考研高数总复习中值定理(讲解)
考研高数定理：柯西中值定理
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数定理：柯西中值定理考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。
这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。
柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用——洛必达法则，在求极限时会经常用到。
泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
证明题中辅助函数的构造方法：一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
四、结论中含两个或两个以上的中值。
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考研：中值定理
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
高数第三章第一节中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相除即得结论. 错!
高数第三章__中值定理
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数. 推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g( x ), 那末 在区间 I 上 f ( x ) g( x ) C
——导数应用的理论基础
本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定 理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理 就可以给出Taylor中值定理及L， Hospital法则， 这就是本章理论部分的主要内容。
理论部分结构图
特例
推广
Rolle定理
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 f ( x ) 0. 一切条件, 但在内找不到一点能使
又例如, f ( x ) 1 x , x (0,1], f (0) 0; 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 但在内找不到一点能使 f ( x ) 0.
再例如 f ( x ) x , x [0,1]. 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使 f ( x ) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
高数中值定理
⾼数中值定理第三章中值定理与导数的应⽤中值定理与导数的应⽤的结构洛必达法则Rolle 定理Lagrange 中值定理常⽤的泰勒公式型0,1,0∞∞型21∞-∞型∞?0型00型∞∞Cauchy 中值定理Taylor 中值定理xx F =)()()(b f a f =0=n gfg f 1=211221111∞∞∞-∞=∞-∞取对数令gf y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根⽅法.导数的应⽤第三章中值定理与导数的应⽤1. 中值定理2. 常⽤麦克劳林公式3. 洛必达法则4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点7. 最值问题8. 典型例题1. 中值定理泰勒中值定理设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在ξ ,使（柯西中值公式）)()()()()()(''ξξg f b g a g b f a f =--（拉⽒中值公式）)()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使罗尔中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=010)1(000)()()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n nk n n x x n f x x n x f x f ξ拉⽒中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导, 那末),(b a ∈?ξ,使)()!12()1(sin 22012+=+++-=∑n nk k kx o k x x )()!2()1(cos 1202+=+-=∑n nk k k x o k x x )()1()1ln(11nnk k k x o k x x +-=+∑=-!)1()1(k n k +--=ααααΛ)()1(0nn=+∑=αα)(110n nk k x o x x +=-∑=)(!nnk kxx o k x e +=∑=2. 常⽤麦克劳林公式不定型或）（∞∞001不定型）（00,1,0,,02∞∞-∞∞?∞3. 洛必达法则)()()(lim )()(lim ??∞=''=→→或l x g x f x g x f x x 0 1100∞=∞=∞∞=∞01ln exp∞=∞11ln exp 1?=010ln exp 00211221111∞∞∞-∞=∞-∞上单调减少在，则函数内如果在上单调增加在设函数],[)(0)(),()2(],[)(0)(),()1(),(],[)(b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y =<'=>'=单调性定理 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点．点统称为极值点和极⼩值点极⼤值值点；⼩的⼀个极⼤是值，称⼩的极⼤是就称值，那么⼩的某邻域内的唯⼀最⼤在是如果)()()()()()()()()()()(0000x f x x f x f x x f x f 极值定义5. 