ＋12＋b
＝3，
a －
1
(2＋b )2
＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1或⎩⎨⎧
a ＝9
4，
b ＝－8
3.
因为a ，b ∈Z ，所以a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x ＋1
x －1.
(2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1
x
都是奇函数．
所以函数g (x )＝x ＋1
x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x
－1＋1
x －1＋1.可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数
f (x )的图象是以点(1,1)为对称中心的中心对称图形．
(3)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1
x 0
－1，
由f ′(x 0)＝1－1
(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 2
0－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0
－1)2(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得x ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1，2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪
2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围三角形的面积为定值2.。