高二数学重点知识串讲 (1)

C.这是一条大河 D.x2+2x+1≥0
3.命题“二次函数最多有两个零点”中的条件是
____________,结论是____________.
【思路导引】判断一个语句是否为命题的标准是:一是
陈述句 二是可以_________. 判断真假 _______,
【解析】1.选A.“ 是无限不循环小数”是陈述句,
2.选C.①是假命题,垂直于同一条直线的两条直线也可
能垂直,异面;②是真命题;③是假命题,若直线l1,l2与 同一平面所成的角相等,则l1,l2相交、平行或异面;④
是假命题,若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两
条直线也可能相交.
3.①中,因为ac2>bc2,所以c≠0,
所以c2>0,所以a>b,故①是真命题; ②中,由三角函数的周期性可知,②是假命题;
【解析】选C.由|a|=|b|只是得到a与b的模相等,但方
向不确定,所以a与b不一定相等.
4.把命题“函数f(x)=sin x是奇函数”改写成“若p,
则q”的形式是__________________________.
【解析】命题的条件是一个函数是f(x)=sin x,结论是
该函数是奇函数,所以命题可改写为若一个函数是 f(x)=sin x,则该函数是奇函数.
2
并且它是真的,所以是命题;选项B,因为无法判断“3x ≤5”的真假,所以选项B不是命题;选项C是疑问句,选
项D是祈使句,故都不是命题.
2.选C.“这是一条大河”不是命题,因为“大河”没有
界定标准,故不能判断“这是一条大河”的真假. 3.命题为“若一个函数是二次函数,则它最多有两个零
点”,所以条件是“一个函数是二次函数”,结论是
边形的n个内角全相等”
B.“末位数字是0或5的整数,能被5整除”的“若p,则q”
形式为“若一个整数的末位数字是0或5,那么这个整数
能被5整除” C.“方程x2-x+1=0有两个实根”的“若p,则q”形式为
“若x满足方程x2-x+1=0,则该方程有两个实根”
D.“已知x,y为正整数,当y=x-5时,y=-3,x=2”的“若p,
(2)表述命题的语句能够判断真假.
2.命题的形式
(1)有的命题有明确的条件p和结论q,而有的命题不明 显.
(2)确定命题的条件和结论时,最好把命题写成“若p,
则q”的形式.
3.判定命题“若p,则q”的真假
能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q,则 说明为真.
【自我检测】
1.已知下列语句:①平行四边形不是梯形;②
则q”形式为“若x,y为正整数,则y=x-5时,y=-3,x=2”
【解析】选D.A,B,C都正确,D中大前提不能变,条件应
为“y=-3”,应改为:“已知x,y为正整数,当y=x-5时,
若y=-3,则x=2”.
【补偿训练】
把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假
(1)函数y=lg x是单调函数. (2)相似三角形的对应角相等.
(3)不要误以为判断为假的陈述句不是命题,只不过它
是假命题而已.
【变式训练】
1.下列语句是命题的是
A.x-3=0 B.4+3=9
(
)
C.你会跳舞吗?
D.这是一棵大树
【解析】选B.A中x不确定,x-3=0的真假无法判断;B中
4+3=9是命题,且是假命题;C不是陈述句,故不是命题;D 中“大”的标准不确定,无法判断真假.
【错解案例】命题中的条件是“已知c>0,当a>b时”,
结论是“ac>bc”,故原命题可改写为“若c>0,a>b,则
ac>bc”. 答案:若c>0,a>b,则ac>bc 错误原因 将c>0作为已 知条件 防范措施 分清楚命题的条件和结论,还 要注意命题中的大前提
【正解】由题意知,命题中c>0是大前提,所以该命题中
“这个函数最多有两个零点”.
答案:一个函数是二次函数
点
这个函数最多有两个零
【方法技巧】 判断命题的三个注意点 (1)必须是陈述句,祈使句、疑问句、感叹句等都不是 命题.