函数图形性质的讨论x(x0, x1)x1(x1, x2)x2(x2, x3)x3(x3, x4) f '(x)+--+f "(x)-+f (x)图形单增极⼤f ( x1)单减⽆极值单减极⼩f ( x3)单增先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1,x2,x3 ), 再按下表判断若)(x f 在0x 可导有极值 , 则0x 为)(x f 的驻点极值可疑点：不取极值在不变号，则的左、右邻域如果在取极⼤值在，则，右邻域的左邻域如果在取极⼩值在，则，右邻域的左邻域如果在的去⼼邻域可导，那么在设连续函数0000000)()()3()(0)(0)()2()(0)(0)()1()(x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x x f y '<'>'>'<'=极值第⼀充分条件取极值必要条件驻点（即使0)(0='x f 的点）、不可微点取极⼤值在，则如果取极⼩值在，则如果的邻域⼆阶可导，那么在驻点设函数00000)(0)()2()(0)()1()(x x f x f x x f x f x x f y <''>''=极值第⼆充分条件6. 判定极值的充分条件7. 最值问题求最值的步骤：1. 建⽴⽬标函数2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点3. 确定最值点：(3) 若知函数有唯⼀最值可疑点, ⽽由实际问题本⾝知函数的最⼤(⼩)值⼀定存在, 则该最值可疑点必是所求最⼤(⼩)值点例1.]65,6[sin ln 的正确性上在验证罗尔定理对ππ=x y 解8. 典型例题5lnsin [,].66y x ππ∴=函数在上满⾜罗尔定理的条件:22,(0,1,)D k x k k πππ<<+=±Q L 5[,].66ππ且在上连续5cot (,)66y x ππ'=⼜在内处处存在5()()66f f ππ=并且ln2=-cot 0,y x '==由5(,)66ππ在内显然有解.2x π=,2πξ=取()0.f ξ'=则这就验证了命题的正确性..)1(51lim 520x x xx +-+→求极限解.2的次数为分⼦关于x Θ5)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +?-?++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim 2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=例2.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(b a f bf a ba f f x f +='+'==ηξηξ使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与b a Θ10<+<∴ba a,]1,0[)(上连续在⼜x f 由介值定理,,)(ba a f +=τ使得),1,0(∈τ存在有上分别⽤拉⽒中值定理在,]1,[],,0[)(ττx f 例3),0(),()0()(τξξττ∈'=-f f f )1,(),()1()()1(τηηττ∈'-=-f f f ,1)1(,0)0(==f f 两式分别乘有)(1)(1ηξf f ''和并注意到1))(())((=+'++'b a f bb a f a ηξ.)()(b a f b f a +='+'∴ηξ).,0,0(,2ln )(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+证明不等式证),0(ln )(>=t t t t f 令,1ln )(+='t t f 则,)(>=''tt f .0,0),,(),(ln )(是凹的或在>>=∴y x x y y x t t t f )2()]()([21yx f y f x f +>+于是,2ln 2]ln ln [21y x y x y y x x ++>+即.2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+即例4])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(∈≤'≤''=x x f x f f f x f 证明且上⼆阶可微在若函数证],1,0[0∈x 设有展成⼀阶泰勒公式处把在,)(0x f x 20000))((21))(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ则有令,1,0==x x 21000)(21)()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=202000)1)((21)1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ例52022010)1)((21)(21)(x f x f x f -''-''='ξξ)1()0(f f =两式相减，并注意到则有,1)(≤''x f 及2020)1(2121x x -+≤21412141)21(220=+≤+-=x 的任意性知命题真再由0x.,,)1,2(sin 2程两曲线的公共曲率圆⽅点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线⼀抛物线求作处上点过正弦曲线M M c bx ax y M x y ++=π曲率圆的圆⼼坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()(y x x f y =,])(1[232y y k '+''=,1k=ρ'''++='''+'-=y y y y y y y x x 2020)(1])(1[例6,1)2(=πf 有=π')2(f ,0=π'')2(f .1-,2c bx ax y ++=对于曲线,)sin(x y =对曲线=π)2(f 有,242c