强化训练京改版九年级数学下册第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题专项攻克练习题(精选含解析)

第二十六章综合运用数学知识解决实际问题专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
a b c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数n有
1、设三位数n abc
，若,,
（）个．
A．126 B．144 C．165 D．174
2、某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )
A．6米B．7米C．8.5米D．9米
3、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）
A．自行车发生故障时离家距离为1000米
B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟
D．修车时间为15分钟
4、我区面积3424平方公里（1公里=1千米），请你估计，它的百万分之一大约相当于（）
A．一间教室的面积B．一块操场的面积
C．一张黑板的面积D．一张课桌的面积
5、如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（）
A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
6、纳米技术和纳米材料的应用几乎涉及各个领域，纳米指的是( )
A．长度单位B．面积单位
C．体积单位D．以上都不对
7、把3米长的绳子剪7次，剪成相等的长度，则（）
A．每段占3米长的1
7
B．每段是1米的3
8
C．每段是全长的3
8
D．B．每段
是1米的1 7
8、三车魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了《九章术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（）
A．《海岛算经》B．《孙子算经》C．《九章算术》D．《五经算术》
9、“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）
A．B．
C．D．
10、笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、国庆期间，小明和妈妈去上海海洋水族馆参观，共用了
3
4
4
小时，其中坐车用了1小时20分钟，
吃午饭用了1
3
小时，那么他们实际参观用了________小时．
2、附中校园有一块空地，如图分为4块区域，现学校准备将这些空地开荒种花，要求相邻空地不能种植同颜色的花（如1和2，1和3为相邻：1和4,2和3为不相邻），培育基地现有3种花色可供选择，问共有_____种种植方案．
3、一根绳子长5米，先用去1
5
，再用
1
5
米，这时还剩余________米.
4、5个人围成一个圆圈做的游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个有理数，并把自己想好的数如实告诉相邻的两个人，然后，每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报上来，若报出来的数，如图所示，则报2的人心里想的数是______
5、现将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图2所示的丝带形状，那么折痕PQ的长是________ ．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在我们的课本第142页“4.4课题学习”中，有包装纸盒的设计制作方法．这里的右图，是设计师为“XX快递”设计的长方体包装盒的轮廓草图，其中长30CM、宽20CM、高18CM，正面有“快递”字样，上面有“上”字样，棱AB是上盖的掀开处，棱CD是粘合处．请你想想，如何制作这个包装盒，然后完善下面的制作步骤．
步骤1：在符合尺寸规格的硬纸板上，画出这个长方体的展开图(草图)．注意，要预留出黏合处，并适当剪去棱角．
步骤2：在你上面画出的展开草图上，标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30CM、宽20CM、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．
2、小志从甲、乙两超市分别购买了10瓶和6瓶cc饮料，共花费51元；小云从甲、乙两超市分别购买了8瓶和12瓶cc饮料，且小云在乙超市比在甲超市多花18元，在小志和小云购买cc饮料时，甲、乙两超市cc饮料价格不一样，若只考虑价格因素，到哪家超市购买这种cc饮料便宜？请说明理由．
3、如图，现有m、n两堵墙，两个同学分别在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不会被这两个同学发现（画图用阴影表示）．
4、已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度
沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
a，b=．
（1）乙车的速度为千米/时，=
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
5、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式的解集
（1）探究的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为，由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为，
可记为：A＇O=．将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对应的数为，点B的对应数是1，
因为AB= A＇O，所以AB=．
因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程=2的解
因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为
（3）求不等式的解集
因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围．
请在图②的数轴上表示的解集，并写出这个解集
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P 点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则
因此的几何意义可以理解为点M与原点O（0,0）之间的距离OM
（2）探究的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，由探究（二）（1）可知，
A＇O=，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）．
因为AB= A＇O，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A （）与点B（1,5）之间的距离．
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4）的几何意义可以理解为：_________________________.