(2)含义模糊不清,不能判断真假的语句,不是命题.另
外,并非所有的陈述语句都是命题,凡是在陈述语句中 含有比喻、形容词的,都不是命题.
C.是假命题
D.是命题,但真假与x的取值有关
【解析】选B.当a>1时,指数函数f(x)=ax是增函数,故
“若a>1,则函数f(x)=ax是增函数”是真命题.
3.下列命题为假命题的是
A.log24=2
B.直线x=0的倾斜角是 2
(
)
C.若|a|=|b|,则a=b
D.若直线a⊥平面α ,直线a⊥平面β ,则α ∥β
命题真假的判断
)
【典例】1.下列命题是真命题的是 (
A.已知a,b,c,d∈R,若a≠c或b≠d,则a+b≠c+d.
B.若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根.
C.空集是任何集合的真子集. D.垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
2.给出下列几个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一 直线的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所
③中,因为f(x)=log2x,所以f(|x|)=log2|x|,是偶函数,
故③是真命题. 答案:①③
【延伸探究】
1.典例2中命题②变为“垂直于同一平面的两条直线互 相平行”是真命题吗?
【解析】是真命题,依据线线平行的判定可知垂直于同
一平面的两条直线互相平行.
2.典例3中命题②变为“在△ABC中,若sin A=sin B,则
2.给出下列语句:①北京是中国的首都;②x=2是方程
x2-4x+4=0的根;③3 200不是大数;④sin x>-x2;⑤0是 自然数吗?⑥我希望明年考上北京大学;⑦函数y=x2是
奇函数.其中是命题的是________.
【解析】①可以判断真假,是陈述句,是命题;②可以判
断真假,是陈述句,是命题;③不是命题,因为无法判断
“f(x)=logax的值减小”,故命题改写为“若p,则q”
的形式为:“当0<a<1时,若x的值增大,则f(x)=logax的 值减小”.
(3)当a>1时,函数y=ax是增函数.
【解析】(1)若函数是对数函数y=lg x,则这个函数为
单调函数,真命题.
(2)若两个三角形相似,则它们的对应角相等,真命题. (3)若a>1,则函数y=ax是增函数,真命题.
【核心素养培优区】
易错误区案例
命题的改写
【典例】将命题“已知c>0,当a>b时,ac>bc”改写为 “若p,则q”的形式为____________.
【易错警示】
命题改写中的注意点
若命题不是以“若p,则q”这种形式给出时,首先要确 定这个命题的条件p和结论q,进而改写成“若p,则q”
的形பைடு நூலகம்.
【变式训练】
下列命题改写成“若p,则q”的形式不正确的是
( )
A.“正n边形(n≥3)的n个内角全相等”的“若p,则q”
形式为“若一个多边形是正n边形(n≥3),那么这个正n
答案:若一个函数是f(x)=sin x,则该函数是奇函数
类型一
命题的概念 ( )
【典例】1.判断下列语句哪个是命题 A. 是无限不循环小数
2
B.3x≤5 C.什么是“温室效应”? D.明天给我买本书!
2.下列语句中不是命题的是 (
A.y=cos x(x∈R)是偶函数
)
B. tan ＝ 3
4 3
为a>0,b>0,所以a+b>0. 因此,a-b>0,即a>b.于是,命题(1)是真命题.
(2)取a=-2,b=1,a2>b2,但a<b.于是,命题(2)是假命题.
类型三
命题的结构形式
【典例】1.命题“周长相等的三角形面积相等”的条
件为______________,结论为______________.
的条件是a>b,结论是ac>bc.所以“若p,则q”的形式为
“已知c>0,若a>b,则ac>bc”. 答案:已知c>0,若a>b,则ac>bc
【即时应用】将命题“当0<a<1时,函数f(x)=logax的
值随x的增大而减小”改写为“若p,则q”的形式
________.
【解析】命题中的条件是“x的值增大”,结论是
其真假;④不是命题,因为无法判断其真假,其真假与x
的取值范围有关;⑤不是命题,因为它是疑问句;⑥不是 命题,因为它是祈使句;⑦可以判断真假,是陈述句,是 命题. 答案:①②⑦
【补偿训练】
下列语句是命题的有________.(填序号)
①垂直于同一平面的两个平面相互平行吗? ②作直线a平行于直线b.
