考研高数总复习中值定理(讲解)

几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
如何从理论上证明？
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
o a 1 x
2 b
x
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
CБайду номын сангаас
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
f'
( x0
)

lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)

lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点， 则 f '(x0 ) 0
使 f ( x) 0.
又例如,
y

1 0,
x, x
x
0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
函数的最值
最值：包含最大值和最小值 最值是对于函数f (x)在整个定义域内的函数值而言的。 最值是函数的整体性质； 极值是函数的局部性质。
x0是函数f (x) (x D(x))的最值点：x D(x), f (x) f (x0) 而由于极值的局部性，可以产生：极小值不一定比极大值小。
费马定理
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
故 f '( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间[-2，2]内找不到一点能
由于f '(x)存在
0
f
'
( x0
)

f
'(x)
f
'
( x0
)

0
即f '(x) 0
通常称f '(x0 ) 0的点x0为f (x)的驻点。
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
是不是所有的驻点都是极值点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
某一领域U (x0, ) I，使得x U (x0, ), 恒有
f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )) 则称f (x0 )为函数f (x)的一个极大值（或极小值） 点x0称为f (x)的极大（极小）值点。
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
第3章：中值定理与导数的应用
驱动微分学产生的三个问题：
1. 求运动物体的瞬时速度； 2. 求曲线某点处切线的斜率； 3. 求最大值和最小值。
本章要介绍的内容：
1. 微分中值定理 2. 求极限的一个新方法 3. 泰勒公式 4. 函数的性态与作图
3.1 中值定理
函数的极值
定义. 设函数f (x)定义在区间I上，点x0 I，若存在点x0的
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，则 f '(x0 ) 0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，
则 f '(x0 ) 0
证明. 不妨假设x0是f (x)的极大值点，
即, 0,x U (x0, ), f (x) f (x0 ) 故，当x U (x0, ),且x x0时