高斯光束的匹配与自再现ppt课件
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20
+ 每一个实际光束都可以等效出一个内嵌的基模高斯光束，
内嵌高斯光束束腰半径为ω0，远场发散角为θ；
+ 实际光束的束腰半径和远场发散角分别为： + 实际光束在任意距离处的光束半径都是内嵌
RR0MM0
高斯光束的M倍，他们在相同位置处具有曲率半径相同的等
相位面：
R z R0
1
zM 2 Ro 2
0 '2 l F
9
1 1 l ' F
2 0
0 '2 l F
1
0 ' 2
1
2 0
1
l F
2
1 F2
0
2
联立1、2两式可以解出：
l
F
0 0 '
l
'
F
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F 2 f0 2 F 2 f0 2
1
0 '2
1
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l
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1 '2
F
2
00
'
2
(l
F )(l
'
F)
F2
f
0
L1
'
0'
L2
"
可进行准直，发散角的压缩率为：M '
"
" '
'
2
0,
F2
'
'0
/
2 0
0 '0
l F1
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2
0
'0
F1 F2
0 (l)
M ' F 2 (l) M (l) M
F1 0
0
1
l f
2
其中M几何光学中放大镜的准直倍率。可 见当l、f一定时，可以通过提高M压缩发 散角。
5
6
7
+ 问题：如何将一个稳定腔产生的高斯模与另一个稳定腔的 高斯模相匹配？
+ 匹配：在空间中，两个同轴的高斯光束相对于透镜互为物 像共轭关系，则这两个高斯光束是匹配的。
+ 高斯光束匹配，或者称为模式匹配有重要的意义，例如在 多极放大式激光器中，要把前一个稳定腔中产生的高斯光 束注入到另一个稳定腔中进行放大，如果两个高斯光束的 模式能够匹配，那么就不会发生能量损失；
0
qM'
qM
qM
AqM CqM
B D
CqM2 (D A)qM B 0
B 1 (A D) 1 C 0
qM 2
qM
1 (D A) (A D)2 4BC D A i BC A2 / 4 D2 / 4 AD / 2
qM
2B
2B
B
AD BC 1
D A i 1 ( A D)2 / 4 要ω为实数：
12
+ 如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数不发生变化，
称这种变换为高斯光束的自再现变换。
0 ' 0;l ' l
0 F 0'
+ 1、焦距为F的薄透镜对高斯光束的自再现变换
l l'
– 由自再现的定义和薄透镜变换公式可以求出：
1
2 0
1
1
l F
2
1 0 2 F 2
F
l 2
第8讲 高斯光束的匹配与自再现
1
+ 准直：利用光学系统压缩高斯光束的远场发散角。
+ 1、单透镜对高斯光束的发散角的影响
高斯光束发散角为： 2 透过焦距为F的薄透镜后，发散角为：
0
'2 '0
由薄透镜传输变换公式可得到： ' 2
1
2 0
1
l F
2
1 F2
0
2
若要 ' ，0 则要求 0 ，然而从表达式得出结论，当ω0为有限值时，
这些讨论都是基于 α>>ω ，即不考虑 衍射效应，当不满足这一条件时，提高M 不能无限压缩发散角，此时的发散角大 小还与望远镜孔径有关。
4
+ 望远镜有透射、反射或者折-反射几种形式，如下图所示：
L2
0 L1 0 '
F1 F2
L2
0 L1
0'
F1 F2
+ 各种形式的望远镜系统有各自的特点和应用。
无论F、l取何值，都不可能满足这一条件，因此得到结论：单透镜不能将 高斯光束转换为平面波。
– 如何才能实现发散角的压缩呢？从高斯光束发散角表达式可知，当 '0 0
时，有 ' ，即在一定条件下如果ω’0有最大值时，θ’有最小值。
2
+ +
前面的讨论中曾经得到结论，当l=F时， ω’0有最大值：
1
2 0
l
2
– 将F的表达式带入薄透镜变换关系可以求出 l l '
– 则物方高斯光束在薄透镜表面上等相位面的曲率半径为：
R(l
)
l
1
2 0
l
2
F 1 R(l) 2
– 这就是高斯光束薄透镜自再现变换的条件。
13
– 2、球面反射镜对高斯光束 的自再现变换
由球面反射镜和薄透镜的等 效性可知所有公式都适用于 球面反射镜，可以得到球面 反射镜自再现变换条件：R球 =R(l)=2F
l
'
F
(l
(l F )2
F )F 2 fR / M
2
2
1
R0'2来自1R02
1
l F
2
1
F
2R
2 0
fR M2
2
22
+ M2因子的测量
– 按照ISO/DIS 11146标准规定，测量M2因子需要将实际 光束通过一个固定位置、已知焦距的透镜进行聚焦， 通过测量聚焦光束的束腰半径和远场发散角来计算M2 因子。
多高于10；
19
+ 高阶高斯光束同基模高斯光束在通过简单 光学系统传播时具有类似的性质，其束腰 半径和远场发散角的乘积是定值，在通过 简单光学元件或简单光学系统时不发生变 化；
+ 因此可以利用M2因子将分布复杂的实际光 束同基模高斯光束联系起来，使用基模高 斯光束的传输变换方程描述实际高斯光束 的传输情况。
