黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)

大庆实验中学2017-2018学年度下学期期末考试
高二数学（理）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：
考点：本小题主要考查复数的运算.
点评：复数的运算是每年高考必考的内容，难度较低.
2. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：解不等式化简集合，根据两个集合的交集的定义，求出，
即可得到答案
详解：
故选
点睛：本题主要考查了交集及其运算，属于基础题，求出，即可得到答案
3. 自然数是整数，是自然数，所以是整数．以上三段论推理( )
A. 正确
B. 推理形式不正确
C. 两个“自然数”概念不一致
D. “两个整数”概念不一致
【答案】A
【解析】试题分析：凡自然数都是整数，而4是自然数所以4是整数．大前提：凡自然数都是整数是正
确的，小前提：4是自然数也是正确的，结论：4是整数是正确的，∴这个推理是正确的，故选A
考点：进行简单的演绎推理．
4. 二项式的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
【答案】B
考点：二项式定理.
5. 在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据指数函数，对数函数，一次函数的增减性对选项逐一验证即可
详解：中，都单调递增，故，但是中，，矛盾，排除
中，都单调递减，故，但是中，，矛盾，排除
中，都单调递减，故，单调递增，故，矛盾，排除
故选
点睛：本题主要考查了指数函数，对数函数和一次函数的图象，指数函数和对数函数的底数大于时单调递增，底数大于小于时单调递减。

6. 用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填个空，要求个位是奇数，其他位置无条件限制，因此先从个奇数中任选一个填入，其他个数在个位置上全排列
详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有种排法
然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法
由分步乘法计算原理可得，
由组成的无重复数字的五位数中奇数共有个
故选
点睛：本题主要考查了排列与组合，根据题意将特殊位置上的数字确定后进行排列，本题较为基础。

7. 在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，
增加的项数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：分别计算当时，，当成立时，
，观察计算即可得到答案
详解：假设时成立，即
当成立时，
增加的项数是
故选
点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

考查了当和成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。

8. 随机变量的概率分布规律为，其中为常数，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：因为随机变量X的概率分布规律为（n＝1,2,3,4），所以
，所以
.
考点：随机变量的概率.
9. 观察下列各式：，，，，，…，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】观察各等式可得，各式的值构成数列，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，值为数列中的第十项，继续写出此数列为，第十项为，即，故选C.
10. 下列有关命题的说法正确的是（）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件．
C. 命题“使得”的否定是：“均有”．
D. ．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
【答案】D
【解析】对于A，由于，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故A不正确；
对于B,解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故B不正确；
对于C，特称命题的否定为全称，所以
“使得”的否定是：“均有.”
对于D，“若，则”为真命题，原命题为真，则逆否命题也为真，所以D正确.
故选D.
11. 盒子中装有形状、大小完全相同的个红球和个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到次时停止取球．那么取球次数恰为次的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：“取球次数恰为次”意味着第次取到红球且前两次取到红白，故所求概率为
．
考点：1、古典概型；2、分步计数原理．
【思路点晴】这是一个实际操作的题目，需要同学们理解好操作的过程，“取球次数恰为次”意味着第次取到红球且前两次取到红白，这样，前两次取到红球白球的概率是，第三次取到红球的概率是，
按分布计数原理，概率为，另外要注意的就是本题是有放回的抽取,不是无放回抽取.
12. 如下四个结论中，正确的有（）个
①当实数时，恒成立
②存在实数使得方程有两个不等实根
③存在实数使得：当时，；时，
④存在实数使得函数有最大值
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：利用导数，分别求导进行判断
详解：对于①令，则
，
当，时，，单调增，，则单调增
，，故①正确
对于②，令，，
在递增，在递减
，则，单调递减，
不存在实数使得方程有两个不等实根，故②错误
对于③，由②得，则在内，
在内，故正确
对于④，由③可得存在实数使得函数有最大值，故正确
综上所述，故选
点睛：本题考查了运用导数解答含有参量的恒成立问题，根的问题及最值问题，在解答过程中运用导数求导，然后判定其单调性，进而得出结果。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设，且，，则的值是__________．
【答案】4＋3i
【解析】分析：由题意可得，再结合，即可得到答案
详解：，，
又，
点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。

14. 若函数为偶函数，则__________．
【答案】1
【解析】分析：根据函数奇偶性的定义，建立方程即可得到结论
详解：函数为偶函数
即
化简为，，
解得
点睛：本题主要考查的是函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程是解题的关键，属于基础题。

15. 函数的单调增区间为____________．
【答案】
【解析】分析：先求出函数的定义域，求导，利用导数求函数的增区间
详解：的定义域为
当时，是增函数
，
故函数的单调增区间为
点睛：在定义域内运用导数，求导后令导函数大于零即可，本题较为基础。

