(精品)2016-2017学年宁夏石嘴山市大武口区高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年宁夏石嘴山市大武口区高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共计60分）
1．（5分）设复数z=，是z的共轭复数，则z+=（）
A． B．i C．﹣1 D．1
2．（5分）已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）
A．3 B．﹣ C．D．﹣
3．（5分）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．（5分）用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）
A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2
C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于2
5．（5分）设定义在（a，b）上的可导函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极值点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）函数处的切线方程是（）
A．4πx+16y﹣π2=0 B．4πx﹣16y﹣π2=0 C．4πx+8y﹣π2=0 D．4πx﹣8y﹣π2=0
7．（5分）安排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目单，要求任何2个合唱节目不相邻而且不排
在第一个节目，那么不同的节目单有（）
A．7200种B．1440种C．1200种D．2880种
8．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）
A．B．﹣1 C．1 D．
9．（5分）用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）
A．∫a c f（x）dx B．|∫a c f（x）dx|
C．∫a b f（x）dx+∫b c f（x）dx D．∫b c f（x）dx﹣∫a b f（x）dx
10．（5分）若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）
A．6 B．4 C．3 D．2
11．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
12．（5分）已知曲线C：，直线l：x+y+2k﹣1=0，当x∈[﹣3，3]时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，共计20分）
13．（5分）从4名男生4名女生中选3位代表，其中至少两名女生的选法有种．
14．（5分）在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为，﹣2+i，0，则第四个顶点对应的复数为．
15．（5分）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），则a0+a1+a2+a3+…+a2014的值为．
16．（5分）若△ABC三边长分别为a、b、c，内切圆的半径为r，则△ABC的面积，类比
上述命题猜想：若四面体ABCD四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体ABCD 的体积V=．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分）
17．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：
（1）列出所得分数X的分布列；
（2）得分大于6分的概率．
18．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
19．（12分）设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：++≥8．
20．（12分）已知二项式（x2+）n（n∈N*）展开式中，前三项的二项系数的和是56，求：
（Ⅰ）n的值；
（Ⅱ）展开式中的常数项．
21．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
22．（12分）已知函数f（x）=x++lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥2时，若存在x1、x2（x1≠x2），使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线互相平行，求证：x1+x2＞8．
2016-2017学年宁夏石嘴山市大武口区高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共计60分）
1．（5分）（2012•浙江模拟）设复数z=，是z的共轭复数，则z+=（）
A． B．i C．﹣1 D．1
【解答】解：复数z===，
∴=，
则z+=
=1．
故选：D．
2．（5分）（2011•祁阳县校级模拟）已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A．3 B．﹣ C．D．﹣
【解答】解：
=
故选B．
3．（5分）（2017春•大武口区期中）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）
A．6 B．12 C．18 D．24
【解答】解：法一
从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，选法种数共有（2，1，3），（2，1，5），（2，3，5），（4，1，3），（4，1，5），（4，3，5）六种，每一种选法可排列组成=6个无重复数字的三位数，其中奇数的个数
有4个，故六种选法组成的无重复数字的三位奇数共有4×6=24个．
从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位奇数，可运用分步计数原理解决．
首先从2，4中选一个偶数有种方法；然后从1，3，5中选两个奇数有种选法；再把选出的两个奇数任选一个放在三位数的个位位置上有种方法，剩余的一个奇数和选出的一个偶数在十位和百位位置上排列有种方法，
由分步计数原理可得，从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个．
故选D．
4．（5分）（2008秋•诸暨市期末）用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）
A．a、b中至少有二个不小于2 B．a、b中至少有一个小于2
C．a、b都小于2 D．a、b中至多有一个小于2
【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”的否定为“a、b都小于2”，故选C．
5．（5分）（2010春•华容县校级期末）设定义在（a，b）上的可导函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的极值点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据导数与函数单调性的关系可得函数f（x）在区间（a，b）上的单调性为：增，减，增，减，
结合函数的单调性可得函数有3个极值点．
6．（5分）（2010•广东模拟）函数处的切线方程是（）
A．4πx+16y﹣π2=0 B．4πx﹣16y﹣π2=0 C．4πx+8y﹣π2=0 D．4πx﹣8y﹣π2=0
【解答】解：∵y′=cos2x﹣2xsin2x，
∴，
整理得：4πx+8y﹣π2=0，
故选C．
7．（5分）（2017春•大武口区期中）安排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目单，要求任何2个合唱节目不相邻而且不排在第一个节目，那么不同的节目单有（）
A．7200种B．1440种C．1200种D．2880种
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、将5个独唱节目全排列，有A55=120种排法，
排好后，除去第一空位，有5个空位可以安排合唱节目，
②、在5个空位中，任选3个，安排3个合唱节目，有A53=60种排法，
则不同的节目单有120×60=7200种；
故选：A．
8．（5分）（2017•兰州二模）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）
