浙江省台州市四校高三数学上学期第一次联考 文.doc

浙江省台州市四校高三上学期第一次联考试卷数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设B A ,是非空集合，定义B A ⨯={B A x x ∈且B A x ∉}，己知
{}20≤≤=x x A ,{}0≥=y y B ，则B A ⨯等于 （ ）
A ．(2，+∞)
B ．[0，1]∪[2，+∞)
C ．[0，1)∪(2，+∞)
D ．[0,1]∪(2，+∞) 2. 已知命题p ：抛物线2
2x y =的准线方程为2
1
-
=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为 偶函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是 ( ) A ． q p ∧
B ．)q (p ⌝∨
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．q p ∨
3．已知cos （α－
6
π
）+sin α7sin()6πα+则的值是 （ ）
A ．－
532 B ．532 C ． －54 D ． 5
4
4．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则
（ ）
A ．,a a αγ∃⊂⊥
B ．,//a a αγ∃⊂
C ．,b b βγ∀⊂⊥
D ．,//b b βγ∀⊂ 5. 如果一个几何体的三视图如图所示 （单位长度：cm ），则此几何体的表面积是（ ）
A. (80+cm 2
B. (96+cm 2
C. 96 cm 2
D. 112 cm 2
6. 两个正数a 、b 的等差中项是92
，一个等比中项是且,b a >则双曲线122
22=-b y a x 的
离心率为 （ ）
A ．
5
3
B ．
4
C ．
54
D ．
5
7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模
sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()
3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）A
B ．2
C ．
D ．48．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令
12n
n S S S T n
++
+=
，称T n 为数列a 1,a 2,…,
a n的“理想数”.已知a1,a2,…,a500的“理想数”为1002，那么数列3,a1,a2,….a500的“理想数”为 ( )
A．1001 B．1003 C．1004 D．1005
9．函数
π
sin2
3
y x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
在区间
π
π
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，的简图是（
）
10．右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数()ln()
g x x f x
'
=+
的零点所在的区间是（）
A．
11
(,)
42
B．(1,2) C．
1
(,1)
2
D．(2,3)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（1
,3-），n＝（cosA,sinA）.
若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝_______
12、点P在平面ABC上的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O 是△ABC的心.
13、已知△AOB,点P在直线AB上,且满足2,
OP tOB tPA t R
=+∈,则
PA
PB
=_____ .
14、平面上三条直线
210,10,0
x y x x ky
-+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为．
15、在等差数列中，表示其前
项，若，，则的取值范围是．
16、已知
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>椭圆的离心率为
3
M作直线MA，MB交椭圆于
A、B两点且斜率分别为
1
k、
2
k，若A
、B关于原点对称．则
12
k k的值为．
17、设函数()||
f x x x bx c
=++，则下列命题中正确命题的序号有．
①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数； ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值； ③函数()f x 的图象关于点（0，c ）对称； ④方程()0f x =可能有三个实数根．
三、解答题（本大题共5小题共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. (本题满分14分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知向量
(,)a c b a =+-m ,(,)a c b =-n ,且⊥m n ．
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若sin sin A B +=,求角A 的值。

(19) (本题满分14分)
已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且2a =17, 10S =100． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足cos()2n n n b a n π=+( *
N n ∈)，求数列{}n b 的前n 项和
本题满分14分）
如图，三角形ABC 中，AC=BC=
AB 2
2
，ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，且，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点， （Ⅰ）求证：GF//底面ABC ；
（Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求几何体ADEBC 的体积V 。

