山东省青岛市胶州市八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.下列各数，是负无理数的是（）
A. 2
B. −2
C. 12
D. −2
2.下列运算，正确的是（）
A. (−2)2=−2
B. 3−8=−2
C. 25=5
D. 9=±3
3.下列各组数中，是勾股数的是（）
A. 1，2，3
B. 1，2，3
C. 2，3，4
D. 5，12，13
4.已知y与x成正比例，且x=3时，y=2，则y=3时，x的值为（）
A. 92
B. 29
C. 2
D. 12
5.已知点A在第四象限，且它到x轴的距离等于2，到y轴的距离等于3，则点A的
坐标为（）
A. (3,−2)
B. (3,2)
C. (2,−3)
D. (2,3)
6.关于一次函数y=-2x+1，下列结论中正确的是（）
A. 图象经过点(1,−2)
B. 图象经过一、二、三象限
C. 图象与y轴交于点(0,1)
D. y随x的增大而增大
7.如图，在Rt△ABC中，直角边AC=6，BC=8，将△ABC
按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则
CD的长为（）
A. 254
B. 223
C. 74
D. 53
8.已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y=k
（1-x）的图象为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.4的立方根是______．
10.一个正数的两个平方根分别为3-a和2a+1，则这个正数是______．
11.已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m气温下降6℃，则气温t（℃）与
高度h（m）的函数关系式为______．
12.已知a，b是两个连续整数，且a＜13-1＜b，则a b=______．
13.如图，在直角坐标系中，直线l1与l2互相平行，且l1的
函数关系式为y=43x，l2交y轴于点A（0，-2），则直线
l2的函数关系式为______．
14.如图，在数轴上点A，B分别对应-3，-1，点C是数轴上一点，且AB=BC，则点C
对应的数为______．
15.如图，在平面直角坐标系内，点P（a，b）为△ABC的边AC上一点，将△ABC先
向左平移2个单位，再作关于x轴的轴对称图形，得到△A′B′C'，则点P的对应点P'的坐标为______．
16.如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若
一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则
蚂蚁爬行的最短路径长为______cm．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17.在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个
式子的平方，如：
3+22=2+22+1=（2）2+22+1=（2+1）2；
5+26=2+22×3+3=（2）2+2×2×3+（3）2=（2+3）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+23；②6+42
（2）若a+43=（m+n3）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
四、解答题（本大题共7小题，共62.0分）
18.计算：
（1）18-50-8；
（2）27−483；
（3）（72-612+2）×（-12）；
（4）（6-2）2-（6+2）2
19.如图，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这
时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点．
（1）求梯子底端B外移距离BD的长度；
（2）猜想CE与BE的大小关系，并证明你的结论．
20.如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位
置是（﹣3，1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；
（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．
21.一辆汽车在公路上匀速行驶，下表记录的是汽车在加满油后油箱内余油量y（升）
与行驶时间x（时）之间的关系：
数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）求汽车行驶4.2小时后，油箱内余油多少升？
22.如图，在△ABC中，AB=6，AC=15，∠B=45°，求△ABC的面积．
23.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变
换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A （1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为______，B4的坐标为______．
（2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OA n B n，则A n的坐标为______，B n 的坐标为______；
（3）△OA n B n的面积为______．
24.甲，乙两辆汽车先后从A地出发到B地，甲车出发
1小时后，乙车才出发，如图所示的l1和l2表示甲，
乙两车相对于出发地的距离y（km）与追赶时间x
（h）之间的关系：
（1）哪条线表示乙车离出发地的距离y与追赶时间
x之间的关系？
（2）甲，乙两车的速度分别是多少？
（3）试分别确定甲，乙两车相对于出发地的距离y（km）与追赶时间x（h）之间的关系式；
（4）乙车能在1.5小时内追上甲车吗？若能，说明理由；若不能，求乙车出发几小时才能追上甲？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、不是负无理数，故本选项不符合题意；
B、是负无理数，故本选项符合题意；
C、不是负无理数，故本选项不符合题意；
D、不是负无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据无理数和负数的定义逐个判断即可．
本题考查了负数和无理数，能理解负无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数，负数都小于0．
2.【答案】B
【解析】
解：A．=2，此选项错误；
B．=-2，此选项正确；
C．=5，此选项错误；
D．=3，此选项错误；
故选：B．
根据平方根、立方根的定义判断即可．
本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
3.【答案】D
【解析】
解：A、∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数；
B、∵12+（）2=3≠（）2=3，但和不是正整数，∴不是勾股数；
C、∵22+32=13≠42=16，∴不是勾股数；
D、∵52+122=169=132=169，∴是勾股数．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】
解：根据题意，设y=kx，
把x=3，y=2代入得：2=3k，
解得：k=，
y=x，
把y=3代入解析式，可得：x=，
故选：A．