拓展应用：
（1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距
离与点AA与点F____________（填写坐标）的距离之和．
（2）+的最小值为____________(直接写出结果)
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
先考虑等边三角形情况，则a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此时n有9个，再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，列举出所有的情况，注意去掉不能构成三角形的结果，交换腰和底的位置，求和得到结果．
【详解】
解：由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，
先考虑等边三角形情况，
则a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此时n有9个，
再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，
当a=b=1时，c＜a+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；
当a=b=2时，c＜4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n有2个；
当a=b=3时，c＜6，则c=1，2，4，5，此时n有4个；
当a=b=4时，c＜8，则c=1，2，3，5，6，7，有6个；
当a=b=5时，c＜10，有c=1，2，3，4，6，7，8，9，有8个；
由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52个
同理，若a，c是腰时，c也有52个，b，c是腰时也有52个
所以n共有9+3×52=165个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了整数问题的综合运用，解答本题的关键是根据所给的条件不重不漏的列举出所有的结果，注意数字要首先能够构成三角形，即满足两边之和大于第三边．
2、D
【详解】
试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴=，
即=，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为9．
【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
3、D
【分析】
观察图象，明确每一段小明行驶的路程、时间，作出判断.
【详解】
A、自行车发生故障时离家距离为1000米，正确；
B、学校离家的距离为2000米，正确；
C、到达学校时共用时间20分钟，正确；
-=分钟，可知D错误.
D、由图可知，修车时间为15105
故选：D.
【点睛】
此题考查了学生从图象中获取信息的数形结合能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势.
4、B
【分析】
首先算出3424平方公里的百万分之一大约是多少，然后与选择项比较即可．
【详解】
3424平方公里=3424平方千米=3424000000平方米，
3424000000×=3424平方米，
应是一块操场的面积．
故选B
【点睛】
解决本题的关键是把我区面积进行合理换算，得到相应的常见的值．
5、C
【分析】
根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．
【详解】
解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，
且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，
因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，
故答案为C
【点睛】
本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．
6、A
【解析】
【分析】
根据长度单位的定义可知纳米指的是长度单位．
【详解】
解：纳米指的是长度单位，
故选A.
【点睛】
此题考查了长度单位，熟记长度单位的定义是解题的关键．
7、B
【详解】
试题分析：把3米长的绳子剪7次后将绳子剪成了相等的8段，所以每段应该是全长的1
8
，即长度
为3
8米，所以是1米的3
8
，故选B
8、A
【详解】
《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是《海岛算经》．
故选A．
9、B
【分析】
根据数学常识逐一判别即可得．
【详解】
A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选B．
【点睛】
本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
10、B
【分析】
解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．
【详解】
解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．
二、填空题
1、1312
【分析】
用总时间减去坐车和吃午饭的时间即为实际参观的时间．
【详解】
1小时20分钟113
=小时， 31132981414141343343121212
⎛⎫-+=-=-= ⎪⎝⎭（小时）． 故答案为13
12
． 【点睛】 本题考查分数加减法的应用，根据题意正确列出算式并注意单位的统一是解题关键．
2、18
【分析】
先确定1号区域和2号区域有多少种种植方案，然后根据3号区域与2号区域种植的花色是否相同分类讨论，分别求出每种情况下的种植方案，最后求和即可．
【详解】
解：根据题意可知：1号区域有3种花色可选，2号区域对于1号区域选取的每一种花色，都有2种花色可选，故1号区域和2号区域共有3×2=6种种植方案；
若3号区域与2号区域种植的花色相同，则对于以上每种种植方案来说，4号区域都有2种花色可选，此时共有6×2=12种种植方案；
若3号区域与2号区域种植的花色不同，则对于以上每种种植方案来说，4号区域只有1种花色可选，此时共有6×1=6种种植方案；
综上所述：共有12＋6=18种种植方案．
故答案为：18．
【点睛】
此题考查的是分步计数原理，逐步分析每个区域的种植方案是解决此题的关键．
3、195
【详解】 试题分析：一根绳子先用去15则还剩5×（1-45） =4米，在用去15 米，还剩4-15=195米，故答案为195
米． 【点睛】解答本题的关键是把绳子长度看作单位“1”，依据分数乘法的意义，求出第一次用去的长度，依据是等量关系式：剩余长度=总长度-第一次用去长度-第二次用去长度．此为易考点．
4、-3
【分析】
假设报2的人心里想的数是x ，由于3是报4的人和报2的人心里想的数的平均数，则报4的人心里想的是6-x ，报1的人心里想的是4+x ，以此类推报3的人心里想的数是-x ，报5的人心里想的是8+x ，列出方程即可求解.