l0 2F
F2
f
2 0
0 '0
'0 0
+ 令 A 0 '，0 可以得到：
'0 0
(4
A2)F
2
4l
0F
(l
2 0
A2
f
02)
0
+ A，l0为已知值，当指定F的值时，可以根据上式解出l和l’。
11
+ Terawatt Laser
– 利用飞秒激光器产生100fs左右的种 子光，经过5级放大后，获得单脉 冲能量100mJ，峰值功率1TW的激 光脉冲。
即当入射在球面镜上的高斯 光束的等相位面曲率半径正 好等于球面镜的曲率半径时， 可以实现对入射高斯光束的 自再现变换，这种情况也称 为反射镜与高斯光束波前匹 配。
0
0'
l'
l
14
+ 3、高斯光束自再现变换与稳定球面腔
– 由ABCD法则有：
q ' AqM B M CqM D
0 '
l '
l
17
+ M2因子的定义：
M
2
实际光束束腰半径 实际光束远场发散角 理想基模高斯光束束腰半径 理想基模高斯光束远场发散角
+ M2因子被称为激光光束质量因子或衍射极限因子；
+ 对于理想基模高斯光束，M2=1；
+ + +
根可其据知中基0模为 高实斯际故光光：束束M定束2 义腰其半R远径0R场，发为散实角际为光：束远= 场0发散
+ 此处没有考虑衍射，而是在严 格傍轴近似条件下到处的结论。
R1 R(Z1) R2 R(Z 2)
0 Z 0
16
+ 前述的高斯光束传输变换特性都是基于基模高斯 光束推导出的；
+ 基模高斯光束很难在实际激光器输出的激光光束 中找到，实际激光光束多是高阶模式，或者多种 模式的混杂；
+ 为了描述实际光束偏离基模高斯光束的程度，上 世纪80年代末期A.E.Siegman定义了无量纲的M2因 子，来描述实际光束质量，这一描述方法很快被 广泛采用，并被国际标准化组织采用。
2 0
f
0
0
'
0
(2)
0 ' 0
2
l l
'
F F
(1)
10
+ 1、如果给定一个F值，可以计算出一组l、l’，就可以解决问题，为 了保证解的合理性，即l、l’为实数，F必须满足F>f0；
+ 2、两个腔的相对位置固定，即l0=l+l’为固定值，要两个模式匹配， 对F有一定的限制，将得到的两个等式相加得到：
用一个长焦透镜压缩高斯光束的发散角。
3
– 2、利用望远镜将高斯光束准直
按照前面的构想，构造如下图的系统，该系统实际上是一倒置的望远镜系统。
F1为短焦透镜，满足 l>>F ，它将 物方高斯光束聚焦于焦面，此时物方束
腰半径有极小值： '0 F /(l) (1)
若ω’0在l2的焦面上，满足l=F条件，
l ' R'2 R'1
l
'
F
(l F )F (l F )2
2
f
2
l ' F lF
(l
F2 F)2
f2
1
0 ' 2
1
0 2
1
l F
2
1 F2
0
2
1
0 ' 2
1
0 2
l
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F2
f
2
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l
F2
F 2
f
2
联立上式可得：
0 ' 0
2
l l
'
F F
1 1 l ' F
2 0
角； R0
R
18
+ M2因子描述了实际光束偏离基模高斯光束的程度， 数值越大表明光束质量越差；
+ 理论基模高斯光束的M2=1； + 一台稳定运行于单横模的低功率氦氖激光器其M2
因子可以小于1.1； + 典型的离子激光器的M2因子在1.1至1.7之间； + 高功率激光器通常都是多横模输出，其M2因子大
23
+ 实际测量中要在聚焦光束的束腰位置附近、2倍瑞 利长度以外的远场位置附近进行多次测量光斑半 径，以确定束腰半径和远场发散角。
+ 光斑半径的测量可以通过激光模式仪进行。
24
+ 也可以通过M2因子自动测量仪器实现对激 光光束质量的自动测量。
25
+ 光线传输矩阵 + 光线方程 + 波动方程 + 高斯光束 + 高斯光束的传输变换、ABCD法则 + 高斯光束的聚焦、准直、匹配 + 高斯光束的自再现变换
+ 如果不能匹配，那么能量将在第二个腔中激发不同的模式， 造成能量的损失或者输出模式的变坏；或者不能产生激光， 而仅以热扩散和荧光的形式消耗掉了。
8
+ 已 求知使物之方匹束配腰的ω透镜0和的像F方以束及腰束ω腰0’M1 0 M2
(l) '(l)
0'
与透镜的距离。
由薄透镜对高斯光束变换公式： R1 R2 l
26
夏珉教材 第二章习题 12,13,17,20
27
RR
z
z
1
R02 zM 2
21
+ 根据瑞利长度的定义：R(fR)=2fR可知：
2 fR
fR 1
R02 fRM 2
fR
R02 M 2
0 2 M M 2
2
f0
+ 实际光束与内嵌高斯光束有着相同的瑞利长度；
+ 通过M2因子建立起实际光束与内嵌高斯光束之间的关系后，可以利用 M2因子修正后的传输方程，描述透过薄透镜传输的实际光束的特性：
此时 ' 2 2 ，0 故有
'
20 / F
2 0
f
'0
F 0
F f
0
'0 F
2 /(0) F F
+ 故此可以得到在物方高斯光束束腰位于焦面上时：
– F越大，像方发散角越小，反之亦然；
– ω0越小，像方发散角越小，反之亦然； – f/F < <1 时，有较好的准直效果；
+ 由此可以得出结论，可以用一个透镜先压缩高斯光束的束腰半径，再
2B
B
A D
1 1 2
i
qR
R
2B (D A)
;
B
1
A
2
D
2
1 4
1
1
2
光线稳定条件