16. 设集合，选择的两个非空子集和，使得中最大的数不大于中最小的数，则可组成不
同的子集对__________个．
【答案】49
【解析】分析：根据题意进行列举，即可得出结果
详解：①若，则可以表示为，，，，，，，，
，，，，
，，，共种
若，则可以表示为，，，，，，，共种
若，则可以表示为，，，共种
若，则可以表示为，共种
计种
②若，则可以表示为，，，，，，，共种
若，则可以表示为，，，共种
，则可以表示为，共种
，则有种
，则有种
，则有种
计种
③，则有种
，则有种
，则有种
，则有种
计种
④若，则有种
综上所述，共有种
故答案为种
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标
为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
【答案】（1），x＋y－2＝0.（2）直线l与圆C相交．
【解析】试题分析：（1）把点的极坐标代入直线的极坐标方程即可求得的值，进而可求得直线的直角坐标方程；（2）先把圆的参数方程消去参数化为普通方程，再判断直线与圆的位置关系.
试题解析：（1）由点在直线上，可得.
所以直线的方程可化为，
从而直线的直角坐标方程为.
（2）由已知得圆的直角坐标方程为，所以圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．
考点：1、极坐标与参数方程；2、直线与圆的位置关系.
18. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2
分, 未中奖则不得分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】（1）（2）他们都选择方案甲
【解析】试题分析：解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,
记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,
,
这两人的累计得分的概率为. 6分
(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为
由已知:,
,
,
他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 12分
考点：独立事件的概率以及期望
点评：主要是考查了独立事件的概率以及期望值的运用，属于中档题。

视频
19. 设直角坐标系原点与极坐标极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为
，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（II）求曲线C上的动点P到直线l的最大距离。

【答案】（1），（2）
【解析】分析：（I）消去参数，可得直线的普通方程和曲线的直角坐标方程
（II）设动点，则到直线的距离，即可求得曲线上的动点到直线的最大距离
详解：（I）直线l普通方程为
椭圆C的普通方程为
（II）由椭圆的普通方程可以得到其参数方程为
则动点的距离为
由于
点睛：本题考查的是点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题。

利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即可得到答案
20. 已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间.
【答案】（1）4（2）递增区间为(，＋∞)；递减区间为(0，)．
【解析】分析：⑴求出函数的导数，根据是的一个极值点，利用
，可得，再检验当时，是的极小值点符合题意
⑵讨论导数的零点，可得当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为
，单调递减区间为
详解：⑴，是的一个极值点
，解得
此时，
的定义域为
当时，，当时，
即当时，是的极小值点，故
⑵，当时，的单调递增区间为
当时，，
令，则
的单调递增区间为，
令，则
的单调递减区间为
点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值，最小值问题中的应用，根据已知中的函数的解析式，求出导函数的解析式，然后确定导函数的符号是解答此类问题的关键，属于中档题，做题时要注意分类讨论思想的应用，以及取极值时的检验。

21. 某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(1)应收集多少位女生样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10], (10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P(K2≥k0)0.100.050.0100.005
k0 2.706 3.841 6.6357.879
附:K2=
【答案】（1）90（2）0.75（3）可以
【解析】分析：⑴根据抽样比例与样本总体比例相同的性质即可得到结论
⑵根据频率分布直方图横纵乘积和为的性质求解
⑶得到每周平均体育运动时间与性别联表，结合列联表可算得的值，与表中对应的相比较即可得到结论
详解：(1)300×=90,
所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得2×(0.150+0.125+0.075+0.025)=0.75,
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知,300名学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下:
平均体育运动时间与性别列联表
男生女生总计
每周平均体育运动时间
453075
不超过4个小时
每周平均体育运动时间
16560225
超过4个小时
总计21090300
结合列联表可算得K2的观测值k==≈4.762>3.841.
在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
点睛：本题主要考查了随机抽样和概率，考查了独立性检验的应用，解题的关键是根据的计算公式求得的值，属于基础题
22. 已知函数，其导函数为.
求的最小值；
证明：对任意的和实数且，总有
；
若满足：且，
求的最小值.
【答案】（1）1（2）见解析（3）
【解析】分析：⑴求出，利用导数判断的单调性，由单调性即可求得其最小值
⑵不妨设，构造新函数，只需要证明，由⑴可判断，然后得到函数在
上单调递增，于是，即
⑶先证对任意的和实数且，总有
，运用⑵的结论容易证明，再令，即可求得其最小值
详解：（1），
当时，，即在区间上为减函数；
当时，，即在区间上为增函数；
于是的最小值为.
（2）不妨设，构造函数（）
则有
则
由（1）知在区间上为增函数，于是
即，于是
即.
（3）先证对任意的和实数且，总有
令，有
当且时，有
.
点睛：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查了学生对问题的转化能力，本题综合性较强，难度大，能力要求高。