b a +π+π=π')2(f ,b a +π=π'')2(f .2a 若两曲线满⾜题设条件,必在该点处具有相同的⼀阶导数和⼆阶导数,于是有,1242=+π+πc b a ,0=+πb a .12-=a 解此⽅程组得,21-=a ,2π=b .812π-=c 故所求作抛物线的⽅程为.8122122π-+π+-=x x y 两曲线在点处的曲率圆的圆⼼为),0,2(π1)2(22=+π-y x.,,,,,12并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数-+=x xx y 解:)1(定义域,1±≠x ),,1()1,1()1,(+∞---∞Y Y 即1)(2--+-=-x xx x f Θ),(x f -=为奇函数y ')2(222)1(11-+-=x x ,)1()3(2222--=x x x ,0='y 令.3,0,3-=x 得例7y ''222)1()3(2-+=x x x ,)1(1)1(133++-=x x ,0=''y 令.0=x 得,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x )(x f ;1的铅直渐近线为曲线y x =∴,lim 01-∞=--→y x ,lim 01+∞=+-→y x ;1为铅直渐近线-=∴x x y a x ∞→=lim Θ)1(1lim 2-+=∞→x xx x x ,1=)(lim ax y b x -=∞→)(lim x y x -=∞→1lim 2-=∞→x xx ,0=.的斜渐近线为曲线直线y x y =∴,)3,0,3(),1()4(分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点==-=±=x x x x ,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x ;1为铅直渐近线=∴x。
[考研数学]中值定理
![[考研数学]中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/faea6c2466ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb96.png)
[考研数学]中值定理⽤书：张宇考研数学基础30讲下多为摘录。
条件/表述部分不完全准确（实际上条件归于表述，但为了观察相似的条件所以单独列出了。
）定理的推导（常考证明）和条件细节⾮！常！重！要！可补充内容：证明、⼏何意义、对⽐=总结/不保证对的个⼈理解。
=我先挖个坑在这⾥。
不要让⼏何直观，蒙蔽了我们的双眼。
—柯西有界与最值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：m⩽f(x)⩽M。
其中，m,M为f(x)在[a,b]上的最⼩值和最⼤值。
证明：介值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当m⩽µ⩽M时，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=µ。
证明：(离散)平均值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当a<x1<x2<⋯<x n<b时，在[x1,x n]内⾄少存在⼀个点ξ，使得f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n。
证明：借助介值定理证明。
m⩽f(x i)⩽M,(i=1,2,…,n)nm⩽Σf(x i)⩽nMm⩽f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n⩽M令µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n，存在ξ∈[x1,x n]，使得f(ξ)=µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n=1n∑ni=1f(x i)平均值定理的ξ常见闭区间。
(函数)零点定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当f(a)⋅f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
证明：借助介值定理和最值定理推导。
f(a)⋅f(b)<0说明f(a)与f(b)异号故m<0且M>0则m<0<M，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
前四条有共⽤条件：f(x)在[a,b]上连续。
连续即不间断。
所以端点不是间断点。
出现函数值为零的条件，可以考虑⽤介值定理与零点存在定理做。
延伸：推⼴的零点定理若f(x)在(a,b)上连续，lim，\alpha \cdot \beta< 0 时，则f(x)在(a,b)内⾄少有⼀个根。
高等数学 中值定理及其应用
3. 积分中值定理及其应用
一、微分中值定理
定理1 (Fermat引理) 若函数f (x)在点x0处可导且
取得极值, 则 f (x0 ) 0.
定理2 (Rolle定理) 若函数 f (x) 满足: (1) 在闭区间[a,b] 上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; y
(3) f (a) f (b),
(2) 反证 假设x (0,1), 都有f (x) 2. 任取 t (0, ), 对 f (x)用拉格朗日中值定理知, c (t,), 使得
f (t) f (t) f ( ) f (c)(t ) 2(t ),
于是
f ( )
f (t)dt 2 (t )dt
0
0
2 1.
此与 f ( ) 1矛盾, 因此结论成立.
g(x) f ( ) f (x), x [0,1].
则g(x)在[0,1]上非负连续, 且g(0) f ( ) 0. 所以
1
1
0 0 g(x)dx f ( ) 0 f (x)dx,
于是 f ( ) 1, 故 (0,1). 由费马引理知f ( ) 0.
