第四章 自由曲线

P ' (t ) • 单位切矢量 T P ' (t )
• 曲率
T
'
• 对于一般参数t，可以推
导出曲率计算公式:

P(t ) P(t ) P(t )
3
8
4.1.3 插值、拟合和光顺
• 插值、拟合和逼近
– 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构 造的曲线称为插值曲线。 – 例如:给定函数f(x)在区间[a,b]中互异的n个点的值f(xi),基 于这个列表数据,寻找某一个函数r(x)去逼近f(x).要求r(x) 在xi处与f(xi)相等,这种函数逼近问题为插值问题,称r(x)为 f(x)的插值函数,xi为插值节点.即r(x)在n个插值节点xi处与 f(xi)相等,而在别处用r(x)近似地代替f(x).
3 2
t [0,1]
a0 P0 a1 P0' a2 3P0 3P 2 P ' 0 P ' 1 1 a 2 P 2 P P P ' 0 1 0 1 3
P(t ) (2t 3 3t 2 1) P0 (2t 3 3t 2 ) P (t 3 2t 2 t ) P0' (t 3 t 2 ) P ' 1 1 t [0,1]
– 参数表示: P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
• 显式表示：不能表示封闭或多值的曲线,如不能用显 示方程表示一个圆.
4
4.1.1 曲线曲面的表示
• 显式或隐式表示存在下述问题：
– 与坐标轴相关
– 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线） – 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表 示 – 不便于计算机编程
x(t ) a3 x t a2 x t a1x t a0 x 3 2 y (t ) a3 y t a2 y t a1 y t a0 y 3 2 z (t ) a3 z t a2 z t a1z t a0 z
3 2
t [0,1]
• 上述代数式写成矢量式是
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H(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 -0.2 H2(t) 0.4 0.6 H3(t) 0.8 1 t
`
H0(t)
H1(t)
图8-4 Hermite基函数
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• 几何形式:
– 分析调和函数及调和函数曲线,当t=0,仅H0决定P(t)的值, 此时H0=1、H1=H2=H3=0.并且H1=1-H0,随着t从0到1的变化, H0的作用逐渐减小到0,当t=1,仅H1决定P(t)的值,此时H1=1、 H3=H2=H0=0. – H0、H1专门控制端点的函数值对曲线的影响,而同端点的 导数值无关,H2、H3专门控制端点的一阶导数值对曲线形 状的影响,而同端点值无关. H0、 H2控制左端点的影响, H1 、H3控制右端点的影响.
Q1(1) Q2(0)
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4.1.6 连续性
• 参数曲线段Q1(t)和Q2(t), t∈[0, 1]
– 若Q1(1)和Q2(0)在P点已有C0, C1连续且其Q1’’(1)和Q2’’(0)
的方向和大小均相同,则Q1(t)和Q2(t)在P点处有C2连续. 推广之,若 Q1n(1)和Q2n(0)在P点处的方向和大小均相同, 则Q1(t)和Q2(t)在P点处有Cn连续. – – 若Q1(t)和Q2(t)在P点已有G0, G1连续且其Q1’’(1)和Q2’’(0)
第四章 曲线与曲面基础
• 4.1 自由曲线与自由曲面 • 4.2 Bezier曲线 • 4.3 B样条曲线
1
为什么要研究曲线和曲面？
• 几何造型系统中有三种描述物体的三维模型:线框 模型、曲面模型和实体模型。 • 实际的计算机辅助设计中，经常涉及复杂曲线和曲 面的处理，用两种方法：
–由已知的离散点决定曲线 –将存在的曲线修改，使之符合要求
– P（t）=t0*P0+ t1*P1+ t2*P2 – 其中每个参数值t称为节点。 – 对于一条插值曲线，型值点P0、P1……。对于一组有序 的型值点所确定的一种参数分割，称之为这组型值点的 参数化。
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4.1.5 参数曲线的代数和几何形式
以三次参数曲线为例，讨论参数曲线代数、几何形式。 • 代数形式
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4.1.3 插值、拟合和光顺
• 曲线曲面的插值：当用一组型值点来指定曲线曲面的
形状时，线或面的形状完曲线的拟合
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4.1.3 插值、拟合和光顺
– 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值， y1= f(x1),y2= f(x2).用一个线性函数：r(x)=y=ax+b，近似 代替f(x)，选择线性函数的系数a,b使得:r(x1)=y1,r(x2)=y2, 称r(x)为f(x)的线性插值函数。
5
4.1.1 曲线曲面的表示
• 非参数表示和参数表示：
y 1 x
2
p( ) [ x, y] [cos ,sin ]
6
4.1.1 曲线曲面的表示
• 参数表示的优点：
– 可以满足几何不变性的要求
– 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 – 对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换 – 便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算 – 变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于 用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去
– 选择合适的系数a,b,c构造插值函数 。) (x
y
y
y f (x)
y f (x)
y (x)
y (x)
y1
y2
x2
x
y1
y2
y3 x3
x
12
o
x1
(a)
o
x1
x2
(b)
4.1.3 插值、拟合和光顺
• 拟合
– 当插值点太多,构造插值函数使其通过所有的点是相当困 难的. – 选择一个次数较低的函数,在某种意义上逼近这些点.拟合 方法很多,最常用的有最小二乘法. – 最小二乘法:一组点(xi,yi),i=1,2…n要求构造一个m(m<nm 1)次多项式函数 j
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4.1.3 插值、拟合和光顺
• 逼近：在构造曲线和曲面过程中,用插值或拟 合方法使生成得曲线和曲面达到某些设计要 求。
– 如在允许的范围内贴近原始的控制点序列.
– 如曲线和曲面看上去要光滑和光顺等.
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4.1.4 参数化
• 过3个点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可 以有无数条，因为参数t在[0，1]区间的分割可以有 无数种：
4.1.3 插值、拟合和光顺
• 光顺:指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言， 相对光顺的条件是：
– a. 具有二阶几何连续性(G2)； – b. 不存在多余拐点和奇异点； – c. 曲率变化较小。
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4.1.3 插值、拟合和光顺
• 光顺 – 拐点的定义 设函数y=f(x)在区间(a，b)内各点具有导数或其导数为 无穷大，则称相应曲线上凸部分与下凸部分的分界点为拐 点．例如:曲线y＝sinx，点(0，0)，(π，0)是拐点． – 奇异点的定义 一个奇点通常是一个当数学物件上被称为未定义的点，或 当它在特别的情况下无法完序，以至于此点出现在于异常 的集合中。诸如导数。
y F ( x) a j x
j 0
逼近这些点.拟合的好坏用各点偏差的平方和最小或加权 的方差最小:
[ F ( xk ) yk ] 或 d k [ F ( xk ) yk ]
2 k 1 k 1
n
n
2
– 其中dk是权因子,对可靠的点赋较大的比重.
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4.1.3 插值、拟合和光顺
• 拟合
– 以求各点偏差平方和的极小值的方法,求得F(x)中的系数.
( a j ) d k [ a x yk ]
k 1 j 0 j j k
n
m
2
– 求极值:
2 ai