设y=kx，把x=3，y=2代入，求出k．即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】
解：∵点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点A的横坐标是3，
纵坐标是-2，
∴点A的坐标为（3，-2）．
故选：A．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：A、当x=1时，y=-1．所以图象不过（1，-2），故不正确；
B、∵图象经过第二、一、四象限，故错误；
C、∵x=0时，y=1，
∴图象与y轴交于点（0，1），故正确；
D、∵k=-2，
∴y随x的增大而减小，故不正确．
故选：C．
根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b（k≠0）的性质．
7.【答案】C
【解析】
解：由题意得DB=AD；
设CD=x，则
AD=DB=（8-x），
∵∠C=90°，
∴AD2-CD2=AC2（8-x）2-x2=36，
解得x=；
即CD=．
故选：C．
由翻折易得DB=AD，在直角三角形ACD中，利用勾股定理即可求得CD长．本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到BD=AD是关键．
8.【答案】D
【解析】
解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=k（1-x）的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=k（1-x）的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选：D．
根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=k（1-x）的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
9.【答案】34
【解析】
解：4的立方根是，
故答案为：．
根据立方根的定义即可得．
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作．
10.【答案】49
【解析】
解：根据题意得3-a+2a+1=0，
解得：a=-4，
∴这个正数为（3-a）2=72=49，
故答案为：49．
根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数．
本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解．
11.【答案】t=-0.006h+20
【解析】
解：∵每升高1000m气温下降6℃，
∴每升高1m气温下降0.006℃，
∴气温t（℃）与高度h（m）的函数关系式为t=-0.006h+20，
故答案为：t=-0.006h+20．
根据题意得到每升高1m气温下降0.006℃，写出关系式．
本题考查的是函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】
解：∵3＜＜4，
∴2＜-1＜3，
∴a=2，b=3，
∴a b=23=8，
故答案为：8．
先估算出的范围，再求出a、b值，最后代入求出即可．
本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出的范围是解此题的关键．
13.【答案】y=43x-2
【解析】
解：因为l1的函数关系式为y=x，且在直角坐标系中，直线l1与l2互相平行，所以设l2的直线方程为y=x+b，
把A（0，-2）代入，得b=-2，
所以l2的直线方程为y=x-2．
故答案是：y=x-2．
设l2的直线方程为y=x+b，将点A的坐标代入函数解析式求得b的值即可．考查了两条直线相交或平行问题，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
14.【答案】3-2
【解析】
解：∵在数轴上点A，B分别对应-，-1，点C是数轴上一点，且AB=BC，
∴点C对应的数为-1+[-1-（-）]=-2．
故答案为：-2．
根据中点坐标公式可求点C对应的数．
考查了实数与数轴，关键是熟练掌握中点坐标公式．
15.【答案】（a-2，-b）
【解析】
解：由题意点P（a，b）先向左平移2个单位得到（a-2，b），（a-2，b）关于x轴的对称点P′（a-2，-b），
故答案为（a-2，-b）．
根据平移变换，轴对称变换的性质即可解决问题；
本题考查坐标与图形的性质、平移变换、轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】55
【解析】
解：展开图如图所示：
由题意，在Rt△APQ中，PD=10cm，DQ=5cm，
∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ===5（cm）．
故答案为5．
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图
形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
17.【答案】解：（1）4+23=3+23+1
=（3）2+2×3×1+12
=（3+1）2；
6+42
=4+42+2
=22+2×2×2+（2）2
=（2+2）2；
（2）∵a+43=（m+n3）2，
∴a+43=m2+23mn+3n2，
∴a=m2+3n2，23mn=43，
∴mn=2，
∵m，n都是正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7；
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13；
即a的值是7或13．
【解析】
（1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．
18.【答案】解：（1）18-50-8
=32-52-22
=-42；
（2）27−483=33−433=-1；
（3）（72-612+2）×（-12）
=（62-6×22+2）×（-22）
=42×（-22）
=-4；
（4）（6-2）2-（6+2）2
=6+2-43-（6+2+43）
=-83．
【解析】
（1）首先化简二次根式进而计算得出答案；
（2）首先化简二次根式进而计算得出答案；
（3）首先化简二次根式进而计算得出答案；
（4）直接利用完全平方公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19.【答案】（1）解：∵AO⊥OD，AO=4m，AB=5m，
∴OB=AB2−AO2=3m，
∵梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点，
∴OC=AO-AC=3m，
∵CD=AB=5m，
∴由勾股定理得：OD=4m，
∴BD=OD-OB=4m-3m=1m；
（2）解：CE与BE的大小关系是CE=BE，
证明：连接CB，
由（1）知：AO=DO=4m，AB=CD=5m，
∵∠AOB=∠DOC=90°
∴在Rt△AOB和Rt△DOC中
AB=DCAO=DO
∴Rt△AOB≌Rt△DOC（HL），
∴∠ABO=∠DCO，OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ABO-∠OBC=∠DCO-∠OCB，
∴∠EBC=∠ECB，
∴CE=BE．
【解析】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用勾股定理进行计算是解（1）的关键，能求出∠DCO=∠ABO和OC=OB是解（2）的关键.
