2020年福建省三明市华昌中学高三数学理模拟试题含解析

2020年福建省三明市华昌中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则A∪B= ( )
A. B.
C. D. 且
参考答案：
A
【分析】
根据不等式的解法得B={x|0＜x＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．
【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x＜2}，
又有A={x|x＞1}，则A∪B={x|x＞0}．
故选：A．
【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．
2. 函数的单调减区间为( )
A．（k∈Z）B．（k∈Z）
C．（k∈Z）D．（k∈Z）
参考答案：
B
考点：复合三角函数的单调性．
专题：计算题．分析：观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可．
解答：解：令：，t=sin（2x+）
∴2kπ＜2x+≤2kπ+
kπ＜x≤kπ+
由复合函数的单调性可知：
函数的单调减区间为（k∈Z）
故选B
点评：本题主要查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，如本题在真数位置要大于零．
3. 函数与的图像交点的横坐标所在区间为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
4. 如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且满足，若
△ABC的面积为，则的最小值为（）
A. B. C. 3 D.
参考答案：
B
【分析】
设，，由三角形ABC的面积为，可得，由C，P，D三点共线可知，以AB所在直线为轴，以A点为坐标原点，过A点作AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出的坐标，从而得到的表达式，进而求出最小值。

【详解】设，，则三角形ABC的面积为，解得，
由，且C，P，D三点共线，可知，即，
故.
以AB所在直线为轴，以A点为坐标原点，过A点作AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，
则，，，
则（当且仅当即时取“=”）.
故的最小值为. 【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.
5. 已知、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是
A． B． C．
D．
参考答案：
【知识点】线性规划E5
B解析：画出满足的可行域如下图：
由，得，由，得，
当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；
当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为；
由条件得所以，故选择B.
【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由可得
，则表示
直线
在
轴上的截距，截距越大，越大，可求的最大值与最小值，即可求解.
6. 如图已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A 、B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B 略 7. 已知向量
，把向量
绕坐标原点O 按逆时针方向旋围θ角得到向量
，则下列说法不正确的为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
、
在
方向上的投影相等
参考答案：
A 略
8. 已知函数是
上的增函数，
，
是其图像上的两点，那么
的解集是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A 略
9. 设全集U ＝，A ＝，＝，则a ＋b ＝（ ）
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．0
参考答案： A
10. 为虚数单位，则
A.
B. C.
D.
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={,},则
a+b= 。

参考答案： D
12. 在三棱锥V -ABC 中，面
面ABC ，
，
，
则三棱锥V -
ABC 的外接球的表面积是____
参考答案：
16π 由可得的外接圆的半径为2，设外接圆圆心为，由于平面
平
面
，而
，因此到
的距离等于
到
的距离，即
是三棱锥外接球的球
心，所以球半径为，
．
13. 如图，是圆的切线，为切点,是圆的割线．若，则
______．
参考答案：
14. 已知数列
，令
，则称为
的“伴随数列”，若数列
的“伴随数列”的通项公式为
，记数列
的前项和为
，若
对任意的正整数恒成立，则实数
取值范围为 ．
参考答案：
15.
在棱长为2的正四面体P -ABC 中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D
是线段PN 上一点，且
，则三棱锥
的体积为
．
参考答案：
由题得
,
由题得AN=
所以.
所以三棱锥M-BDC 的高为.
因为
所以
16. 已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的
，都有
成
立． 数列
满足
，且
.则数列的通项公式
__________________ .
参考答案：
17. 已知等比数列{a n }的首项为
，公比为
，前n 项和为
，且对任意的
*，都有
恒成立，则
的最小值为______________．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 8分和15分的邮票可以无限制地取用．某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成．求不能凑成的最大额数n ，即大于n 的额数都能够凑成，并证明你的答案．
参考答案：
证明：因为 98＝8·1＋15·6 99＝8·3＋15·5 100＝8·5＋15·4
101＝8·7＋15·3 102＝8·9＋15·2
103＝8·11＋15·1 104＝8·13＋15·0
105＝8·0＋15·7
比105大的数，可用以上8数加上8的适当倍数而得到．而97不能用8与15凑成．故所求的n值为97．
19. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
（Ⅱ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
（Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。

参考答案：
解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0．44．
（Ⅱ）选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为：
（Ⅲ）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。

由（Ⅱ）知P（A1） =0．1+0．2+0．3=0．6 P（A2）=0．1+0．4=0．5， P（A1）>P（A 2）
甲应选择L1
P （B 1） =0．1+0．2+0．3+0．2=0．8
P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P （B 2）＞P （B1），
∴乙应选择L2．
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数的极值点为，若，且，求证：参考答案：
(1)，令，则，
当时，，当时，，
则函数的增区间为，减区间为.
（2）由可得，所以的极值点为.
于是，等价于,
由得且.
由整理得，，即.
等价于，①
令，则.
式①整理得，其中.
设,.
只需证明当时，.
又，设，
则
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以,；
注意到，，
，
所以，存在，使得g′(t1)= g′(t2)=0，
注意到，，而，所以.
于是，由可得或；由可得.
在上单调递增，在上单调递减.
于是，，注意到，，，
所以，，也即，其中.
于是，.
21. （本小题满分13分）已知向量，，且．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设曲线与直线相交于不同的两点，又点，当时，
求实数的取值范围．
参考答案：
(1)由题意得，，
∵，∴，
化简得，∴点的轨迹的方程为. ………4分(2)由得，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即. ①……6分
(i)当时，设弦的中点为，分别为点的横坐标，则
，
从而，，…………8分
又，∴.
则，即，②
将②代入①得，解得，由②得，解得，
故所求的的取值范围是
. …………10分
(ii)当时，，∴，，
解得
.
…………12分
综上，当时，m的取值范围是，
当时，m的取值范围是. (13)
分
22. （本小题满分13分）已知向量其中ω＞0，函数
的最小正周期为π.
（I）求ω的值；
（II）求函数f (x)在上的取值范围.参考答案：。