广西壮族自治区防城港市企沙镇中学高二数学理月考试题含解析

广西壮族自治区防城港市企沙镇中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
参考答案：
B
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．
【解答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，
总分又等于85×7=595．所以x=5
乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．
∴x+y=8．
故选B．
2. 的展开式中的有理项共有
（A）1项（B）2项（C）3
项（D）4项
参考答案：
C
3. 方程与在同一坐标系中的大致图象可能是（）.参考答案：
A
4. 将点的直角坐标(－2，2)化为极径是正值，极角在0到之间的极坐标是（）A．(4，) B．(4，) C．(4，)
D．(4，)
参考答案：
A
略
5. 等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=( )
A．15 B．30 C．31 D．64
参考答案：
A
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．
【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．
再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．
故 a12 =a1+11d=﹣+=15，
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．
6. 不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为
（）
A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）
D．（﹣3，）
参考答案：
D
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．
【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．
【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，
由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2
所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，
化为：（2x﹣1）（x+3）＜0
解得﹣3＜x＜，
所以不等式解集为：（﹣3，）
故选：D．
【点评】本题的考点是一元二次不等式的应用，主要考查一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键，属于基础题．
7. 已知，则等于
A．0 B．-4 C．-2 D．2
参考答案：
B 略
8. 设圆锥曲线C的两个焦点分别为，，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
9. 已知a∈R、b∈R且a2+b2=10，则a+b的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 极坐标方程表示的图形是（）
A．两个圆 B．一个圆和一条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则不等式的解集为__________．
参考答案：
（－3,2）
【分析】
先判断函数在上单调递增，则不等式等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.
【详解】因为函数，
时，，且在上递增，
时，，且在上递增，
所以函数在上单调递增，
则不等式等价于，
解得，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，属于中档题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意判断函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．
12. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切，则p的值为 .
参考答案：
2
13. 如图，矩形ABCD中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.
参考答案：
【分析】
运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.
【详解】解:阴影部分的面积为，
故所求概率为
【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分面积是解题的关键. 14. 在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是________．参考答案：
设这两个数为x，y则x＋y＜，如图所示：
由几何概型可知，
所求概率为.
15. 已知函数在
处有极值，则该函数的极小值为
▲.
参考答案：
3
略
16. 如图把椭圆的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点,则
|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .
参考答案：
35
略
17. 化简2＝
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，
∠DAB=∠ABC=90°，E是D的中点．证明：CD⊥平面PAE．
参考答案：
【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求得AC，推断出AC=AD，进而根据E为中点推断出AE⊥DC，同时利用线面垂直的性质推断出PA⊥CD，最后利用线面垂直的判定定理得证．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ABC中，AC==5，
∴AC=AD，
∵E是CD的中点，
∴AE⊥DC，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA?平面PAE，AE?平面PAE，
∴CD⊥平面PAE．19. 设为三角形的三边，求证：
参考答案：
略
20. 已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：，恒成立.
参考答案：
（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，
在和上单调递增，在上单调递减；当时，
在上单调递增；当时，在和上单调递
增，在上单调递减；（2）证明见解析
【分析】
（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论. 【详解】（1），
①当时，
时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
②当时，
和时，；时，
在和上单调递增，在上单调递减
③当时，
在上恒成立
在上单调递增
④当时，
和时，；时，
在和上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，
在和上单调递增，在上单调递减；当时，
在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减
（2）对，恒成立即为：，
等价于：
令，则
时，；时，
在上单调递减，在上单调递增
令，则
时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
综上可得：，即在上恒成立
对，恒成立
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系得到结论
.
21. (本小题满分13分)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.
(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；
(2)若求椭圆离心率e的值.
参考答案：22. （本题满分12分）已知数列的前n项和为，且有，数列满足
，且，前9项和为153；
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值；
参考答案：
（1）当时，
............2分
由可知，是等差数列，设公差为
有题意得
解得
............4分
（2）由（1）知：
而
..........5分所以：
；
.........7分
又因为；
所以是单调递增，故
； .........10分
由题意可知；得：，所以的最大正整数为； .........12分。