（1）利用勾股定理求出OB，求出OC，再根据勾股定理求出OD，即可求出答案；
（2）求出△AOB和△DOC全等，根据全等三角形的性质得出OC=OB，
∠ABO=∠DCO，求出∠OCB=∠OBC，求出∠EBC=∠ECB，根据等腰三角形的判定得出即可.
20.【答案】解：（1）如图所示：
（2）由平面直角坐标系知，教学楼的坐标为（1，0），体育馆的坐标为（-4，3）；
（3）行政楼的位置如图所示．
【解析】
（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（-3，1）得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案；
（3）根据点的坐标的定义可得．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
21.【答案】解：（1）由x，y成一次函数关系可设y=kx+b，
将（0，100），（1，80）代入上式得：
b=100k+b=80，解得：k=−20b=100，
则它们之间的函数表达式为：y=-20x+100；
（2）当x=4.2时，由y=-20×4.2+100=16，
即汽车行驶4.2小时后，油箱内余油16升．
【解析】
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（0，100），（1，80）代入，利用待定系数法即可求解；
（2）将x=4.2代入（1）中所求的解析式，求出y的值即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键．
22.【答案】解：作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴BD=AD=AB•sin45°=6×22=3，
在Rt△ACD中，AD=3，AC=15，
∴CD=AC2−AD2=23，
∴BC=BD+CD=33，
∴S△ABC=12BC•AD=12×33×3=92．
【解析】
作辅助线AD⊥BC构造直角三角形ABD，利用锐角∠B的正弦函数的定义求出AD和BD的长度，然后根据勾股定理求出DC的长度，最后根据三角形的面积公式求△ABC的面积即可．
本题考查了三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到求线段BC的长度及线段AD的长度上来．
23.【答案】（16，3）（32，0）（2n，3）（2n+1，0）3×2n
【解析】
解：（1）∵A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）．
∴A4的横坐标为：24=16，纵坐标为：3．
故点A4的坐标为：（16，3）．
又∵B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）．
∴B4的横坐标为：25=32，纵坐标为：0．
故点B4的坐标为：（32，0）．
故答案为：（16，3），（32，0）．
（2）由A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．
故A n的坐标为：（2n，3）．
由B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0．
故B n的坐标为：（2n+1，0）；
故答案为：（2n，3），（2n+1，0）；
（3）∵A n的坐标为：（2n，3），B n的坐标为：（2n+1，0），
∴△OA n B n的面积为×2n+1×3=3×2n．
（1）根据题目中的信息可以发现A1、A2、A3各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3，故可求得A4的坐标；B1、B2、B3各点的坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都为0，从而可求得点B4的坐标．
（2）根据（1）中发现的规律可以求得A n、B n点的坐标；
（3）依据A n、B n点的坐标，利用三角形面积计算公式，即可得到结论．
本题主要考查对点的坐标规律的掌握，关键是可以通过题目中的信息发现相应的规律，从而解答问题．
24.【答案】解：（1）由函数图象，得
l2表示乙车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系；
（2）甲车的速度为180−602=60km/h，乙车的速度为901=90km/h；
（3）甲车的函数的关系式为：y1=60x+60；
乙车的函数关系式为：y2=90x；
（4）设乙车行驶a小时可以追上甲车，由题意，得
90a=60+60a，
解得：a=2．
∵1.5＜2，
∴乙车不能在1.5小时内追上甲车．
乙车追上甲车时，乙车行驶了2小时．
【解析】
（1）通过分析函数图象就可以得出l2表示B车离出发地的距离y与追赶时间x 之间的关系；
（2）根据速度=路程÷时间就可以求出两车的速度；
（3）根据题意得出函数关系式即可；
（4）设B车行驶a小时可以追上A车，由追击问题的等量关系建立方程求出其解；
本题考查了行程问题的数量关系的运用，追击问题的等量关系的运用，解答时分析函数的图象的数据的意义运用行程问题的数量关系求解是关键．。