(2) (0,1), 使得f () 2.
sin x x x3 o( x3 ), 3!
lim x0
e
x
sin
x
x(1 x3
x)
x x2 x3 x3 o( x3 ) x(1 x)
lim
x0
lim
x0
x3 3
2!
o( x3 ) x3
3! x3
1. 3
2. 在等式或不等式证明中的应用 例1. 证明等式 arcsin x arccos x .
从而 x ln(1 x) x. 1 x
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是数学中的一个重要定理，它是求函数在某一区间内的最大值或最小值的一种方法。
中值定理：设f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a,b)内存在，则存在c∈(a, b)，使得f’(c)=0。
中值定理的应用：1.求函数在某一区间内的极值：由中值定理可知，如果函数f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a, b)内存在，则存在c∈(a,b)使得f’(c)=0。
因此，我们可以通过求解f’(x)=0的方程来求出函数在[a, b]内的极值。
2.求函数的泰勒公式：利用中值定理可以得出泰勒公式，即对于函数f(x)在x0处的泰勒展开式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2)。
导数是数学中的一个概念，它表示函数在某一点处的斜率。
导数的应用：1.求函数的单调性：如果函数f(x)在点x处的导数大于0，则函数在点x处单调递增；如果函数f(x)在点x处的导数小于0，则函数在点x处单调递减。
2.求函数的极值：如果函数f(x)在点x处的导数等于0，则函数可能在点x处取得极值。
通过对函数的二阶导数进行分析，可以判断函数在点x处的极值是最大值还是最小值。
1.求函数在某一点的切线：切线是函数在某一点的切线的图像。
切线的斜率等于函数在这个点的导数。
因此，我们可以通过求解函数在某一点的导数来求出函数在这个点的切线。
2.求函数在某一区间内的最小值和最大值：当函数在某一区间内单调递增或单调递减时，可以通过求解函数在区间端点处的导数来求出函数在该区间内的最小值和最大值。
以上是中值定理和导数的应用笔记。
通过对中值定理和导数的学习，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并运用到数学和其他领域中。
需要注意的是，中值定理和导数的应用是有一定条件的，在使用这些工具时要注意满足这些条件。
此外，中值定理和导数是高等数学中的基础概念，在深入学习数学和其他科学领域之前，要先扎实地掌握这些概念。
高数01第三章第一节微分中值定理
y
C
y f ( x)
B
A
D
o a
1
2 b
推论1:若函数 在区间 I 上满足 在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
x 则
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
练习: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
不妨设 0 x1 x2 证：
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 x1 f ( )( 2 1 ) 0 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) (1 2 )
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f ( x)
o
a
b x
使 f ( ) 0.
在( a , b ) 内至少存在一点 例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
x
f ( )sin f ( )cos =0
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
中值定理万能公式
中值定理万能公式中值定理可是数学中的一个重要概念，要说万能公式，那可有点夸张啦，但它确实有着很强大的作用！咱们先来说说中值定理到底是啥。
中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这几个定理就像是数学世界里的神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
就拿拉格朗日中值定理来说吧，它说的是如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得f(b) - f(a) = f'(ξ)×(b - a) 。