dk [
k 1 j 0
n
m
i a j xkj yk ]xk 0
– 有m+1个方程,可以解出m+1个未知数a0,a1,…am,代入定 义即可求得多项式函数F(x). 14
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4.1.6 连续性
•
–
参数曲线段Q1(t)和Q2(t), t∈[0, 1]
Q1(1)=Q2(0), 即Q1(t)和Q2(t)的端点重合于P,则Q1(t) 和Q2(t)在P点处有C0 和G0连续.
–
–
Q1(1)和Q2(0)在P点重合,且其在P点处的切矢量方向
相同,则Q1(t)和Q2(t)在P点处有G1连续. Q1(1)和Q2(0)在P点重合,且其在P点处的切矢量方向 相同,大小相等,则Q1(t)和Q2(t)在P点处有C1连续.
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4.1.6 连续性
• • •
– –
对曲线曲面而言,光滑是指在切矢量上的连续性,更 精确的要求是指曲率的连续性. 设计一条复杂曲线时,通常需要多段曲线组合而成, 这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题 曲线间连接的光滑度的度量有两种:
使得组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢,即n阶 连续可微,这类光滑度称为Cn 或n阶参数连续性. 组合曲线段在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件,称 为具有n阶几何连续性,记为: Gn
上式是三次Hermite曲线的几何形式，其中 P0、 P1、P’0和P’1 为几何系数. H0、H1、H2、H3称为 调和函数（或混合函数）
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• 几何形式:
– 通过不同的已知条件,构造的参数曲线,会得到不同的调和 函数.可用于描述曲线的条件有端点坐标,切矢量,曲率等. – 可以以各种方式构造曲线的参数几何形式,其中以两个端 点及其切矢量构造的曲线称为三次Hermite曲线. – Hermite曲线调和函数的作用:通过端点及其切矢量产生 整个t值范围内的其余各点的坐标.并且只与参数t有关,由 此便于通过修改边界条件(两个端点)来改变曲线的形状.
P(t ) a3t a2t a1t a0
3 2
t [0,1]
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4.1.5 参数曲线的代数和几何形式
• 几何形式:
– 对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P’(0)、 P’(1),简记为P0、P1、P’0和P’1描述。代入
P(t ) a3t a2t a1t a0
20
H 0 (t ) 2t 3t 1 H1 (t ) 2t 3t – 令：
3 2
3
2
H 2 (t ) t 2t t
3 2
H 3 (t ) t t
3
' 3 1
2
可将其简化为：
P(t ) H 0 P0 H1P1 H P H P
' 2 0
t [0,1]
的方向相同, 则Q1(t)和Q2(t)在P点处有G2连续.
参数连续的条件比几何连续的条件苛刻。
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4.1.6 连续性
• 在曲线/曲面造型中,一般只用到C1, C2 和G1, G2 连续, 切矢量(一阶导数)反映了曲线对参数t变化速度,曲 率(二阶导数)反映了曲线对参数t变化的加速度. 曲线段在连接处达到C1连续和G1 连续的光滑度是 相同的,但曲线的变化趋势不一定相同. 在实际中,适当的选择曲线段,曲面片间的连续性,使 造型物体既能保证其光滑性的要求,也能保证其美 观性的要求.
• 须研究——自由曲线的数学表示形式
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4.1 参数曲线与曲面
• • • • 曲线曲面的表示 曲线的基本概念 插值、逼近、拟合和光顺 参数曲线的代数与几何形式——Hermite 曲线 • 参数曲面基本概念
3
4.1.1 曲线曲面的表示
• 曲线的表示： – 非参数表示：
• 显式表示: y = f（x） • 隐式表示: f（x，y）= 0
– 规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的， 而不必用另外的参数去定义边界。
– 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
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4.1.2 曲线的基本概念
• 曲线上任一点的位置矢量可表示为：
P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
• 切矢量
P ' (t ) [x ' (t), y' (t), z ' (t)]
y 2 y1 r ( x) y1 ( x x1) x 2 x1
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4.1.3 插值、拟合和光顺
– 抛物线插值：已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为 y1,y2,y3，要求构造一个函数: ( x) ax 2 bx c 使抛物线 (x) 在结点xi处与f(x)在xi处的值相等.