A．B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z的实部为．故选：A．
9．（5分）（2017春•大武口区期中）用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）
A．∫a c f（x）dx B．|∫a c f（x）dx|
C．∫a b f（x）dx+∫b c f（x）dx D．∫b c f（x）dx﹣∫a b f（x）dx
【解答】解析：由定积分的几何意义知
区域内的曲线与X轴的面积代数和．
即∫b c f（x）dx﹣∫a b f（x）dx
选项D正确．
故选D．
10．（5分）（2016秋•南昌期末）若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，
所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；
故选D．
11．（5分）（2016•金凤区校级四模）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
【解答】解：n=k时，左边=1+++…+，
当n=k+1时，左边=1+++…++++…+．
∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）=2k+1﹣2k=2k．
故选：C．
12．（5分）（2017春•大武口区期中）已知曲线C：，直线l：x+y+2k﹣1=0，当x∈[﹣3，3]时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：命题等价于x在（﹣3，3）内，
（﹣x﹣2k+1）﹣（x3﹣x2﹣4x+1）＞0恒成立
即k＜﹣x3+x2+x，
设y=﹣x3+x2+x，
y'=﹣x2+x+=（3﹣x）（1+x）
所以函数y=﹣x3+x2+x，
在[﹣3，﹣1）内y递减，（﹣1，3]内递增
所以x=﹣1，y取最小值﹣，
所以k＜﹣，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，共计20分）
13．（5分）（2017春•大武口区期中）从4名男生4名女生中选3位代表，其中至少两名女生的选法有28种．
【解答】解：根据题意，从4名男生4名女生中选3位代表，“至少两名女生”包括有2名女生、3名女生两种情况；
若有2名女生，则有1名男生，有C42×C41=24种选法，
若有3名女生，则有C43=4种选法，
则至少两名女生的选法有24+4=28种；
故答案为：28．
14．（5分）（2014•浦东新区校级模拟）在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为，﹣2+i，0，则第四个顶点对应的复数为﹣1+3i．
【解答】解：===1+2i
设复数z1=1+2i，z2=﹣2+i，z3=0，它们在复平面上的对应点分别是A，B，C．
∴A（1，2），B（﹣2，1），C（0，0）
设正方形的第四个顶点对应的坐标是D（x，y），
∴，
∴（x﹣1，y﹣2）=（﹣2，1），
∴x﹣1=﹣2，y﹣2=1，
∴x=﹣1，y=3
故答案为：﹣1+3i．
15．（5分）（2014春•东莞期末）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），则a0+a1+a2+a3+…+a2014的值为0．
【解答】解：在（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R）中，令x=，
可得a0+a1+a2+a3+…+a2014 ==0，
故答案为：0．
16．（5分）（2017春•大武口区期中）若△ABC三边长分别为a、b、c，内切圆的半径为r，则△ABC的面积，类比上述命题猜想：若四面体ABCD四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的
半径为r，则四面体ABCD的体积V=r（S1+S2+S3+S4）．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，
所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
∴V=（S1+S2+S3+S4）r．
故答案为：（S1+S2+S3+S4）r．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分）
17．（10分）（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：
（1）列出所得分数X的分布列；
（2）得分大于6分的概率．
【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为5，6，7，8，
P（X=5）==，
P（X=6）==，
P（X=7）==，
P（X=8）==，
∴X的分布列为：
（2）得分大于6分的概率：
P=P（X=7）+P（X=8）==．
18．（12分）（2005•北京）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣
2．
故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，
即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
19．（12分）（2017春•大武口区期中）设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：++≥8．
【解答】证明：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴++==≥=8．
当且仅当a=b=时取等号．
20．（12分）（2012秋•武汉校级期末）已知二项式（x2+）n（n∈N*）展开式中，前三项的二项系数的和是56，求：
（Ⅰ）n的值；
（Ⅱ）展开式中的常数项．
【解答】解：（Ⅰ）C n0+C n1+C n2=56⇒n=10，n=﹣11（舍去）．
故n=10
（Ⅱ）展开式的第r+1项是
令，
故展开式中的常数项是．
21．（12分）（2016春•来宾期末）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
【解答】（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．
当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．
同理：，．
由此猜想…（5分）
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，
=s k+1﹣s k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，
那么n=k+1时，a k
+1
=2+a k，所以，
所以2a k
+1
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N*猜想成立．…（8分）
22．（12分）（2014•安庆二模）已知函数f（x）=x++lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥2时，若存在x1、x2（x1≠x2），使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线互相平行，求证：x1+x2＞8．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x++lnx，（a∈R），
∴，x∈（0，+∞）．
由x2+x﹣a对应的方程的△=1+4a知，
①当时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
②当时，x2+x﹣a=0的两根均非正，
因此，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
③当a＞0时，x2+x﹣a=0有一正根，
当x∈时，f′（x）＜0，f（x）在上递减，
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）在上递增．
此时f（x）有最小值．
∴实数a的范围为a＞0；
（Ⅱ）证明：依题意：，整理得：，
由于x1＞0，x2＞0，且x1≠x2，则有
，
∴
∴，
则x1+x2＞8．
:沂蒙松；minqi5；sxs123；caoqz；haichuan；jj2008；danbo7801；733008；changq；zhczcb；刘老师；qiss；zlzhan；wdnah（排名不分先后）
菁优网
2017年6月3日。