21．(本题满分15分)
已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6
π
，
原点到该直线的距离为2
3
． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF
的方程；
（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点
)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
22. (本题满分15分)
对于函数43
212()2243
f x x x ax x =-
++--，其中a 为实常数，已知函数 y ＝f （x ）的图象在点（－1，f （－1））处的切线与y 轴垂直．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若关于x 的方程(3)x
f m =有三个不等实根，求实数m 的取值范围；
数学（文科）试卷答案
A
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题4分，共28分） 11.
6π 12垂心 13.1
2
14．{}0,1,2-- 15．（4，
） 16．3
1
-
17．①③④
三、解答题（共72分）
（18）解: （1）由⊥m n 得()()()0a c a c b
a b +-+-=
；
整理得2
2
2
0a b c ab +--=．即2
2
2
a b c ab +-=，……… 5分
又2221cos 22
2a b c ab C ab ab +-=
==．又因为0C π<<,
所以3
C π
=
．…………….7分 （2）因为3
C π
=
，所以23A B π
+=
, 故23
B A π
=
-． 由2sin sin sin sin()3A B A A π+=+-=
得． 即1sin sin 2A A A +=
cos A A += 即sin()62
A π+=．因为203A π<<，所以5666A πππ<+<,
故6
4
A π
π
+
=
或364A π
π
+
=
． 所以12
A π=或712A π=．…………….14分 (19)解：（I ）设{}n a 首项为1a ,公差为d,
则11
1710(29)1002
a d a d +=⎧
⎪
⎨+=⎪⎩解得1192a d =⎧⎨=-⎩…………………….5分
19(1)(2)212n a n n ∴=+-⨯-=-…………………….7分
（II ）∵cos()2n n n b a n π=+=(1)2n n
n a -+
当n 为偶数时, 2312123...(2)(2)(2)...(2)n
n n n T b b b a a a a =+++=-++++-++++
12(12)
(2)22212
n n n n +-=-⨯+=---….10分
当n 为奇数时, 2312123...(2)(2)(2)...(2)n
n n n T b b b a a a a =+++=-++++-+++-+
12312(12)
()...()12
n n n a a a a a --=-+-+-+-
1
1192222
n n +-=-+⨯
+-= 1222n n ++-…………….13分 11
22(222
n n n n n T n n ++⎧--∴=⎨+-⎩当为偶数）
（当为奇数）…………………….14分 解（I ）证法一：取BE 的中点H ，连结HF 、GH ，（如图1）
∵G 、F 分别是EC 和BD 的中点
∴HG//BC ，HF//DE ，……………………………2分 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB ，从而HF//AB ∴HF//平面ABC ，HG//平面ABC ∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC ……………………………………5分
证法二：取BC 的中点M ，AB 的中点N 连结GM 、FN 、MN （如图2） ∵G 、F 分别是EC 和BD 的中点
∴DA
NF DA ，NF BE ，
GM BE GM 2
1
//2
1
,//==且且…………………2分
又∵ADEB 为正方形 ∴BE//AD ，BE=AD ∴GM//NF 且GM=NF ∴MNFG 为平行四边形
∴GF//MN ，又ABC MN 平面⊂，
∴GF//平面ABC ……………………………………5分 （Ⅱ）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC …………7分
∴BE ⊥AC 又∵CA 2+CB 2=AB 2
∴AC ⊥BC ∴AC ⊥平面BCE
从而平面EBC ⊥平面ACD ……………………………………9分 （Ⅲ）连结CN ，因为AC=BC ，所以CN ⊥AB ，且a AB CN 2
121== 又平面ABED ⊥平面ABC ， 所以CN ⊥平面ABED 。

∵C —ABED 是四棱锥 ∴V C —ABED =
=∙CN S ABED 31326
1
2131a a a =∙……………………14分 (用向量法一样给分) 21. 解（1）由
33=a b ，222
3
2121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：13
22
=+y x ……………………4分
图2
A
C
（2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入13
22
=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),
(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．
由322221+=
-=+m m y y y ，3
222
2
221+-=-=m y y y ……………………8分 得3
1)32(2
22+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分） 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ……………………10分
（3）将2+=kx y 代入13
22
=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),
(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即
0)1)(1(),
1(),
1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，
得01
314
125))(12()1(2
21212
=++-=
+++++k k x x k x x k ．………………13分 解得67=k ，此时（*）方程0>∆，∴存在6
7
=k ，满足题设条件．…………15分
22．解（Ⅰ）3
2
()222f x x x ax '=-++-．
据题意，当1x =-时()f x 取极值，所以(1)0f '-=． 因为3
2
(1)(1)2(1)2(1)212f a a '-=--+⨯-+⨯--=-．
由1－2a ＝0，得1
2a =
． ……6分 （Ⅱ）因为12a =，则432
121()22432
f x x x x x =-++--．
所以3
2
()22(1)(1)(2)f x x x x x x x '=-++-=--+-．
由()0f x '>，得(1)(1)(2)0x x x -+-<，即x ＜－1或1＜x ＜2．
所以f （x ）在区间(,1)-∞-，（1，2）上单调递增，
在区间（－1，1），（2，＋∞）上单调递减．……8分 所以()f x 的极大值为58
(1),(2)123
f f -=-=-， 极小值为37
(1)12
f =-
． ……11分 由此可得函数y ＝f （x ）的大致图象如下：
令3(0)x
t t =>，若关于x 的方程(3)x
f m =有三个不等实根， 则关于t 的方程()f t m =在(0,)+∞上有三个不等实根，
即函数()y f t =的图象与直线y m =在(0,)+∞上有三个不同的交点． 又8(0)23f =->-，由图象可知，378123
m -<<-， 故m 的取值范围是378
(,)123
--． ……15分。