河北省安平县安平中学高一数学寒假作业9实验班

河北安平中学高一年级数学学科寒假作业九
2019年2月10日
一、选择题
1.下列说法不正确的是( )
(A)空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
(B)同一平面的两条垂线一定共面
(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内
(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
2.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或异面
3.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
(A)α⊥β且m⊂α(B)α⊥β且m∥α(C)m∥n且n⊥β (D)m⊥n且α∥β
4.下列命题正确的是( )
(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
(C)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行
(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
5.如图,在四面体D ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( )
(A)平面ABC⊥平面ABD (B)平面ABD⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
(D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面
体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是
( )
(A)O是△AEF的垂心(B)O是△AEF的内心
(C)O是△AEF的外心(D)O是△AEF的重心
7．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平
面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的
中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A.452
B.4532
C ．45
D ．45 3
8.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1上与端点不重合的动点,A 1E=B 1F ,有下面四个结论;①EF ⊥AA 1; ②EF ∥AC ;③EF 与AC 异面; ④EF ∥平面ABCD.其中一定正确的是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
二、填空题
9.已知平面α∥β,P ∉α且P ∉β,过点P 的直线m 与α,β分别交于A,C,过点P 的直线n 与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD 的长为 .
10.如图,在四面体A BCD 中,BC=CD,AD ⊥BD,E,F 分别为AB,BD 的中点,则BD 与平面CEF 的位置关系是 .
三、解答题
11. (15分)如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面为等边三角形,D 是AA'上的点,E 是B'C'的中点,且A'E ∥平面DBC'.试判断点D 在AA'上的位置,并给出证明.
12．(本小题满分15分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，N 是BB 1
的中点．求证：平面MDB 1∥平面ANC .
13.(20分)如图,在三棱锥S-ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS=AB.过点A 作AF ⊥SB ,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.
求证;(1)平面EFG ∥平面ABC ;
(2)BC ⊥SA.
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业九答案
1.解析;当直线与平面垂直时,过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个,所以D 错误,选D.
2.解析;因为a ∥α,a ⊂β,α∩β=b,所以a ∥b.
又因为a 与α无公共点,所以α内与b 相交的直线与a 异面.故选C.
3.解析;由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C 正确.
4.解析;对于A,两条直线的位置关系不能确定,故错;对于B,两个平面不一定平行,故错;对于C,设平面α∩β=a,l ∥α,l ∥β,由线面平行的性质定理,在平面α内存在直线b ∥l,在平面β内存在直线c ∥l,所以由平行公理知b ∥c,从而由线面平行的判定定理可证明b ∥β,进而由线面平行的性质定理证明得b ∥a,从而l ∥a,故正确;对于D,这两个平面平行或相交,故错.
5.解析;因为AB=CB,且E 是AC 的中点,所以BE ⊥AC,同理有DE ⊥AC,于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内,所以平面ABC ⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD,所以平面ACD ⊥平面BDE,故选C.
6.解析;如图,由题意可知PA,PE,PF 两两垂直,所以PA ⊥平面PEF,从而PA ⊥EF,而PO ⊥平面AEF,则PO ⊥EF,因为PO ∩PA=P,所以EF ⊥平面PAO,所以EF ⊥AO,同理可知AE ⊥FO,AF ⊥
EO,所以O 为△AEF 的垂心.故选A.
7 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所
以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，所
以SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也分别为AS ，SC 的中点，从而
得HF 平行且等于12
AC 平行且等于DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452
. 8如图,由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1,则EF ⊥AA 1,所以①正确;当E ,F 分别
是线段A 1B 1,B 1C 1的中点时,EF ∥A 1C 1,又AC ∥A 1C 1,则EF ∥AC ,所以③不正确;当E ,F 不是线
段A 1B 1,B 1C 1的中点时,EF 与AC 异面,所以②不正确;由于平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ,EF
⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以EF ∥平面ABCD ,所以④正确.D
9.解析;如图1,因为AC ∩BD=P,所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD.因为α∥β,α∩平面PCD=AB,
β∩平面PCD=CD,所以AB ∥CD.所以=,即=,所以BD=.如图2,同理可证AB ∥CD.所以=,即=（BD-8）/8,所以BD=24.综上所述,BD=或24.
10解析;因为E,F 分别为AB,BD 的中点,所以EF ∥AD.又AD ⊥BD,所以EF ⊥BD.又BC=CD,F 为BD
的中点,所以CF⊥BD,又EF∩CF=F,所以BD⊥平面CEF.
11点D为AA'的中点.证明如下;取BC的中点F,连接AF,EF.
设EF与BC'交于点O,连接DO,易证A'E∥AF,A'E=AF,且A',E,F,A共面于平面A'EFA.因为
A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA,
且平面DBC'∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中,
因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF),所以点D为AA'的中点.
12证明如图所示，连接MN，因为M，N分别为AA1，BB1的中点，所以MA∥B1N，所以四边形
MANB
为平行四边形，所以MB1∥AN.因为MN∥AB∥CD，所以四边形MNCD为平行四边形，于1
是CN∥MD.因为MB1⊄平面ANC，AN⊂平面ANC，所以MB1∥平面ANC，同理MD∥平面ANC，
又MB1∩MD＝M，所以平面MDB1∥平面ANC.
13(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以
BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.。