【详解】
解：设报2的人心里想的数是x
则报4的人：326x x ⨯-=-
报1的人：5264x x ⨯--=+()
报3的人：22(4)x x ⨯-+=-
报5的人：42()8x x ⨯--=+
∵1是报5和报2的人心里想的数的平均数
解的3
x=-
故答案为：-3
【点睛】
本题主要考查的是阅读理解和探索规律题，其中考查的知识点有平均数的相关计算以及一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键.
5
【解析】
解：如图，作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M、N，
∵长方形纸条的宽为2cm，
∴AM=BN=2cm，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
在Rt△ABN中，AB===cm．
本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO，有一定难度．
三、解答题
1、步骤1见解析；步骤2见解析；步骤3见解析
根据要求画出长方体的平面展开图即可．
【详解】
步骤一：如下图(有多种作图方案，画出一种合理的即可):
步骤2：在图中标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30CM、宽20CM、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：按图中所示裁下展开图，折叠并粘好黏合处，即可得到长方体包装盒．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，几何体的展开图等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
2、到甲超市购买这种cc饮料便宜．
【分析】
设甲超市cc饮料每瓶的价格为x元，乙超市cc饮料每瓶的价格为y元，根据“小志从甲、乙两超市分别购买了10瓶和6瓶cc饮料，共花费51元；小云从甲、乙两超市分别购买了8瓶和12瓶cc饮料，且小云在乙超市比在甲超市多花18元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之比较后即可得出结论．
【详解】
设甲超市cc饮料每瓶的价格为x元，乙超市cc饮料每瓶的价格为y元，
依题意，得：
10651 12818
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
3
3.5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
∵3＜3.5，
∴到甲超市购买这种cc饮料便宜．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3、见解析
【解析】
【试题分析】根据光沿直线传播，两人同时看不到的地方即为所求的区域.
【试题解析】
小明在阴影部分的区域就不会被发现．
4、（1）75；3.6；4.5；（2）
()
()
1352702 3.6
60 3.6 4.5
x x
y
x x
⎧-<≤
⎪
=⎨
<≤
⎪⎩
；（3）当甲车到达距B地70千米处时，求
甲、乙两车之间的路程为180千米．
【分析】
（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a b 、的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】
解：（1）乙车的速度为：()270602275-⨯÷=千米/时，
27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=．
故答案为75；3.6；4.5；
（2）60 3.6216⨯=（千米），
当2 3.6x <≤时，设11y k x b =+，根据题意得：
1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270
k b =⎧⎨=-⎩， ∴()1352702 3.6y x x =-<≤；
当3.6 4.5<≤x 时，设60y x =，
∴()()1352702 3.660 3.6 4.5x x y x x ⎧-<≤⎪=⎨<≤⎪⎩
；
（3）甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：()2027070606-÷=
（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯
-=（千米）．
答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
【点睛】
考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.
5、探究一（3）解集为：
探究二（3）（）拓展应用（1）（）（2）5
【详解】
试题分析：探究一（3）：的解集就是数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知
探究二（3）：根据题目信息，的几何意义可以理解为点A（）与点B
（）之间的距离．
拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和．
+表示点A与点E的距离与点A与点F
（）的距离之和．∴最小值为E与点F（）的距离5.
试题解析：探究一
（3）
解集为：
探究二（3）
如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，
由探究（二）（1）可知， A＇O=，
将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）．
因为AB= A＇O，所以 AB=，
因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离．拓展应用
（1）（）（2）5
考点：信息阅读题。