15
+ 任何满足该条件的模式，都是 腔的自再现模。
+ 唯象地考虑：高斯光束的等相 位面在光轴附近的区域内可以 近似看作球面，只要光腔的反 射镜曲率半径和等相位面曲率 半径相等，则高斯光束被其反 射后参数不发生变化，即实现 自再现。
+ 每一个实际光束都可以等效出一个内嵌的基模高斯光束，
内嵌高斯光束束腰半径为ω0，远场发散角为θ；
+ 实际光束的束腰半径和远场发散角分别为： + 实际光束在任意距离处的光束半径都是内嵌
RR0MM0
高斯光束的M倍，他们在相同位置处具有曲率半径相同的等
相位面：
R z R0
1
zM 2 Ro 2
0 '2 l F
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1 1 l ' F
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0 '2 l F
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l F
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1 F2
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联立1、2两式可以解出：
l
F
0 0 '
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F 2 f0 2 F 2 f0 2
1
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F2
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L1
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L2
"
可进行准直，发散角的压缩率为：M '
"
" '
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2
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/
2 0
0 '0
l F1
F2
"
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2
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'0
F1 F2
0 (l)
M ' F 2 (l) M (l) M
F1 0
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l f
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其中M几何光学中放大镜的准直倍率。可 见当l、f一定时，可以通过提高M压缩发 散角。
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+ 问题：如何将一个稳定腔产生的高斯模与另一个稳定腔的 高斯模相匹配？
+ 匹配：在空间中，两个同轴的高斯光束相对于透镜互为物 像共轭关系，则这两个高斯光束是匹配的。
+ 高斯光束匹配，或者称为模式匹配有重要的意义，例如在 多极放大式激光器中，要把前一个稳定腔中产生的高斯光 束注入到另一个稳定腔中进行放大，如果两个高斯光束的 模式能够匹配，那么就不会发生能量损失；
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qM'
qM
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AqM CqM
B D
CqM2 (D A)qM B 0
B 1 (A D) 1 C 0
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1 (D A) (A D)2 4BC D A i BC A2 / 4 D2 / 4 AD / 2
qM
2B
2B
B
AD BC 1
D A i 1 ( A D)2 / 4 要ω为实数：
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+ 如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数不发生变化，
称这种变换为高斯光束的自再现变换。
0 ' 0;l ' l
0 F 0'
+ 1、焦距为F的薄透镜对高斯光束的自再现变换
l l'
– 由自再现的定义和薄透镜变换公式可以求出：
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2 0
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1
l F
2
1 0 2 F 2
F
l 2
第8讲 高斯光束的匹配与自再现
1
+ 准直：利用光学系统压缩高斯光束的远场发散角。
+ 1、单透镜对高斯光束的发散角的影响
高斯光束发散角为： 2 透过焦距为F的薄透镜后，发散角为：
0
'2 '0
由薄透镜传输变换公式可得到： ' 2
1
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l F
