河北省保定市2012-2013学年第一学期高三期末联考数学试题(文科)

河北省保定市2012-2013学年第一学期高三期末联考
数学试题（文科）
（满分150分，考试时间：120分钟）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。

3．考试结束，只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，把答案填涂在答题卷相应位置上）
1.已知i 是虚数单位，则3
1i i
+=（ ）
A ．-2i
B ．2i
C ．-i
D ．i
2. 已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}2,4B =，则A B = （ ） A.{}2,4 B.{}1,3 C.{}1,2,3,4 D.∅ 3．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）
A ．p q ∧是真命题
B ．p q ∨是假命题
C ．p ⌝是真命题
D ．q ⌝是真命题 4．4)2(x x +
的展开式中3x 的系数是（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48 5．实数n m ,满足10<<<m n ，则对于①n m 32=；②n m 3
2
l o g
l o g =；
③22n m =中可能成立的有（ ） A ．0个
B ．个
C ．2个
D ．3个
6、若抛物线y=4x 的焦点是F 准线是l,则过点F 和点M(4,4)且与准线l
相切的圆有（ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 4个 7、图１是设某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．918
2
π+
8．设22:160,:60p x q x x -<+->，则q p ⌝⌝是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．设x y R ∈、则“x ≥2且y ≥2”是“22x y +≥4”的( )
(A)充分不必要条件 (B]必要不充分条件 (C)充要条件 (D)即不充分也不必要条件 10．在AABC 中sin 2
A ≤sin 2
B+sin 2
C —sinBsinC ，则A 的取值范围是( )
(A)(0，
6π] (B)[ 6π
，π) (C)(0,
3π] (D)[ 3
π
，π) 11．设F 1和F 2为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，-2b ）是正三角形
的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
12．已知⎩⎨⎧≥-<+--=),
0)(1(),
0(2)(2x x f x a x x x f 且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值
范围是（ ） A ．),0(+∞
B ．)0,1[-
C ．),2[+∞-
D ．
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．已知过抛物线(0)+(2)f f ＜24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|=2,则|BF|= .
14、F 为椭圆22
22:1x y C a b += (0)a b >>的一个焦点，若椭圆上存在点A 使
AOF ∆为正三角形，那么椭圆C 的离心率为
15、如图2，程序框图输出的函数)(x f 的值域是
16．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且
→→→→==BF BC DE DC 3,3，其中R n m ∈,，若→
→→+=AF n AE m AC ，则
=+n m ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）
在数列{}n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*
∈N n ，且521,,a a a 成公比不等
于1的等比数列. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）设1
1
+=
n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S
P
A
D
F
18（本小题满分12分）
某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品.而质检部门每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （Ⅰ）求第一天产品通过检查的概率； （Ⅱ）求两天全部通过的概率.
19、（本小题满分12分） 如图，PA ⊥平面ABCD
，ABCD 是矩
形，PA=AB=1，AD 点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。

⑴求三棱锥E-PAD 的体积；
⑵当E 点为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的
位置关系，并说明理由；
⑶证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 。

20、（本小题满分12分）
ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量)1,1(-=m
，
)2
3
sin sin ,cos (cos -=C B C B n ，且n m ⊥．
（1）求A 的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①1a =；②21)0c b -=；③45B =
，试从中再选择两
个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积．
（注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．
21．（本小题满分12分） 已知函数1)(2=+=
x b
x ax
x f 在处取得极值2。

（1）求函数)(x f 的表达式；
（2）当m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增？
（3）若),(00y x P 为b x ax x f +=
2)(图象上任意一点，直线与b
x ax
x f +=2)(的图象切
于点P ，求直线的斜率k 的取值范围。

22．（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
所以符合题意的直线l不存在．
高三数学试卷答案
一、选择题
AADCC CDBAC BD 二、填空题
13．2；14。

