浙江省嘉兴丽水市2014届高三下学期4月第二次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)含答案

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014年高三教学测试（二）
理科数学 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）
1．A ；
2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ； 7．A ； 8．D ； 9．B ； 10．C ．
第9题提示：
考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所
以BC 与DF 不垂直，则①不成立；
考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射
影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，
而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；
考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从
而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．
考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.
第10题提示： 不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域
是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角
形区域（包含边界）． 因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120
121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）
．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11．10； 12．512； 13．138+（或6562）； 14．3
8； B A C D
E F
P 0
15．]3
8,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：
集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆,
由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆
分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,
⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆
心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18．（本题满分14分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
A
C a b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23π
π
<≤C ，求△ABC 面积的最小值．
18．（Ⅰ）（本小题7分）
由正弦定理，得A
C A B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2
165sin 2sin sin ===πC B ． ∴ 6π=
B （6
5π=B 舍）． （Ⅱ）（本小题7分）
由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2．
又 C B 2=时，23π
π
<≤C ，π3
2≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =．
所以3tan 2
1≥==∆C hb S ABC ，
即当3π=
C 时，ABC S ∆的最小值是3．
19．（本题满分15分）
如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．
（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；
（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小．
19．（Ⅰ）（本小题7分）
当︒=60θ时，
∵BC AD //,22===BC AD AB ．
∴AD CD ⊥．
又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥．
∴⊥CD 平面PAD ．
又⊂AE 平面PAD ，
∴AE CD ⊥．
又AD PA =，E 是棱PD 的中点，
∴AE PD ⊥．
∴⊥AE 平面PCD ．
（Ⅱ）（本小题8分）
如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ，
)0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ． ∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ．
设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩
⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θ
θ-=n ．
（第19题）
又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ．
设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=
⋅=θθαn m
要使α最小，则αcos 最大，即
0sin 21cos 2=-θ
θ， ∴ 21cos =
θ，得3πθ=
20．（本题满分14分） 有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．
（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；
（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．
20．（Ⅰ）（本小题6分）
271313131)(=⨯⨯=S P ，9
2)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）
ξ的可能值为2,1,0．
①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为
31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为
21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为
21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为
21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．
②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为3
2
，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为4
1
，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为2
1；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为
4
3
，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为4
1
．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．
③12
7
2452451)1(=
--==ξP ． 所以ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
245 127 24
5
ξ的数学期望124
5212712450=⨯+⨯+⨯
=ξE ．
21．（本题满分15分）
如图，设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另
有抛物线b x y +=2．
（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求|
||
|QB PQ 的取值范围．
21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，
且⎩
⎨⎧=+=+b b a b b a 222
22，解得33=a ，31
=b ，
（第21题）
所以椭圆方程为1932
2=+y
x ．
（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，
所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2
，即2
2t b =．
所以PQ 的方程为2
22
t
tx y -
=．
联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144
2242
22t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64
322+=
t t
x Q ，
所以132
||||2
2+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．
又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)8
9
,1(．
22．（本题满分14分）
已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．
（Ⅰ）令⎩
⎨⎧>≤=0,)(0
,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB
OA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；
（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．
22．（Ⅰ）（本小题6分）
由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ，
∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)
2ln(1
+=t a ．
∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2
ln 1
0|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）
)2ln()(2
++=x a x x g ，2
42)('2+++=
x a
x x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则
0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．
令a x x x p ++=42)(2，
∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．
由上知⎪⎩
⎪
⎨
⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22
212121+++++=+x a x x a x x g x g
]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22
ln[22)2(2+-⋅++⋅--=a
a a 42
ln
+-=a a
a ． 令42
ln )(+-=x x
x x q ，)2,0(∈x ， ∴02
ln )('<=x
x q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442
ln
2<+-<a a
a ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。