2
1 F2
0
2
若要 ' ，0 则要求 0 ，然而从表达式得出结论，当ω0为有限值时，
这些讨论都是基于 α>>ω ，即不考虑 衍射效应，当不满足这一条件时，提高M 不能无限压缩发散角，此时的发散角大 小还与望远镜孔径有关。
4
+ 望远镜有透射、反射或者折-反射几种形式，如下图所示：
L2
0 L1 0 '
F1 F2
L2
0 L1
0'
F1 F2
+ 各种形式的望远镜系统有各自的特点和应用。
无论F、l取何值，都不可能满足这一条件，因此得到结论：单透镜不能将 高斯光束转换为平面波。
– 如何才能实现发散角的压缩呢？从高斯光束发散角表达式可知，当 '0 0
时，有 ' ，即在一定条件下如果ω’0有最大值时，θ’有最小值。
2
+ +
前面的讨论中曾经得到结论，当l=F时， ω’0有最大值：
1
2 0
l
2
– 将F的表达式带入薄透镜变换关系可以求出 l l '
– 则物方高斯光束在薄透镜表面上等相位面的曲率半径为：
R(l
)
l
1
2 0
l
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F 1 R(l) 2
– 这就是高斯光束薄透镜自再现变换的条件。
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– 2、球面反射镜对高斯光束 的自再现变换
由球面反射镜和薄透镜的等 效性可知所有公式都适用于 球面反射镜，可以得到球面 反射镜自再现变换条件：R球 =R(l)=2F
l
'
F
(l
(l F )2
F )F 2 fR / M
2
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R0'2来自1R02
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l F
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F
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+ M2因子的测量
– 按照ISO/DIS 11146标准规定，测量M2因子需要将实际 光束通过一个固定位置、已知焦距的透镜进行聚焦， 通过测量聚焦光束的束腰半径和远场发散角来计算M2 因子。
多高于10；
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+ 高阶高斯光束同基模高斯光束在通过简单 光学系统传播时具有类似的性质，其束腰 半径和远场发散角的乘积是定值，在通过 简单光学元件或简单光学系统时不发生变 化；
+ 因此可以利用M2因子将分布复杂的实际光 束同基模高斯光束联系起来，使用基模高 斯光束的传输变换方程描述实际高斯光束 的传输情况。
l0 2F
F2
f
2 0
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+ 令 A 0 '，0 可以得到：
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A2)F
2
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2 0
A2
f
02)
0
+ A，l0为已知值，当指定F的值时，可以根据上式解出l和l’。
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+ Terawatt Laser
– 利用飞秒激光器产生100fs左右的种 子光，经过5级放大后，获得单脉 冲能量100mJ，峰值功率1TW的激 光脉冲。
即当入射在球面镜上的高斯 光束的等相位面曲率半径正 好等于球面镜的曲率半径时， 可以实现对入射高斯光束的 自再现变换，这种情况也称 为反射镜与高斯光束波前匹 配。
0
0'
l'
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+ 3、高斯光束自再现变换与稳定球面腔
– 由ABCD法则有：
q ' AqM B M CqM D
0 '
l '
l
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+ M2因子的定义：
M
2
实际光束束腰半径 实际光束远场发散角 理想基模高斯光束束腰半径 理想基模高斯光束远场发散角
+ M2因子被称为激光光束质量因子或衍射极限因子；
+ 对于理想基模高斯光束，M2=1；
+ + +
根可其据知中基0模为 高实斯际故光光：束束M定束2 义腰其半R远径0R场，发为散实角际为光：束远= 场0发散
+ 此处没有考虑衍射，而是在严 格傍轴近似条件下到处的结论。
R1 R(Z1) R2 R(Z 2)
0 Z 0
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+ 前述的高斯光束传输变换特性都是基于基模高斯 光束推导出的；
+ 基模高斯光束很难在实际激光器输出的激光光束 中找到，实际激光光束多是高阶模式，或者多种 模式的混杂；
+ 为了描述实际光束偏离基模高斯光束的程度，上 世纪80年代末期A.E.Siegman定义了无量纲的M2因 子，来描述实际光束质量，这一描述方法很快被 广泛采用，并被国际标准化组织采用。