这看起来有点复杂，其实就是说在一段连续可导的函数曲线上，肯定有一个点的切线斜率等于这段曲线两端点连线的斜率。
我记得有一次给学生讲这个定理的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们来做一道题你就知道啦。
”题目是这样的：已知函数 f(x) = x² - 2x 在区间[0, 3]上，求满足拉格朗日中值定理的ξ 的值。
咱们先求出函数的导数f'(x) = 2x - 2 ，然后根据拉格朗日中值定理，f(3) - f(0) = f'(ξ)×(3 - 0) 。
f(3) = 3² - 2×3 = 3 ，f(0) = 0 ，所以 f(3) - f(0) = 3 。
然后3 = (2ξ - 2)×3 ，解得ξ = 3 / 2 。
这时候那学生眼睛一下子亮了，说：“哎呀，原来这么神奇啊！”中值定理在解决函数的单调性、极值问题、不等式证明等方面都有着重要的应用。
比如说，在判断函数单调性的时候，如果导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减。
而中值定理就可以帮助我们找到导数为零的点，从而确定函数的单调性。
再比如说在证明不等式的时候，我们可以巧妙地构造函数，然后运用中值定理来得出结论。
不过，中值定理也不是那么好掌握的，需要我们多做练习，多思考，才能真正理解它的精髓。
考研数学-高数7大中值定理详解
考研数学:高数7 大中值定理详解考研数学:高数7 大中值定理详解，更多考研报名入口、考研数学大纲、考研数学指导、考研数学备考经验等信息，请及时关注关注经济类联考数学全程规划班掌握经济类联考数学的复习方法，制定全复习规划1李擂《考研经综数学导学讲义》无逻辑真题解析了解逻辑真题的主要考查内容，试题结构，预测逻辑真题的命题趋向2王晓东《经济类联考综合真题及其答案》高等数学基础班全面学习高等数学的基本知识点，理解基本概念，掌握基本运算方法，为强化提高打下基础。
16李擂《考研经综数学基础讲义》《经济类联考综合阅卷人核心教程》高等数学强化课程，依据考试大纲及历真题介绍分别高等数学、线性代数、概率论主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想，结合强化课，帮助考生进一步强化解题思路。
24李擂《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》逻辑强化熟悉逻辑各题型的特点和表现形式，能熟练地运用各知识点和相关的逻辑方法解题16饶思中《考研管综逻辑强化讲义》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·逻辑》写作强化通过课程学习巩固考研写作的要点重点难点，并掌握写作的大体思路12王诚《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》冲刺串讲各科冲刺串讲，系统串讲各科知识体系，指导考生针对核心考点进行深度学习。
8李擂《考研经综数学冲刺讲义》《经济类联考综合阅卷人核心预测4 套卷》逻辑冲刺提高运用各种知识点和逻辑方法解答各种类型的逻辑题的综合能力；消灭逻辑理解中的盲点和误区；提高解题的速度和正确率4饶思中《考研经综逻辑冲刺讲义》《经济类联考综合阅卷人考前8 天写作大预测》写作冲刺掌握写作大小作文的模版，能利用模版衍生解决应试模版的能力，规范写作8王诚《考研经综写作冲刺讲义》写作模考通过应试技巧的学习，提供写作的速度，发现考试中的问题，及时解决，提高考试分值4王诚《考研管综写作4 套卷》逻辑真题解析了解逻辑真题的主要考查内容，试题结构，预测逻辑真题的命题趋向2王晓东《考研管综真题》数学基础通过学习管理类联考数学的基本概念、基本理论、基本方法，为强化提高打基础20刘京环《考研管综初数基础讲义-刘京环》《管理类联考数学阅卷人核心教程》数学强化依据考试大纲及历真题介绍管理数学数学主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想。
考研数学高数中值定理的详解
考研数学高数中值定理的详解考研数学高数中值定理的详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
考研数学高数真题分类—中值定理
