考点60+离散型随机变量及其分布列-2019年领军高考数学(理)必刷题+Word版含解析

考点60 离散型随机变量及其分布列
1．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数。

如果在某一时期有，那么在这期间人口数
A．呈下降趋势B．呈上升趋势C．摆动变化D．不变
【答案】A
2．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：
根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．
(1)根据散点图判断，在推广期内，(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支
付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2
已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠
的概率为，享受9折优惠的概率为．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．
参考数据：
其中
【答案】（1）（2）（3）
3．某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k<85时，产品为二级品，当70≤k<75时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)
A配方的频数分配表：
B配方的频数分配表：
(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C发生的概率P(C)；
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标k满足如下关系：y＝其中0<t<，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
【答案】（1）；（2）从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大。

【解析】
(1)由题意知，从B配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，
则没有抽中二级品的概率为，
所以.
(2)A配方产品的利润分布列为
4．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量为摸出的3个球上的数字和．
（1）求概率；
（2）求的概率分布列，并求其数学期望．
【答案】（1）；（2）6.
【解析】
（1）
所以，
（2），
所以随机变量X的概率分布列为
所以。

5．中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。

在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。

为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。

2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名畅通或拥堵的概念．记交通指数为，其范围为，分别有5个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从北京市交通指挥中心随机选取了五环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的部份频率分布直方图如图所示：
（1）据此直方图估算交通指数T∈[4，8）时的中位数和平均数；
（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
【答案】(1),4.72(2)(3)40.6
则，
所以此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．
11．某省高考改革方案指出：该省高考考生总成绩将由语文数学英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个，按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为A、B、C、D、E五等21级，该省的某市为了解本市万名学生的某次选考化学成绩水平，统计在全市范围内选考化学的原始
成绩，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前
名的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，
，.
【答案】（1）68.2；（2）见解析
人.
随机变量,于是,,
的分布列：
所以数学期望.
12．国庆期间，一位游客来到某旅游城市，这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点，若这位游客游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率.
【答案】（1）见解析；（2）.
1 3
1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）的可能取值为1，3.且时，不等式恒成立，
有恒成立，即
当=1时，不等式恒成立，
当=3时，不等式不会恒成立.
所以.
13．甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.
（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1的概率；
（2）设表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求的概率分布和数学期望.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
14．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表：
（I）根据散点图判断，与哪一个适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）红铃虫是棉区危害较重的害虫，可从农业、物理和化学三个方面进行防治，其中农业方面防治有3种方法，物理方面防治有1种方法，化学方面防治3种方法，现从7种方法中选3种方法进行综合防治（即3种方法不能全部来自同一方面，至少来自两个方面），X表示在综合防治中农业方面的防治方法的种数，求X的分布列及数学期望E(X)．
附：可能用到的公式及数据表中（表中，=，=，=）
对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
【答案】（1）（2）（3）见解析
15．学校对甲、乙两个班级的同学进行了体能测验，成绩统计如下（每班50人）：
（1）成绩不低于80分记为“优秀”.请填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关？
（2）从两个班级的成绩在的所有学生中任选2人，其中，甲班被选出的学生数记为，求的分布列与数学期望.
赋：.
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关.
(2) 的分布列见解析，.
16．某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1、2、3、4、5、6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．
若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
131163341 2
412531263 1
612122534 5
（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；
（2）已知该厂生产一件产品的利润y(单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和均值．
【答案】（1）一、二、三等品的概率分别为；（2）分布列见解析，均值为3.8．
17．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．
0 1
．
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．
18．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
参考数据：，（说明：以上数据为3月至7月的数据）
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米
（2）见解析
因此，的数学期望
19．为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+x的值评定学生的数学核心素养，若,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若,则数学核心素养为三级，为了了解某校学
生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及其数学期望。

【答案】（1）；（2）见解析
20．为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）分布列见解析，期望为．
【解析】
21．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
数学成绩
物理成绩
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
812
【答案】（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.可预测该同学的物理成绩为96分.
22．某闯关游戏规划是:先后掷两枚骰子，将此试验重复轮，第轮的点数分别记为，如果点数满足
，则认为第轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束.
(1)求第1轮闯关成功的概率；
(2)如果第轮闯关成功所获的奖金(单位:元)，求某人闯关获得奖金不超过2500元的概率；
(3)如果游戏只进行到第4轮，第4轮后无论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2）见解析(3)见解析
23．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表.
（1）求表中，，，，的值； （2）按规定，预赛成绩不低于
分的选手参加决赛.
已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记
高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）1
因为
，
所以随机变量的数学期望为. 24．通过随机询问
名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
附：
（1）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否看营养说明有关系呢？（2）从被询问的名不读营养说明的大学生中随机选取名学生，求抽到女生人数的分布列及数学期望. 【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.
（2）分布列见解析；.
【解析】
25．按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；
（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；
②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.
【答案】(1)见解析;(2)①;②见解析.
【解析】
（1）由题意可知的可能取值为，由统计数据可知：
，。