2020届一轮复习人教版必修二Unit1单元综合测试英语试卷(16页含答案)

直线与圆
一、单选题 1．设双曲线E ：
x 2a
2−
y 2b 2
=1 (a >0,b >0)的离心率为2，则E 的渐近线方程为（ ）
A ．x ±√3y =0
B ．√3x ±y =0
C ．x ±2y =0
D ．2x ±y =0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据离心率求出a,b 间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程． 【详解】 ∵e =
c a
=√1+
b 2a 2
=2，
∴b 2=3a 2，
∴双曲线的方程为x 2a 2−y 2
3a 2=1． 由
x 2a
2−
y 23a 2
=0得y =±√3x ，即√3x ±y =0，
∴双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0． 故选B ． 【点睛】
已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出y 与x 之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．
2．圆1)2()2(:2
2
1=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是（ ） A 、外离 B 、相交 C 、内切 D 、外切 【答案】D 【解析】略
3．若直线l 与直线1,7y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为()1,1-，
则直线l 的斜率为（ ）
A ．
13 B ．13- C ．32- D ．2
3
【答案】B
【解析】∵直线l 与直线y=1，x=7分别交于点P ，Q ， ∴P ，Q 点的坐标分别为：P （a ，1），Q （7，b ）， ∵线段PQ 的中点坐标为（1，-1），
∴由中点坐标公式得：
71
1,1
22
a b
++
==-∴a=-5，b=-3；
∴直线l的斜率k=
141 7123 b
a
---
==
-
故选B
4．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：据题意得F(1
4
,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1=y12,x2=y22，y12y22+y1y2= 2,y1y2=−2或y1y2=1，因为A,B位于x轴两侧所以.所以y1y2=−2两面积之和为S=
1 2|x1y2−x2y1|+1
2
×1
4
×|y1|=1
2
|y12y2−y22y1|+1
2
×1
4
×|y1|=|y2−y1|+1
8
×|y1|=
|2 y1+y1|+1
8
×|y1|=|2
y1
+9
8
y1|=|2
y1
|+|9
8
y1|≥3.
考点：1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.
5．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）
A．√3
3B．√3
2
C．1
2
D．1
3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a=2b，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a=2b，
则椭圆的离心率为e=c
a =√a2−b2
a2
=√1−(b
a
)2=√3
2
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用a,b,c的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的离心率为
2
5
，则C的渐近线方程为（）
A ．x y 41±
= B ．x y 31±= C ．x y 2
1
±= D ．x y ±= 【答案】C ． 【解析】
试题分析：由题意得，22251
42
c e c a a b b a a ==⇒=⇒=+⇒=，故渐近线方程为1
2
b y x x a =±
=±，故选C ． 考点：双曲线的标准方程．
7．直线01=++y x 被圆12
2
=+y x 所截得的弦长为( )
A.2
B.22
C.1
D.2
1
【答案】A 【解析】
试题分析：圆2
21x y +=的圆心()0,0，半径为1
，所以弦
长为=考点：直线与圆相交求弦长
点评：直线与圆相交，弦长一半，圆心到直线距离与圆的半径构成直角三角形 8．设椭圆x 2
4+ny 2
4n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn （n =1 ， 2 ， ⋯），当点(x ， y)分别在Ω1，Ω2，…上时，x +y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则M n =（ ） A ．√4−1
n B ．√4+1
n C ．√8−1
n D ．√8+1
n 【答案】D
【解析】分析：把椭圆x 2
4+ny 2
4n+1=1得椭圆的参数方程为{x =2cosθy =√4+1
n sinθ
(θ为参数）
即可表示出
x +y =2cosθ+√4+1n sinθ，利用三角函数的性质，即可求解．
详解：把椭圆x 2
4+ny 2
4n+1=1得椭圆的参数方程为{
x =2cosθ