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第三章中值定理综述：中值定理的证明向来是考研数学的难点.在考研数学一的考试中，这一部分的出题的频次比较稳固，一般两年出一道大题.从考试的状况来看，考生在这一部分广泛得分率不高.其主要原由是练习不够，不熟习常有的思想方法，以及对质明题惯有的害怕心理.其实这一部分的题目也是有必定套路的，只需掌握一些常有的证明思路，在大部分状况下就都可以轻松应付了.本章需要用到的主要知识点有：闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理，介质定理），费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和积分中值定理.依据题目的形式，我们将这一部分的题目分为了 3种种类：中值定理的简单应用（直接能作出协助函数的），复杂的中值定理证明（需要平等式变形才能作出协助函数的），证明存在两点, a,b使得它们知足某种等式.常考题型一：对中值定理内容的考察1.【02—34分】设函数 f x在闭区间a,b上有定义，在开区间a,b上可导，则（）A当f a fb 0时，存在a,b，使得f0B对任何a,b，有lim fx f0xC对f a fb时，存在a,b，使f'0D存在(a,b)，使f(b)f(a)f()(b a).2.【04-34分】设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则以下结论中错大全标准文案误的是()起码存在一点x 0(a,b)起码存在一点x 0(a,b)起码存在一点x 0(a,b)(A) 起码存在一点x 0(a,b)，使得f(x 0)>f(a). ，使得f(x 0)>f(b). ，使得f(x 0) 0.，使得f(x 0)=0.3．【96-25 分】求函数 f(x) 1 x在x0点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒睁开1x式.4.【03-24 分】y 2x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 .常考题型二：闭区间上连续函数性质5.【02-36 分】设函数 f(x),g(x)在[a,b]上连续，且 g(x) 0.利用闭区间上连续bb函数性质，证明存在一点[a,b]，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx .a a 常考题型三：罗尔定理的使用6.【08-24分】设f(x)x 2(x1)(x2)，求f(x)的零点个数()A 0B 1C 2D 3【07—12311分】设函数f(x),g(x)在a,b 上连续，在(a,b)内拥有二阶导数且存在相等的最大值， f(a) g(a),f(b) g(b)，证明：存在(a,b)，使得f() g().8.【00—123 6分】设函数fx 在[0,]上连续，且 fxdx0，f x cosxdx 0 .试证：在0,内起码存在两个不一样的点1、2，使得f1f 20.9.【96—28分】设fx 在区间 a,b 上拥有二阶导数，且 fa fb 0,fafb 0试证明：存在a,b 和a,b ，使f0，及f0 .大全标准文案10.【03—38分】设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0) f(1)f(2)3,f(3)1.试证：必存在(0,3)，使f() 0.11.【10—3 10分】设函数f(x)在0,3上连续,在0,3内存在二阶导数,且2f(0)2 f(2)f(3),f(x)dx(I) 证明存在 (0,2),使f( ) f(0);;(II)证明存在(0,3),使f( )0．12.【93—3 6分】假定函数f(x)在[0,1] 上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,f(0)),B(1,f(1))的直线与曲线 y f(x)订交于点C(c,f(c))，此中0c1，证明：在(0,1)内起码存在一点，使f()【小结】：1. 对命题为f (n)()0的证明，一般利用以下三种方法：（1）考证为f (n1)(x)的最值或极值点，利用极值存在的必需条件或费尔马定理可得 证；（2）考证f (n1)(x)在包括x于其内的区间上知足罗尔定理条件.（3）假如f(x)在某区间上存在 n 个不一样的零点，则f (n)(x)在该区间内起码存在一个零点.2．证明零点独一性的思路：利用单一性；反证法.4.证明函数在某区间上起码有两个零点的思路有：证明该函数的原函数在该区间上有三个零点；先证明起码有一个零点， 再用反证法证明零点不是独一的. （这些结论在证明题中不可以直策应用，应用它们的时候需要写出证明过程，但记着它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.） 费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的，它们不只是直接的考点。
高数第三章微分中值定理
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理
22
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g( x ),
那末 在区间 I 上
如果函数 f (x) 满足
(2) 在开区间 (a, b)内可导;