2 0
f
0
0
'
0
(2)
0 ' 0
2
l l
'
F F
(1)
10
+ 1、如果给定一个F值，可以计算出一组l、l’，就可以解决问题，为 了保证解的合理性，即l、l’为实数，F必须满足F>f0；
+ 2、两个腔的相对位置固定，即l0=l+l’为固定值，要两个模式匹配， 对F有一定的限制，将得到的两个等式相加得到：
用一个长焦透镜压缩高斯光束的发散角。
3
– 2、利用望远镜将高斯光束准直
按照前面的构想，构造如下图的系统，该系统实际上是一倒置的望远镜系统。
F1为短焦透镜，满足 l>>F ，它将 物方高斯光束聚焦于焦面，此时物方束
腰半径有极小值： '0 F /(l) (1)
若ω’0在l2的焦面上，满足l=F条件，
l ' R'2 R'1
l
'
F
(l F )F (l F )2
2
f
2
l ' F lF
(l
F2 F)2
f2
1
0 ' 2
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0 2
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1 F2
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F 2
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0 ' 2 0 2
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F2
F 2
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2
联立上式可得：
0 ' 0
2
l l
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F F
1 1 l ' F
2 0
角； R0
R
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+ M2因子描述了实际光束偏离基模高斯光束的程度， 数值越大表明光束质量越差；
+ 理论基模高斯光束的M2=1； + 一台稳定运行于单横模的低功率氦氖激光器其M2
因子可以小于1.1； + 典型的离子激光器的M2因子在1.1至1.7之间； + 高功率激光器通常都是多横模输出，其M2因子大
23
+ 实际测量中要在聚焦光束的束腰位置附近、2倍瑞 利长度以外的远场位置附近进行多次测量光斑半 径，以确定束腰半径和远场发散角。
+ 光斑半径的测量可以通过激光模式仪进行。
24
+ 也可以通过M2因子自动测量仪器实现对激 光光束质量的自动测量。
25
+ 光线传输矩阵 + 光线方程 + 波动方程 + 高斯光束 + 高斯光束的传输变换、ABCD法则 + 高斯光束的聚焦、准直、匹配 + 高斯光束的自再现变换
+ 如果不能匹配，那么能量将在第二个腔中激发不同的模式， 造成能量的损失或者输出模式的变坏；或者不能产生激光， 而仅以热扩散和荧光的形式消耗掉了。
8
+ 已 求知使物之方匹束配腰的ω透镜0和的像F方以束及腰束ω腰0’M1 0 M2
(l) '(l)
0'
与透镜的距离。
由薄透镜对高斯光束变换公式： R1 R2 l
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夏珉教材 第二章习题 12,13,17,20
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RR
z
z
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R02 zM 2
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+ 根据瑞利长度的定义：R(fR)=2fR可知：
2 fR
fR 1
R02 fRM 2
fR
R02 M 2
0 2 M M 2
2
f0
+ 实际光束与内嵌高斯光束有着相同的瑞利长度；
+ 通过M2因子建立起实际光束与内嵌高斯光束之间的关系后，可以利用 M2因子修正后的传输方程，描述透过薄透镜传输的实际光束的特性：
此时 ' 2 2 ，0 故有
'
20 / F
2 0
f
'0
F 0
F f
0
'0 F
2 /(0) F F
+ 故此可以得到在物方高斯光束束腰位于焦面上时：
– F越大，像方发散角越小，反之亦然；
– ω0越小，像方发散角越小，反之亦然； – f/F < <1 时，有较好的准直效果；
+ 由此可以得出结论，可以用一个透镜先压缩高斯光束的束腰半径，再
2B
B
A D
1 1 2
i
qR
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;
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D
2
1 4
1
1
2
光线稳定条件
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+ 任何满足该条件的模式，都是 腔的自再现模。
+ 唯象地考虑：高斯光束的等相 位面在光轴附近的区域内可以 近似看作球面，只要光腔的反 射镜曲率半径和等相位面曲率 半径相等，则高斯光束被其反 射后参数不发生变化，即实现 自再现。