y =√4+1n sinθ (θ为参数） 所以x +y =2cosθ+√4+1
n sinθ，
所以(x +y )max =√22+4+1n =√8+1n ，所以M n =√8+1
n ，故选D ．
点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，其中利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 9．直线x =π的倾斜角等于( ) A ．0 B ．π
4
C ．π
2
D ．π
【答案】C 【解析】 【分析】
利用直线性质求解． 【详解】
∵直线x ＝π垂直于x 轴， ∴直线x ＝π的倾斜角为π
2． 故选：C 【点睛】
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的灵活运用．
10．点P 是双曲线2
214
x y -=右支上一点，,M N 分别是22(1x y +=和
22(1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得双曲线的两个焦点分别是12(F F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点1P F M 、、三点共线以及点2P N F 、、三点共线时所求的值最大，此时1212||||(1)(1)()2PM PN PF PF PF PF -=+--=-+；根据双曲线的定义知1224PF PF a -==，所以12||||()26PM PN PF PF -=-+=，故选C ． 考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的性质．
【技巧点晴】本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的简单性质、双曲线与圆的位置关系，属于中档题；解决此类问题的有效方法是数形结合，画出双曲线及两个圆的方程，
结合图形知当且仅当三点共线时取到最值，根据双曲线的定义即可求出最大值． 11．当点P 在圆x 2+y 2=1上运动时，连接它与定点Q (3,0)，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（ ）
A ．(x +3)2+y 2=1
B ．(x −3)2+y 2=1
C ．(2x −3)2+4y 2=1
D ．(2x +3)2+4y 2=1 【答案】C 【解析】 【分析】
设动点P(x 0,y 0)，PQ 的中点为M (x,y )，由中点坐标公式解出x 0=2x −3，y 0=2y ，将点P(2x −3,2y)代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程． 【详解】
设动点P(x 0,y 0)，PQ 的中点为M (x,y )，可得{x =
x 0+32y =
y 02
，得x 0=2x −3，y 0=2y .
∵点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上运动
∴(2x −3)2+(2y)2=1，化简得(2x −3)2+4y 2=1. ∴所求动点M 的轨迹方程是(2x −3)2+4y 2=1. 故选C. 【点睛】
求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x ， y 之间的关系F (x,y )=0； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点P (x,y )依赖于另一动点Q (x 0,y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x,y )的轨迹方程．
二、填空题
12．已知M 是抛物线()2
:20C y px p =>上一点， F 是抛物线C 的焦点，若
,MF p K =是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=__________．
【答案】45°或
4
π
【解析】过点M 作准线的垂线，垂足为N ，由抛物线的定义可得MN MF FK p ===,
又MN //FK ，
∴四边形FMNK 为正方形， ∴4
MKF π
∠=
． 答案：45°或
4
π
13．如图，已知椭圆C 1：x 2m
+y 2
=1(m >1)，双曲线C 2：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的
离心率e =√5，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与C 2的渐近线的两交点将线段AB 三等分，则m =__________．
【答案】11
【解析】双曲线离心率√5=√1+b 2
a 2,所以b
a =2,双曲线渐近线为y =2x .代入椭圆方程得x 2=m
1+4m ,y 2=(2x )2=4m
1+4m ,故C 1与C 2的渐近线的两交点弦长为2√x 2+y 2=2√5m
1+4m ,依题意可知2√
5m 1+4m
=1
3
×2√m ,解得m =11.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和双曲线的位置关系,考查直线与圆的位置关系,考查双曲线和椭圆的的基本几何性质,考查双曲线的渐近线斜率和离心率的对应关系.题目给出双曲线的离心率,根据e =√1+b 2
a 2可求得双曲线渐近线的斜率,由此得出渐近线的方程.
