高数中值定理
高数第三章第一节中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相除即得结论. 错!
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高数中值定理
⾼数中值定理第三章中值定理与导数的应⽤中值定理与导数的应⽤的结构洛必达法则Rolle 定理Lagrange 中值定理常⽤的泰勒公式型0,1,0∞∞型21∞-∞型∞?0型00型∞∞Cauchy 中值定理Taylor 中值定理xx F =)()()(b f a f =0=n gfg f 1=211221111∞∞∞-∞=∞-∞取对数令gf y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根⽅法.导数的应⽤第三章中值定理与导数的应⽤1. 中值定理2. 常⽤麦克劳林公式3. 洛必达法则4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点7. 最值问题8. 典型例题1. 中值定理泰勒中值定理设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在ξ ,使（柯西中值公式）)()()()()()(''ξξg f b g a g b f a f =--（拉⽒中值公式）)()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使罗尔中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=010)1(000)()()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n nk n n x x n f x x n x f x f ξ拉⽒中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导, 那末),(b a ∈?ξ,使)()!12()1(sin 22012+=+++-=∑n nk k kx o k x x )()!2()1(cos 1202+=+-=∑n nk k k x o k x x )()1()1ln(11nnk k k x o k x x +-=+∑=-!)1()1(k n k +--=ααααΛ)()1(0nn=+∑=αα)(110n nk k x o x x +=-∑=)(!nnk kxx o k x e +=∑=2. 常⽤麦克劳林公式不定型或）（∞∞001不定型）（00,1,0,,02∞∞-∞∞?∞3. 洛必达法则)()()(lim )()(lim ??∞=''=→→或l x g x f x g x f x x 0 1100∞=∞=∞∞=∞01ln exp∞=∞11ln exp 1?=010ln exp 00211221111∞∞∞-∞=∞-∞上单调减少在，则函数内如果在上单调增加在设函数],[)(0)(),()2(],[)(0)(),()1(),(],[)(b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y =<'=>'=单调性定理 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点．点统称为极值点和极⼩值点极⼤值值点；⼩的⼀个极⼤是值，称⼩的极⼤是就称值，那么⼩的某邻域内的唯⼀最⼤在是如果)()()()()()()()()()()(0000x f x x f x f x x f x f 极值定义5. 函数图形性质的讨论x(x0, x1)x1(x1, x2)x2(x2, x3)x3(x3, x4) f '(x)+--+f "(x)-+f (x)图形单增极⼤f ( x1)单减⽆极值单减极⼩f ( x3)单增先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1,x2,x3 ), 再按下表判断若)(x f 在0x 可导有极值 , 则0x 为)(x f 的驻点极值可疑点：不取极值在不变号，则的左、右邻域如果在取极⼤值在，则，右邻域的左邻域如果在取极⼩值在，则，右邻域的左邻域如果在的去⼼邻域可导，那么在设连续函数0000000)()()3()(0)(0)()2()(0)(0)()1()(x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x x f y '<'>'>'<'=极值第⼀充分条件取极值必要条件驻点（即使0)(0='x f 的点）、不可微点取极⼤值在，则如果取极⼩值在，则如果的邻域⼆阶可导，那么在驻点设函数00000)(0)()2()(0)()1()(x x f x f x x f x f x x f y <''>''=极值第⼆充分条件6. 判定极值的充分条件7. 最值问题求最值的步骤：1. 建⽴⽬标函数2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点3. 确定最值点：(3) 若知函数有唯⼀最值可疑点, ⽽由实际问题本⾝知函数的最⼤(⼩)值⼀定存在, 则该最值可疑点必是所求最⼤(⼩)值点例1.]65,6[sin ln 的正确性上在验证罗尔定理对ππ=x y 解8. 典型例题5lnsin [,].66y x ππ∴=函数在上满⾜罗尔定理的条件:22,(0,1,)D k x k k πππ<<+=±Q L 5[,].66ππ且在上连续5cot (,)66y x ππ'=⼜在内处处存在5()()66f f ππ=并且ln2=-cot 0,y x '==由5(,)66ππ在内显然有解.2x π=,2πξ=取()0.f ξ'=则这就验证了命题的正确性..)1(51lim 520x x xx +-+→求极限解.2的次数为分⼦关于x Θ5)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +?-?++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim 2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=例2.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(b a f bf a ba f f x f +='+'==ηξηξ使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与b a Θ10<+<∴ba a,]1,0[)(上连续在⼜x f 由介值定理,,)(ba a f +=τ使得),1,0(∈τ存在有上分别⽤拉⽒中值定理在,]1,[],,0[)(ττx f 例3),0(),()0()(τξξττ∈'=-f f f )1,(),()1()()1(τηηττ∈'-=-f f f ,1)1(,0)0(==f f 两式分别乘有)(1)(1ηξf f ''和并注意到1))(())((=+'++'b a f bb a f a ηξ.)