13-；15。

13-；16。

2
3；
17 解：（Ⅰ）∵c a c a a n n ,1,1=+=+为常数，∴c n a n )1(1-+=. ………………2分 ∴c a c a 41,152+=+=.
又521,,a a a 成等比数列，∴c c 41)1(2+=+，解得0=c 或2=c .…4分 当0=c 时，n n a a =+1不合题意，舍去. ∴2=c . …………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，12-=n a n . ………………………………………………6分 ∴)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-=+=
n n n n a a b n n n …………8分
∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--++-+-=
+++=)121121()5131()311(2121n n b b b S n n 1
2)1211(21+=+-=
n n
n …………………………………………10分
18（解：（Ⅰ）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品.
∴第一天通过检查的概率为53
4
10491==C C P . ……………………………4分 （Ⅱ）同（Ⅰ），第二天通过检查的概率为3
1
410482==C C P . …………………9分
因第一、第二天是否通过检查相互独立， ……………………………10分 所以，两天全部通过检查的概率为5
1
315321=⨯==P P P . …………12分 19、解：
（1）因为点E 到平面PAD 的距离即为1
，所以1111326
E PAD V -=
⋅⋅=
····················4分
(2)直线EF 与平面PAC 平行
因为E 、F 两点分别为边PB 和BC 的中点，所以EF//PC ，且直线EF 不在平面PAC 内，直线PC 在平面PAC 内，所以，直线EF//面PAC
····················8分
(3)因为PA=AB 且F 为PB 中点，所以AF ⊥PB,又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC,由于地面ABCD
为矩形，所以BC ⊥AB,所以BC ⊥面PAB,所以BC ⊥AF,所以AF ⊥面PBC,所以无论点E 在BC 上何处时，总有AF ⊥PE 。

····················12分
20、解：（1）因为m n ⊥
，所以cos cos sin sin 0
B C B C -+=
即：
cos cos sin sin B C B C -=
，所以cos()B C +=
因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-
所
以c o s
,30
A A ==
……………………………………………………………………………
6分
（2）方案一:选择①②，可确定ABC ∆
，因为
30,1,21)0A a c b ==-=
由余弦定理，得：
2221)2b b =+-
整理得：22,b b c ===
…………………………………………………………10分
所以
111
sin
222
ABC
S bc A
∆
===
………………………………………12分方案二:选择①③，可确定ABC
∆，因为30,1,45,105
A a
B C
====
又
sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60
=+=+=
由正弦定理
sin1sin105
sin sin302
a C
c
A
⋅
===
所以
111
sin1
22224
ABC
S ac B
∆
==⋅⋅=
（注意;选择②③不能确定三角形）
21、解：
（1）因为
2
2
2
)
(
)
2(
)
(
)
(
b
x
x
ax
b
x
a
x
f
+
-
+
=
'····················2分
而函数
b
x
ax
x
f
+
=
2
)
(在1
=
x处取得极值2，
所以
⎩
⎨
⎧
=
=
'
2
)1(
)1(
f
f
，即
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
-
+
2
1
2
)
1(
b
a
a
b
a
解得
⎩
⎨
⎧
=
=
1
4
b
a
所以
2
1
4
)
(
x
x
x
f
+
=即为所求····················4分
（2）由（1）知
2
2
2
2
2
2
)
1(
)1
)(
1
(4
)1
(
8
)1
(4
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
+
+
-
-
=
+
-
+
=
'
令0
)
(=
'x
f得：1
,1
2
1
=
-
=x
x
则)
(x
f的增减性如下表：
可知，)(x f 的单调增区间是[-1，1]，
所以.011
21121
≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<≤+-
≥m m m m m
所以当]0,1(-∈m 时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增。

·········9分
（3）由条件知，过)(x f 的图象上一点P 的切线的斜率k 为： ]11
)1(2[4)1(214)1()1(4)(20
2202202
020200x x x x x x x f k +-+=++--⨯=+-='=
令20
11
x t +=，则]1,0(∈t ，
此时，21
)41(82--=t k 的图象性质知：
当41
=t 时，21
min -=k ；
当1=t 时，4max =k
所以，直线的斜率k 的取值范围是]4,21
[- ····················12分
22．解：(1)依题意，
可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
且可知其左焦点为F ′(－2,0)．
从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝2，a ＝4 (2)
分
又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，
故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. ··············································4分
(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .
由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，
x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. ······································6分 因为直线l 与椭圆C 有公共点，
所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，
解得－43≤t ≤4 3.
另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，
所以符合题意的直线l 不存在．······································12分。