14．若直线l ： 30x +=与圆C ： 2
2
20x ax y -+=有交点，则直线l 的斜率为 ，实数a 的取值范围为 ．
,][(),13,-∞-⋃+∞
【解析】
=线与圆的位置关系，可知圆心到直线的距离等于半径，所以有32
a d a +=
=，结合
0a >的条件，解得3a =．
考点：直线与圆的位置关系．
15．已知A={(x，y)|(x−1)2+y2=1}，B={(x，y)|x+y+m≥0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是___．
【答案】[√2−1，+∞)
【解析】集合A表示圆心为（1,0），半径为1的圆上的点．集合B表示直线x+y+m=0的上方的点．
由题意得圆在直线的上方，故得圆心到直线的距离d=
√2
≥1，解得m≥√2−1或m≤−√2−1，结合图形得m≥√2−1．故实数m的取值范围是[√2−1,+∞)．
答案：[√2−1,+∞)
点睛：
解答本题注意两点：一是弄清两个集合的含义，二是要借助数形结合的方法解决问题．解题时将两集合间的包含关系转化为圆与直线相离或相切处理，然后根据圆心到直线的距离大于或等于半径来解决．
三、解答题
16．已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，且抛物线y2=4x的准线恰好过
椭圆的一个焦点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0,1)的直线l与椭圆交于M,N两点，求ΔOMN面积的最大值。

【答案】(1)x2
4+y2
3
=1 (2)2√6
3
【解析】试题分析:（1）设椭圆的焦半距为c，抛物线y2=4x的准线为x=−1，∴c=1
e=c
a =1
2
，∴a=2,b2=a2−c2=3，代入椭圆的方程即可得答案．
（2）分析易得直线不能与x轴垂直，设l的方程为y=kx+1，联立l与椭圆C的方程得(4k2+3)x2+8kx−8=0，计算△分析可得直线与椭圆有两个交点，设点M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析可得|MN|的值，由点到直线的距离公式计
算O到l的距离，进而分析可得S=1
2d|MN|=2√6√2k2+1
4k2+3
，由基本不等式的性质分析可
得答案．
试题解析:（1）设椭圆的焦半距为c，抛物线y2=4x的准线为x=−1，∴c=1
e=c
a =1
2
，∴a=2,b2=a2−c2=3所以椭圆C的方程是x2
4
+y2
3
=1．
（2）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．
设其斜率为k ，那么直线l 的方程为y =kx +1．
联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0． Δ=64k 2+32(4k 2+3)>0．
设点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)得x 1+x 2=−8k
4k 2+3，x 1x 2=−8
4k 2+3 所以|MN |=√1+k 2|x 1−x 2|=4√6√(2k 2+1)(k 2+1)
4k 2+3
， 又O 到l 的距离d =
√k 2+1
所以ΔOMN 的面积S =12
d |MN |=
2√6√2k 2+1
4k 2+3
．
设t =√2k 2+1(t ≥1)令，那么2k 2=t 2−1，4k 2+3=2t 2+1
∴S =2√6t
2t 2+1=2√62t+
1t
，
因为f(x)=
2√62x+
1x
(x ≥1)是减函数
所以当x =1时，S max =2√6
2+1=
2√6
3
所以△OMN 面积的最大值是
2√6
3
． 【点睛】本题考查椭圆与直线的位置关系以及椭圆几何性质的应用，关键是求出椭圆的标准方程，宾灵活应用根与系数关系及点到直线公式．
17．已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ∆的外接圆，过点（2，6）的直线为l 。

（1）求圆C 的方程；
（2）若l 与圆相切，求切线方程；
（3）若l 被圆所截得的弦长为34，求直线l 的方程。

【答案】解：（1）圆C 的方程为：2
2
(4)16x y -+=
（2）62)y x -=
- （3）243260x x y =+-=或 【解析】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，直线斜率的求法，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，线段中点坐标公式，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论及转化的思想，其中当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
（1）三角形外接圆的圆心C 为三角形三边垂直平分线的交点，故找出边OA 与OB 的垂直平分线交点即为圆心C ，由A 和O 的坐标得出直线OA 的斜率，利用两直线垂直
时斜率满足的关系求出线段OA垂直平分线的斜率，再利用线段中点坐标公式求出线
段OA的中点坐标，确定出线段OA垂直平分线的方程，找出线段OB垂直平分线的方程，两直线解析式联立求出两直线的交点坐标，即为圆心C的坐标，再由C与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C 的标准方程即可；
（2）显然切线方程的斜率存在，设切线方程的斜率为k，由切线过（2，6），表示出切线的方程，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线的方程；（3）当直线l的斜率不存在时，显然x=2满足题意；当直线l的斜率存在时，设直
线l的斜率为k，由直线l过（2，6），表示出直线l的方程，由弦长及半径，利用
垂径定理及勾股定理求出弦心距，即为圆心C到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程