()(b a f b f a +='+'∴ηξ).,0,0(,2ln )(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+证明不等式证),0(ln )(>=t t t t f 令,1ln )(+='t t f 则,)(>=''tt f .0,0),,(),(ln )(是凹的或在>>=∴y x x y y x t t t f )2()]()([21yx f y f x f +>+于是,2ln 2]ln ln [21y x y x y y x x ++>+即.2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+即例4])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(∈≤'≤''=x x f x f f f x f 证明且上⼆阶可微在若函数证],1,0[0∈x 设有展成⼀阶泰勒公式处把在,)(0x f x 20000))((21))(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ则有令,1,0==x x 21000)(21)()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=202000)1)((21)1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ例52022010)1)((21)(21)(x f x f x f -''-''='ξξ)1()0(f f =两式相减，并注意到则有,1)(≤''x f 及2020)1(2121x x -+≤21412141)21(220=+≤+-=x 的任意性知命题真再由0x.,,)1,2(sin 2程两曲线的公共曲率圆⽅点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线⼀抛物线求作处上点过正弦曲线M M c bx ax y M x y ++=π曲率圆的圆⼼坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()(y x x f y =,])(1[232y y k '+''=,1k=ρ'''++='''+'-=y y y y y y y x x 2020)(1])(1[例6,1)2(=πf 有=π')2(f ,0=π'')2(f .1-,2c bx ax y ++=对于曲线,)sin(x y =对曲线=π)2(f 有,242c b a +π+π=π')2(f ,b a +π=π'')2(f .2a 若两曲线满⾜题设条件,必在该点处具有相同的⼀阶导数和⼆阶导数,于是有,1242=+π+πc b a ,0=+πb a .12-=a 解此⽅程组得,21-=a ,2π=b .812π-=c 故所求作抛物线的⽅程为.8122122π-+π+-=x x y 两曲线在点处的曲率圆的圆⼼为),0,2(π1)2(22=+π-y x.,,,,,12并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数-+=x xx y 解:)1(定义域,1±≠x ),,1()1,1()1,(+∞---∞Y Y 即1)(2--+-=-x xx x f Θ),(x f -=为奇函数y ')2(222)1(11-+-=x x ,)1()3(2222--=x x x ,0='y 令.3,0,3-=x 得例7y ''222)1()3(2-+=x x x ,)1(1)1(133++-=x x ,0=''y 令.0=x 得,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x )(x f ;1的铅直渐近线为曲线y x =∴,lim 01-∞=--→y x ,lim 01+∞=+-→y x ;1为铅直渐近线-=∴x x y a x ∞→=lim Θ)1(1lim 2-+=∞→x xx x x ,1=)(lim ax y b x -=∞→)(lim x y x -=∞→1lim 2-=∞→x xx ,0=.的斜渐近线为曲线直线y x y =∴,)3,0,3(),1()4(分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点==-=±=x x x x ,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x ;1为铅直渐近线=∴x。
常用高数定理
高中常用高数定理1.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续可导，则至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a<c<b)初等作法：形如丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(或者≥），求k取值范围。
解：丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨≤k当x2→x1时，丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨=f'(x1)≤k<=>丨f'(x)丨≤k i丨f(x2)-f(x1)丨≤k丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+kx1令h1(x）=f(x)-kx h2(x)=f(x)+kx由i知h1'(x）=f'(x)-k≤0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-k^2〕/h1'(x）≥0=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1)-kx1当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+k x1=>k≥丨f'(x)丨max例题：06年四川高考理数21已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx,f(x）的导数为f'(x),对任意两个不相等的正数x1、x2证明：当a<4时，丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x1-x2丨解：丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x2-x1丨<=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨>1当x2→x1时，丨〔f’(x2)-f’(x1)〕／（x2-x1)丨=丨f'(x1)丨>1<=>丨f''(x1)丨>1 i =>a<4/x+x^2<4丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨(不妨设x2≥x1）<=>当f'(x2)≥f'(x1)时，f'(x2)-x2>f'(x1)-x1 ii当f'(x1)≥f'(x2)时，f'(x2)+kx2<f'(x1)+kx1 iii令h1(x）=f'(x)-x h2(x)=f'(x)+x由i知h1'(x）=f'(x)-1>0 h2'(x)=〔丨f'(x)丨^2-1〕/h1'(x）-1<0=>ii、iii成立=>丨f'(x2)-f'(x1)丨>丨x2-x1丨（当a<4时)2：单调有界原理若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。