③4是集合{1,2,3}中的元素.
2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题
的真假.
(1)偶数能被2整除.
(2)奇函数的图象关于原点对称.
【解题探究】把命题改写成“若p,则q”的形式,需要
注意什么?
提示:要分清命题的条件和结论,并在写成“若p,则q” 的形式时,尽量使句子通顺一些.
【解析】1.命题“周长相等的三角形面积相等”的条
件是“两个三角形周长相等”,结论是“这两个三角形
面积相等”,所以命题可以写成“若两个三角形周长相 等,则这两个三角形面积相等”.
答案:两个三角形周长相等 这两个三角形面积相等
2.(1)若一个数是偶数,则它能被2整除,真命题.
(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称,真
命题.
【解题流程】
【方法技巧】 将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
成的角相等,则l1,l2互相平行;④若直线l1,l2是异面直线,
则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
A.1 C.3 B.2 D.4
(
)
3.下列命题:
①若ac2>bc2,则a>b; ②若sin A=sin B,则A=B;
③若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中真命题的序号是________.
3
3 是无理
数;③方程9x2-1=0的解是x=± 1 ;④3a>a;⑤2017年8
月1日是中国人民解放军建军90周年的日子.其中命题
的个数是 A.2 ( B.3 ) C.4 D.5
【解析】选C.①,②,③,⑤是命题,④不是.
2.若a>1,则函数f(x)=ax是增函数
A.不是命题 B.是真命题
(
)
(2)假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命 题为假命题的常用方法.
【补偿训练】
已知a,b是两个实数,试判断下列命题的真假: (1)如果a,b是正实数且a2>b2,那么a>b.
(2)如果a,b是任意实数且a2>b2,那么a>b.
【解析】(1)因为a2>b2,所以a2-b2=(a-b)(a+b)>0.又因
条件 叫做命题的_____. 结论 其中p叫做命题的_____,q
微课堂·微思考
【思考1】如何确定命题的条件与结论?
提示:命题中已知的事项为条件,由已知推出的事项为 结论.
【思考2】语句“x>0”是真命题吗?
提示:由于不知道x的范围,所以无法判断真假.
【自我总结】
1.命题语句的特点 (1)表述命题的语句必须是陈述句.
第一章
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.1 命 题
【自我预习】
1.命题的概念 判断真假 的 (1)定义:用语言、符号或式子表达的,可以_________
陈述句.
(2)分类:
真 假
微提醒
表述命题的语句必须是陈述句,祈使句、疑问
句、感叹句等都不是命题.
2.命题的形式
命题的一般形式为“若p,则q”.
④在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=b,
则A=B.
⑤函数y=x和函数y= ⑥2x-4>1.
x 2 是同一个函数.
⑦ 3 是无理数.
【解析】①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;
③④⑤是命题;⑥不是命题,x的取值能否使不等式成立
无法确定;⑦是命题. 答案:③④⑤⑦
类型二
定义 、_____ 定理 、_____ 公理 、 【思路导引】运用数学中的_____ 公式 等知识进行判断. _____
【解析】1.选B.A.假命题.反例:1≠4或5≠2,而
1+5=4+2. B.真命题.因为m>1⇒Δ=4-4m<0⇒方程x2-2x+m=0无实数
根.
C.假命题.空集是任何非空集合的真子集. D.假命题.反例:有可能互相垂直,如墙角.
A=B”是真命题吗? 【解析】是真命题,在[0,2π ]内,由sin A=sin B可得A
=B或A+B=π ,但是在△ABC中A+B=π 不成立,所以A=B.
【方法技巧】 判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法 要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事 实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根 据已知的正确结论推证.