18．设常数t>2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2 ， 0)，直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x(0≤x≤t ， y≥0)．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）|BF|=t+2；（2）S=1
2×√3+7
3
=7√3
6
；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；
（3）设P 及E 点坐标，根据直线k PF •k FQ =﹣1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP →
+FQ →
=FE →
，求得E 点坐标，则（48+y 24y
）2
=8（y 2
8
+6），即可求得P 点坐标．
【详解】
（1）方法一：由题意可知：设B(t ， 2√2t)， 则|BF |=√(t −2)2+8t =t +2， ∴|BF |=t +2；
方法二：由题意可知：设B(t ， 2√2t)，
由抛物线的性质可知：|BF |=t +p
2=t +2，∴|BF |=t +2； （2）F(2 ， 0)，|FQ |=2，t =3，则|FA |=1， ∴|AQ |=√3，∴Q(3 ， √2)，设OQ 的中点D ， D (3
2 ， 
√2
2
)， k QF =√32−032
−2=−√3，则直线PF 方程：y =−√3(x −2)，
联立{
y =−√3(x −2)y 2
=8x
，整理得：3x 2−20x +12=0， 解得：x =23
，x =6（舍去）， ∴△AQP 的面积S =1
2×√3+7
3=7√3
6
； （3）存在，设P (
y 28 ， y)，E (
m 28
 ， m)，则k PF =y y 2
8
−2
=
8y
y −16
，k FQ =
16−y 28y
， 直线QF 方程为y =
16−y 28y
(x −2)，∴y Q =
16−y 28y
(8−2)=
48−3y 24y
，Q (8 ， 
48−3y 2
4y
)，
根据FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =FE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则E (y 2
8+6 ， 48+y 2
4y )， ∴(
48+y 24y
)2
=8(y 2
8+6)，解得：y 2=
165
，
∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P (2
5 ， 
4√5
5
)．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
19．已知点A B 、的坐标分别是(0,1)-、(0,1)，直线AM BM 、相交于点M ，且它们的斜率之积为12
-． (1)求点M 轨迹C 的方程；
(2)若过点(0,2)D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E F 、，试求OEF ∆面积的取值范围（O 为坐标原点）．
【答案】（1）1222=+y x (0)x ≠；（2）OEF S ∆∈. 【解析】
试题分析：（1）直接由斜率公式可求解；（2）直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，利用弦长公式求出弦EF 的长度，再由原点到直线EF 的距离求出三角形高，求出三角形OEF 面积的表达式，再利用基本不等式求最值.
试题解析：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ⋅=-，∴1112
y y x x +-⋅=- 整理，得12
22
=+y x (0)x ≠，这就是动点M 的轨迹方程． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y kx =+ ①
将①代入1222=+y x 得：22(21)860k x kx +++=，由0∆>，解得232
k > 设()11,E x y ，()22,F x y ，则2
1221228,216
21k x x k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
②
12121212111122222
OEF OED OFD S S S OD x OD x OD x x x x x x ∆∆∆=-=⋅-⋅=⋅-=⨯⋅-=-
12x x -====. 令23(0)2k t t -
=>,所以23(0)2k t t =+>. 所
以12OEF S x x ∆=-====≤=
所以OEF S ∆∈. 考点：1、斜率公式；2、直线方程；3、椭圆方程及其性质；4、弦长公式；5、基本不等式.
20．已知圆221:(2)4C x y ++=及点2(2,0)C ,在圆1C 上任取一点P ,连接2C P ,做线段2C P 的中垂线交直线1C P 于点M .
(1)当点P 在圆1C 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程;
(2)设轨迹E 与x 轴交于12,A A 两点,在轨迹E 上任取一点00(,)Q x y 0(0)y ≠，直线12,QA QA 分别交y 轴于,D E 两点，求证：以线段DE 为直径的圆C 过两个定点,并求出定点坐标.
【答案】(1) 22
113
x y -= (2)
证明见解析，定点为(
【解析】本试题主要考查了运用双曲线定义求解轨迹方程，以及利用直径的两端点坐标求解圆的方程的综合运用试题。

解:（1）2MC MP =Q ， 又1MP MC r =+Q
122(24)MC MC ∴-=±<
M ∴点轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线22,24a c ==22
113
x y ∴-=……………4分 （2）010:(1)1y QA y x x =++00(0,)1
y D x ∴+ 020:(1)1y QA y x x =--00(0,)1y E x -∴-0
3(0,)DE y -∴中点……………8分 以DE 为直径的圆方程22200033()()x x y y y ++
=……………9分0y ∴=时，22
02200993x x y y =-=……………11分
定点为(。