高等数学中值定理的题型与解题方法
高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：()0nf ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。
证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==， ∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。
同济大学《高等数学》(第四版)3-1节 中值定理
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
物理解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba 上页 下页 返回
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x 0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
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例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
由介值定理
高数-中值定理学习
证 ∵ f ( 0) = f (1) = f ( 2) = f ( 3) = 0
f ( x )在[0， 1]上满足 R − 定理的条件， 定理的条件，则 ∃ξ 1 ∈ (0， 1)使f ′( ξ 1 ) = 0;
f ( x )在[1， 2]上满足 R − 定理条件， 2)使f ′( ξ 2 ) = 0; 定理条件，则 ∃ξ 2 ∈ (1，
9
例3 求证 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx − a − b − c = 0在( 0， 1)内 至少有一个根。 至少有一个根。
分析： 分析： F ( x ) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx − a − b − c
F (0) = − (a + b + c ), F (1) = 4a + 3b + 2c − a − b − c = 3a + 2b + c
6
注意:
罗尔定理的三个条件， 罗尔定理的三个条件，缺一不可.
罗尔定理指出了ξ点的存在性， 点的存在性，但不能确定它的位置。 但不能确定它的位置。
3 2 y = x , x ∈ [ − 2 , 2 ] 及 y = 1 − x , x ∈ [−2,2]. 例如,
除不满足条件( 2)( f ′(0)不存在)外, 满足罗尔定理的 一切条件 , 但在( −2,2)内找不到一点能使 f ′( x ) = 0.
x ∈ [−1,1]
π π 又 ∵ f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π 即C = . 2 π ∴ arcsin x + arccos x = . 2
18
证明不等式 例5(2) 证明当 x > 0时,
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
《高数上31中值定理》课件
罗尔定理的证明
详细描述：证明罗尔定理的步骤 如下
1. 构造辅助函数$F(x) = f(x) lambda x$，其中$lambda$为
待定常数。
2. 利用中值定理证明存在一点 $xi_1$，使得$F(xi_1) = 0$。
罗尔定理的证明
3. 由于$F(a) = f(a) - lambda a = 0 - lambda a = -lambda a$ 和$F(b) = f(b) - lambda b = lambda b - lambda b = 0$，且 $F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，所以根据介值定理存 在一点$xi_2$，使得$F(xi_2) = 0$。
1. 求函数的极值
如果函数在某点的导数为零，则该点可能是函数的极值点。因此，利用罗尔定理可以找 到函数的极值点。
2. 判断函数的单调性
如果函数在某区间的导数大于零，则函数在此区间单调递增；如果导数小于零，则函数 在此区间单调递减。因此，利用罗尔定理可以判断函数的单调性。
03
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理的表述
总结词
简洁明了地描述了拉格朗日中值定理 的内容。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 在开区间(a, b)上可导，那么在开区间 (a, b)内至少存在一点ξ，使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明过程。
详细描述
4. 由于$F'(xi_2) = f'(xi_2) lambda = 0$，所以$lambda = f'(xi_2)$。
5. 综上，存在唯一一点$xi = xi_2$，使得$f'(xi) = 0$。
医学高数8(中值定理 洛必达法则)
一、中值定理 定理2-1 （罗尔 ( Rolle ) 中值定理） 中值定理） 定理 上连续， 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b]上连续，在开区间 上连续 (a , b) 内可导，且 f (a)=f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少 内可导， 成立。 存在一点 ξ (a<ξ<b), 使得 f′(ξ )=0 成立。 证明 （1）若函数 f (x) 在 ） y C 闭区间 [a , b]上为常数， 上为常数， 上为常数 因而， 则 f′(x)=0 ，因而， (a , b) 内 任何一点都可取作 ξ。 （2）若函数 f (x) 在 [a , b] 上 ） 不是常数, 不是常数 必存在最大值 M 和 o a ξ ξ1 b x 最小值 m，且 M 与 m 至少有一个不等于 f (a) 。 ，
