微积分B版-上册-讲义-3-1中值定理

几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f ( x)
o a
1
2 b
x
如何从理论上证明？
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 都有 f () 0.
(1)
例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续,
f ( x ) 2( x 1),
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f () 0.
取 1, (1 ( 1,3))
拉格朗日中值定理
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x )在 [a , b] 上连续， 在 (a , b) 内可导,
x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1).
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
第3章：中值定理与导数的应用
驱动微分学产生的三个问题： 1. 求运动物体的瞬时速度； 2. 求曲线某点处切线的斜率； 3. 求最大值和最小值。
本章要介绍的内容： 1. 微分中值定理 2. 求极限的一个新方法 3. 泰勒公式
4. 函数的性态与作图
3.1
中值定理
函数的极值
定义. 设函数f ( x)定义在区间I 上，点x0 I，若存在点x0的 某一领域U ( x0 , ) I，使得x U ( x0 , ), 恒有 f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 )) 则称f ( x0 )为函数f ( x)的一个极大值（或极小值） 点x0 称为f ( x)的极大（极小）值点。
由此得 f ( x ) 0. (a , b), ( 2) 若 M m .
f (a ) f (b ),
最值不可能同时在端点 取得. 设 M f (a ), 则在 (a , b) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
故 f '( )0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [2,2];
例４. 若函数f ( x)在区间[ x0 , x0 ] ( 0)上连续， 在( x0 , )可导，且 lim f '( x)存在(或为), 则：
x x0
f ' ( x0 ) lim f '( x)
x x0
任取x ( x0 , x0 ), 则f ( x)在区间[ x0 , x]上满足 拉氏条件，于是存在 ( x0 , x)使得 f ( x) f ( x0 ) f '( ) x x0 f ( x) f ( x0 ) 从而，f ( x0 ) lim x x0 x x0
例2
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
由于f '( x)存在 0 f ' ( x0 ) f '( x) f ' ( x0 ) 0 即f '( x) 0
通常称f '( x0 ) 0的点x0为f ( x)的驻点。
问题：是不是所有的极值点都是驻点？ 是不是所有的驻点都是极值点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x )在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间 (a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在 (a , b ) 内至少有一点 (a b ),使得函数 f ( x )在该点的导数等于零， ' 即 f ( ) 0
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
2 x 例6. 证明：不等式e x sin x 1 (0 x 1)成立 2
2 x 例6. 证明：不等式e x sin x 1 (0 x 1)成立 2
x2 证明：设函数f ( x) e sin x 1 , x [0,1] 2 则，f '( x) e x cos x x.
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ( x a )]. ba
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 F () 0.
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0 ba
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
C
M N
y f ( x)
B
A
D
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
所得曲线a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
1 的正实根.
证 设 f ( x ) x 5 5 x 1,
且 f (0) 1, f (1) 3.
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
M N
y f ( x)
B
A
D
o a
1
x
2 b
x
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
1 1 例5. 证明：不等式 ln(1 ) ( x 0)成立 x 1 x
1 1 证明：设函数f ( x) ln(1 ) , 则有： x 1 x 1 1 1 1 f '( x) 1 x x (1 x) 2 x(1 x) 2
当x 0时，f '( x) 0，故f ( x)单调减少。又因为 1 1 lim f ( x) lim [ln(1 ) ]0 x x x 1 x 1 1 可得，当x 0时，f ( x) 0, 即 ln(1 ) x 1 x
推论 若函数f ( x), g ( x)在区间(a, b)内可导，且恒有 f '( x) g '( x), 则在区间(a, b)内，f ( x) g ( x) C
推论 若函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续， 在开区间(a, b)内可导，则f ( x)在区间[ a, b] 上单调增加（或减少）的充要条件是： 在(a, b)内有f '( x) 0(或f '( x) 0)
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
函数的最值
最值：包含最大值和最小值 最值是对于函数f ( x)在整个定义域内的函数值而言的。
最值是函数的整体性质； 极值是函数的局部性质。
x0是函数f ( x) ( x D( x))的最值点：x D( x), f ( x) f ( x0 )
x
f ''( x) e x sin x 1 则当0 x 1时，f ''( x) 0, 即f '( x)单调减少。 再由f '(0) 0得：f '( x) f '(0) 0, 即f ( x)单调减少。 即f ( x) f (0) 0, 从而
而由于极值的局部性，可以产生：极小值不一定比极大值小。
费马定理
设函数y f ( x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，则 f '( x0 ) 0
费马定理
设函数y f ( x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点， 则 f '( x0 ) 0
证明. 不妨假设x0是f ( x)的极大值点， 即, 0, x U ( x0 , ), f ( x) f ( x0 ) 故，当x U ( x0 , ), 且x x0时
'
同理有： f ' ( x0 ) lim f '( x)
x x0
lim f '( )
x x0 x x0
( x0 , x)
lim f '( x)