【三维设计】2013高考数学一轮复习 第13节 导数的应用(二)课件

(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，
∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
答案：A
2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的
最小值是
()
A．－9
B．－16
C．－12
D．－11
解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2. 又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9， ∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16. 答案： B
当1<k<e－e 1时函数f(x)的最大值为f(1)＝(1－k)e，当e－e 1≤k<2 时，函数f(x)的最大值为f(0)＝－k， 当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减． ∴f(x)在[0,1]上的最大值为f(0)＝－k. 综上所述，当k<e－e 1时，f(x)的最大值为f(1)＝(1－k)e. 当k≥e－e 1时，f(x)的最大值为f(0)＝－k.
[例2] (2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
第 二
第 十
章
三
节 函
数、
导
导
数
数
的
及
应
其
用
应
(
用
Hale Waihona Puke 二)抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次)．
2.会利用导数解决某些实际问题.
怎么考 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函 数的最值及生活中的优化问题成为高考的热点，试 题大多有一定难度，考查时多与函数的单调性、最 值结合命题.
[冲关锦囊] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)， 并根据实际意义确定定义域； (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域 内的实根，确定极值点； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所 求的最大(小)值； (4)还原到实际问题中作答.
答案： S
实际问题的最值问题 有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函 数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有 一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极 值点就是最大(小)值点．
[精析考题]
[例1] (2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)ex (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
4．(教材习题改编)函数g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是______． 答案： 0
5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是______．
解析：设矩形的一边边长为 x，则另一边边长为Sx， 其周长为 l＝2x＋2xS，x＞0，l′＝2－2xS2 . 令 l′＝0，解得 x＝ S. 易知，当 x＝ S时，其周长最小．
[自主解答] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的情况如下：
x (－∞，k－1) (k－1) (k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增
区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递 增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1时，即k≥2，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
(2)由f′(x)＝0可得x＝a，a>0， ①当0<a≤1时，f′(x)>0在(1,2]上恒成立， 所以y＝f(x)在[1,2]上递增， 所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝2a3＋2. ②当1<a<2时，
x
(1，a) a
(a,2)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小
由上表可得y＝f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)＝3a2＋1. ③当a≥2时，f′(x)<0在[1,2)上恒成立， 所以y＝f(x)在[1,2]上递减． 所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)＝a3＋5. 综上讨论，可知： 当0<a<1时，y＝f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝2a3＋2； 当1≤a≤2时，y＝f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)＝3a2＋1； 当a>2时，y＝f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)＝a3＋5.
较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
1．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最
大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
解析：f′(x)＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取 何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[自主解答] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 由已知得a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.
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3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)
的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最
大年利润的年产量为
()
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)． 当0<x<9时，y′>0； 当x>9时，y′<0，则当x＝9时，y取得最大值． 答案： C
3．(2012·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元 (x>6)，年销售为u万件，若已知5885－u与x－2412成正比， 且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解：(1)设5885－u＝kx－2412， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5885－28＝k10－2412，解得k＝2， ∴u＝－2x－2412＋5885＝－2x2＋21x＋18， ∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6) ＝－2x3＋33x2－108x－108.(x>6)．
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1．(2011·西安联考)函数f(x)＝12x2－ln x的最小值为________．
解析：f′x＝x－1x>0， x>0，
得x>1，fx′>0，x<0，
得0<x<1.
∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝12－ln 1＝12. 答案：12
2．[文](2012·济宁模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像在点p(1,0)处 的切线与直线3x＋y＝0平行． ( 1)求a，b； (2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．
一、函数的最值
1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这 个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)．
2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这 个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)．
3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值 ； (2)将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) 比
[理](2011·海淀区期末)已知函数f(x)＝x2＋2xa3＋1，其中a>0. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝1平行，求a的值； (2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值．
解：f′(x)＝2x－2xa23＝(2x 3x－2 a3)，x≠0. (1)由题意可得f′(1)＝2(1－a3)＝0，解得a＝1， 此时f(1)＝4，在点(1，f(1))处的切线为y＝4，与直线y＝1平行． 故所求的a值为1.
[精析考题] [例3] (2011·辽宁高考)设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲 线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2.
[自主解答] (1)f′(x)＝1＋2ax＋bx. 由已知条件得ff′ 1＝1＝ 0，2. 即11＋ ＋a2＝ a＋0， b＝2. 解得a＝－1，b＝3.
(2)y′＝－6x2＋66x－108 ＝－6(x2－11x＋18) ＝－6(x－2)(x－9)． 令y′＝0，得x＝2(∵x>6，舍去)或x＝9，
显然，当x∈(6,9)时，y′>0； 当x∈(9，＋∞)时，y′<0， ∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增加的； 在(9，＋∞)上是减少的， ∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135， ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
[冲关锦囊] 函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发 展．从函数图像上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b] 上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点 处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.
[精析考题]
f′(x)
＋
0－ 0
＋
f(x)
2
－2
由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3 因此根据f(x)的图像 当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2 最小值为f(t)＝t3－3t2＋2； 当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2； 当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax 由已知条件ff′1＝10＝－3 即a2＋ a＋b＋ 3＝1＝ －03， ， 解得ba＝ ＝2－. 3，
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) f′(x)与f(x)随x变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x. 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，则 g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－1x2x＋3.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在 (0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．而g(1)＝0，故当x＞0 时， g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
本题条件不变，求f(x)在区间[0,1]上的最大值．
解：当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增． ∴f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝(1－k)e. 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在(0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以 f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)和f(1)较大者．若f(0)＝f(1)， ∴－k＝(1－k)e，即k＝e－e 1.