f ′(ξ ) f ( x) − f ( x0 ) f ( x) = = g ′(ξ ) g ( x) − g ( x0 ) g f (ξ ) f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ∆x → 0 , ≥ 0 lim− ≥0 ∆x →0 ∆x ∆x 二者又相等， 成立。 二者又相等，所以 f′(ξ )=0 成立。
−
罗尔中值定理的几何意义： 罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y =f (x) 除 端点外， 轴的切线（即可导）， ），且 端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且 在两个端点处的纵坐标相等（ ），则在该 在两个端点处的纵坐标相等（即 f (a)=f (b)），则在该 ）， 段曲线上至少有一点 (ξ, f (ξ )) 的切线与 x 轴平行。 轴平行。 不求导， 例2-26 已知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求导，判断方 的实根个数和范围。 程 f′ (x)=0 的实根个数和范围。 的连续性和可导性是明显的， 解 f (x)的连续性和可导性是明显的，且 f (1) = f (2)= 的连续性和可导性是明显的 f (3) =0，故在区间 ，2]、[2，3]上均满足罗尔中值定 ，故在区间[1， 、 ， 上均满足罗尔中值定 理的条件，则在（ ， ）内至少存在一点ξ 理的条件，则在（1，2）内至少存在一点ξ1，使得 f′ (ξ 1)=0；在（2，3）内至少存在一点ξ2 ，使得 ； ， ）内至少存在一点ξ f′ (ξ 2)=0。而 f′ (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实 是一元二次方程， 。 分别在开区间（ ， ）、（ ）、（2， ） 根，分别在开区间（1，2）、（ ，3）内。
高数上3.1 微分中值定理
证:只须令 F(x) f (x) kx, x [a,b]应用例1的结论.
此结论的意义在于区间上的导函数不论是否 连续,一定有介值性质。
反之由f (x)的介值性是推不出f (x)的连续性。
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x)在闭区间 [a,b] 上连 续，在开区间 (a,b)内可导，且在区间端点的函数值
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
相等，即 f (a) f (b), 则在 (a,b) 内至少有一点 (a b), 使 f ( ) 0.
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
证 作辅助函数
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
显然 f (0) f ( / 2) 0, f ( x) 在 [0, / 2]上连
高等数学方法——中值定理ppt
罗分尔析定: 理在条结件论,中将故必 存换在为
x
,得(
,1) ,
使
F (
)
0
即有f (x) f (x)
2
f1(x)
积分
21f(l(n)1,fx()x2)(f(,x1))2lnC((10,1)x) ln
C
例3. 设函数
在 上连续, 在
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
例2. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
2! f (2) f (2)(n 2) n 故序列 { f (n)} 发散.
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
2. 证明有关中值问题的结论
例1 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证，存在 (0,1),使
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
二. 实例分析 1.对微分中值定理的理解
例1. 填空题 1) 函数
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
高数十大定理
高数十大定理
1. 极限存在定理：若函数在某一点的左、右极限存在且相等，则该点的极限存在。
2. 泰勒展开定理：任意可导函数在某一点附近可以用其在该点的导数值来逼近。
3. 中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且导数不为零，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数在a 和b处的导数等于函数在c处的导数。
4. 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的任意两项的差的绝对值小于ε。
5. 泰勒中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上n+1次可导，则对于[a, b]内的任意一点c，存在一个介于a和c之间的点ξ，使得函数在c处的值等于其在a处展开的n次泰勒多项式加上余项。
6. 一致收敛定理：如果函数列在某个区间上点点收敛于另一个函数，且收敛过程中的极限函数仍然在该区间上连续，则称该函数列在该区间上一致收敛于极限函数。
7. 傅里叶级数定理：任意周期函数都可以用一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。
8. 法拉第电磁感应定律：当磁场的变化导致一个闭合回路中的磁通量发生变化时，该回路中将会产生感应电动势。
9. 可积性定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上可积。
10. 柯西-施瓦茨不等式：对于复数域上的两个函数f(z)和g(z)，如果它们在闭区域D上连续，且在该区域上可导，则有|∫_(z∈D) (f(z)g'(z))dz| ≤ ∫_(z∈D) |f(z)g'(z)|dz。
高等数学 上、下册3_1 中值定理
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明： 当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值 定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直 线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车 从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗 尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具 有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使 得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
