东海县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

东海县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）
A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
2．已知向量(,2)
a m
=，(1,)
b n
=-（0
n>），且0
a b⋅=，点(,)
P m n在圆225
x y
+=上，则
|2|
a b
+=（）
A B．C．D．
3．自圆C：22
(3)(4)4
x y
-++=外一点(,)
P x y引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）
A．86210
x y
--=B．86210
x y
+-=C．68210
x y
+-=D．68210
x y
--=
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
4．满足下列条件的函数)
(x
f中，)
(x
f为偶函数的是（）
A.()||
x
f e x
= B.2
()x x
f e e
= C.2
(ln)ln
f x x
= D.
1
(ln)
f x x
x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.
5．若函数()
y f x
=的定义域是[]
1,2016，则函数()()1
g x f x
=+的定义域是（）
A．(]
0,2016B．[]
0,2015C．(]
1,2016D．[]
1,2017
6．若数列{a n}的通项公式a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），{a n}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知集合}
,0
5
2|
{2Z
x
x
x
x
M∈
<
+
=，}
,0{a
N=，若∅
≠
N
M ，则=
a（）
A．1
-B．C．1
-或D．1
-或2
-
8．已知抛物线24
y x
=的焦点为F，(1,0)
A-，点P是抛物线上的动点，则当
||
||
PF
PA
的值最小时，PAF
∆的面积为（）
A.
2
B.2
C.
D. 4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.
9．设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（）
A．10 B．40 C．50 D．80
10．已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A ∪B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ≤2} B ．{x|﹣1≤x ≤0} C ．{x|1≤x ≤2}
D ．{x|0≤x ≤1}
二、填空题
11．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
12．设全集
______.
13．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
14．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －m
x
（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．
16．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:
）．
三、解答题
17．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；
（2）求||||PB PA 的最值.
18．在等比数列{a n }中，a 3=﹣12，前3项和S 3=﹣9，求公比q ．
19．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，
且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥EF ．
21．.已知定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．
（1）求a 的值；
（2）判断f （x ）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；
（3）若对于任意t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2
﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．
22．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t
（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.
（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
东海县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x ，
可设双曲线的方程为x 2﹣y 2
=λ（λ≠0），
代入点P （2，），可得
λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x 2﹣y 2
=2，
即为﹣=1．
故选：B ．
2． 【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 3． 【答案】D
【解析】由切线性质知PQ CQ ⊥，所以2
2
2
PQ PC QC =-，则由PQ PO =，得，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+，化简得68210x y --=，即点P 的轨迹方程，故选D ，
4． 【答案】D. 【
解
析
】
5． 【答案】B
【解析】
6． 【答案】A
【解析】
解：设
=t ∈（0，1]，a n =5
（）2n ﹣2﹣4
（）n ﹣1（n ∈N *），
∴a n =5t 2
﹣4t=
﹣，
∴a n
∈
，
当且仅当n=1时，t=1，此时a n 取得最大值；同理n=2时，a n 取得最小值．
∴q ﹣p=2﹣1=1， 故选：A ． 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 8． 【答案】B
【解析】设2
(,)4y P y
，则
2
1||||
y PF PA +=.又设
2
14
y t +=，则244y t =-，1t …
，所以||||2PF PA ==，当且仅当2t =，即2y =±时，等号成立，此时点(1,2)P ±，PAF ∆的面积为11
||||22222
AF y ⋅=⨯⨯=，故选B.
9． 【答案】 C
【解析】 二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k
的系数，将k 的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k 的系数为C 5k 25﹣k
当k ﹣1时，C 5k 25﹣k =C 5124
=80， 当k=2时，C 5k 25﹣k =C 5223
=80， 当k=3时，C 5k 25﹣k =C 5322
=40， 当k=4时，C 5k 25﹣k =C 54
×2=10， 当k=5时，C 5k 25﹣k =C 55
=1，
故展开式中x k
的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．
10．【答案】A
【解析】解：由x 2
﹣2x ≤0，解得0≤x ≤2．
∴B={x|0≤x ≤2}， 又集合A={x ﹣|1＜x ≤1}， ∴A ∪B={x|﹣1≤x ≤2}， 故选：A ．
二、填空题
11．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.
12．【答案】{7，9}
【解析】∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，
故答案为：{7，9}。

13．【答案】[1，）∪（9，25]．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
14．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
15．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2x m x
+，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e. 16．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
三、解答题
17．【答案】（1）
12
22
=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21.
【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），消去参数α 得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分）
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA . ∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1. （10分） 考点：参数方程化成普通方程．
18．【答案】
【解析】解：由已知可得方程组
，
第二式除以第一式得=， 整理可得q 2+4q+4=0，解得q=﹣2．
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF 2|=6﹣4=2，
在△PF 1F 2中，由勾股定理得，
，
即4c 2=20，解得c 2=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，
∵，，
∴，解得．
∴P（）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
20．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF⊂平面PDC，
∴AF⊥EF．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为f （x ）为R 上的奇函数
所以f （0）=0即
=0，
∴a=1 …
（2）f （x ）==﹣1+，在（﹣∞，+∞）上单调递减… （3）f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0⇔f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）=f （﹣2t 2+k ），
又f （x ）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，
∴t 2﹣2t ＞﹣2t 2+k ，
即3t 2
﹣2t ﹣k ＞0恒成立， ∴△=4+12k ＜0，
∴k ＜﹣．…（利用分离参数也可）．
22．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t
（t 为参数）得 x 2＋（y －1）2＝1，
即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，
由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程．
（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为
A （2sin α，α），
B （－23cos α，α）．
∴|AB |＝|2sin α＋23cos α|
＝4|sin （α＋π3
）|，α∈[0，π）， 由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝12
， ∴α＝π2或α＝5π6
. 当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6
，
此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6
（x ＜0）， 即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝32， ∴△ABC 2的面积为S ＝1
2|AB |·d
＝1
2×2×32＝3
2.
即△ABC 2的面积为3
2.。