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0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
高等数学（XAUAT）
第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
高等数学（XAUAT）
o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
高等数学（XAUAT）
7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：
(1) 求所有最值可疑点的函数值,比较即知最值(点) (2) 区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点 (3) 若知函数有唯一最值可疑点, 而由实际问题本身知函数的最
第三章 中值定理与导数 的应用
高等数学（XJD）
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中值定理与导数的应用的结构
Cauchy 中值定理
F(x) x
Lagrange 中值定理
n0
Taylor 中值定理
洛必达法则
1 2 型
11
1 2 2 1 1 1 2
f (a) f (b) Rolle 定理
常用的 泰勒公式
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
单增
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6. 判定极值的充分条件
取极值必要条件 若 f ( x)在 x0可导有极值 , 则 x0为 f ( x)的驻点
极值可疑点： 驻点（即使 f ( x0 ) 0 的点）、不可微点
极值第一充分条件 设连续函数y f ( x)在x0的去心邻域可导，那么
(1)
如
果
在x
的
0
左
邻
域f
(
x)
0， 右 邻
域f
(
x)
0， 则f
(
x
)在x
取
0
极
小
值
(2) 如果在x0的左邻域f ( x) 0，右邻域f ( x) 0，则的
左
、
右
邻
域f
(
x
)不
变
号
，
则f
(
x
)在x
不
0
取
极
值
极值第二充分条件
设 函 数y
f
(
x
)在
驻
点x
的
0
邻
域
二
阶
可
导
，
那
么
(1) 如 果f ( x0 ) 0， 则f ( x)在x0取 极 小 值
大(小)值一定存在, 则该最值可疑点必是所求最大(小)值点
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8. 典型例题
例1 验证罗尔定理对 y ln sin x 在 [ , 5] 上
66
的正确性.
解
D : 2k x 2k , (k 0,1, )
且在
[
,
5 ]
上连续.
66
又
y cot x 在 ( , 5 ) 内处处存在
.
x0 5 1 5 x (1 x)
解 分子关于 x 的次数为 2.
1
5 1 5 x (1 5 x)5
1 1 (5x) 1 1 (1 1) (5x)2 o( x2 )
5
2! 5 5
柯西中值定理 设 f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间
(a,b)内可导且 g (x)0, 那末 (a,b) ,使 f (a) f (b) f ' ( ) （柯西中值公式） g(a) g(b) g' ( )
泰勒中值定理 设 f(x)在含 x0 的某开区间(a,b)内具有(n +1)阶
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3. 洛必达法则
（1） 0 或 不定型 0 lim f ( x) lim f ( x) l (或) x? g( x) x? g( x)
（2） 0 , , 00 ,1 , 0 不定型
0 0 11
11
1 2 2 1 1
0
1 2
1
e xp
ln1
1
00
e xp
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1. 中值定理
罗尔中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内
可导且 f(a)= f(b), 那末 (a,b) ,使 f ( )=0
拉氏中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内
可导, 那末 (a,b) ,使 f (a) f (b) f ( ) （拉氏中值公式）
导数, 则当 x (a,b) 时，在 x 与 x0 之间存在 ,使
n
f (x)
k0
f
(n)(x0 ) (x n!
x0 )n
f (n1) ( )
(n 1)!
(x
x0
)n1
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2. 常用麦克劳林公式
e x n x k o( x n )
k0 k!
n
sin x (1)k
x 2k1
5. 函数图形性质的讨论
先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1 ,x2 ,x3 ), 再按下表判断
x
f (x) f (x) f (x) 图形
(x0, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2, x3) x3 (x3, x4)
+
-
-
+
-
+
单增
极大 单减
f ( x1)
无 极值
单减
极小 f ( x3)
ln
0
1
0
0
e xp
ln
1
0
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4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点
极值定义 如果f ( x0 )是f ( x)在x0的某邻域内的唯一最大(小)值，那么
就称f ( x0 ) 是f ( x)的极大(小)值，称x0是f ( x)的一个极大(小)值点； 极大值(点)和极小值(点)统称为极值(点)．
66
并且
f
( )
6
f
(5
6
)
ln 2
函数 y ln sin x 在 [ , 5 ] 上满足罗尔定理的条件. 由 y cot x 0,
66
在 ( , 5 ) 内显然有解 x .
66
2
取 , 则 f ( ) 0.
2
这就验证了命题的正确性.
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例2
求极限 lim
x2