则在 (a, b)内至少存在一点 ( a < < b), 使得
f (b) f (a ) f ' ( ). ba
19
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
使
f (1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
( x ) e x 2ax b 连续、可导 f 对 f ( x ) 在[1 , 2 ],[ 2 , 3 ] 用罗尔定理得
17
1 1 2 2 3 f (1 ) f (2 ) 0 ( x ) e x 2a 连续、可导 f 使
重点
微分中值定理 Taylor公式
L， Hospital法则
求函数的极值和最值
5
难点
中值定理 L， Hospital法则的运用
利用中值定理证明不等式
基本要求
①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之 间的关系
②熟练运用L—法则求未定式的极限
③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记 x e , sin x , cos x , ln(1 x ), (1 x ) 的Taylor公式
考研数学知识点复习微分中值定理
考研数学知识点复习：微分中值定理考研当中对于这一部分的题目十之六七是用罗尔定理来证明的。
关于罗尔定理，首先我们一定要掌握罗尔定理的内容以及使用罗尔定理的条件。
其实，罗尔这位数学家主要是研究方程根的问题的，后人为了纪念这位数学家，就以他的名字来命名了这个他们总结出的定理。
考研题型中，关于微分中值定理这块，大都以综合题的形式，往往是一个题目有两小问的。
在研究生入学考试中，如果一个问题包含有两个小问题，往往第一个问题是第二个问题的提示，且两个问题是单独给分的。
如果不会证明第一问，可以直接利用第一问的结论来证明第二问。
对于中值属于开区间()，要证明函数在此处的导数等于0(或者)，这时我们往往要想到用罗尔来试着证明，找满足条件的相等的函数值。
对于，我们找两点函数值相等()，对于)，往往要找三个点的函数值相等()。
对于朗格朗日中值定理和柯西中值定理在研究生入学考试中的应用也是我们也是必须掌握的。
当题目中出现两个中值()时，要求我们证明存在不同的两个点属于一个开区间，使得这两个点出的一阶导的乘积是个常数。
例如，05年考研数学一、二中出现过这样一题：已知函数在上连续，在内可导，且证明：(1)存在，使得；存在不同的两个点，使得。
此题主要考察了拉格朗日中值定理和闭区间上连续函数的性质。
题目中第一问主要用的是零点定理。
对于这类综合题，有两个小问，其第二问往往会用到第一问的结论。
这里我们主要谈第二问的证明方法。
其有两个不同的中值，要证明的是两个中值处的导数的乘积等于一个常数，这时我们不能再用罗尔定理了。
由于要求两个不同的中值，所以对于这类题，我们首先要保证两个不同中值，即划分区间，然后分别用拉格朗日定理，或者有些题目是用一次拉格朗日和一次柯西中值定理。
对本题而言其是用两次朗格朗日中值定理来做的。
因此，对于出现两个中值的问题，我们往往考虑两种情况：1，用两次朗格朗日中值定理，2，用一次拉格朗日中值定理一次柯西中值定理。
对于泰勒公式或者叫做泰勒定理的证明题，其往往是已知函数的范围和二阶导的范围，让我们来求一阶导的范围等等。
高等数学微积分第4章第1节中值定理
f()limf(x)f()
x0
x
故 f()0.
limf(x)f() 0
x0
x
f(x)f()
lim
0
x0
x
y
几
A
何
•
意
义
o a 1
B
•
2
b
x
注 三个条件缺一不可.
y
y
。
oa
bx
(1)
y
•
oa
bx
(2)
y
o a (3)
bx
o a (4) b x
题型一 验证罗尔定理成立
例1 验证函数 f(x)x22x3在区间[1,3] 上满足罗尔定理全部条件,并求 .
因此至少存在一点 (x1,x2), 使得 (sx i)n xco ssix xn 2 2 sx1ixn 1
故 si x 2n si x 1n co x 2 s x 1 x2 x1
例6 试证 x0时 ,ex1x. 证 不妨设 x0 f (x)ex 在[0, x]上满足拉格朗日定理
所以至少存在一个 (0,x)
因此至少存在一点(a,b)
使得()0即 f()e f() (e )0
故 f()f()0.
定理4.2 (拉格朗日中值定理)
设函数 f (x) 满足下面条件: ①在闭区间 [a , b]上连续; ②在开区间(a,b) 内可导, 则至少存在一点(a,b),使得 f()f(b)f(a).
ba
证 设 ( x ) ( b a ) f ( x ) [ f ( b ) f ( a )x ]
使得
f()e
ex
e0
x0
即 ex1xe x
故 ex 1x
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o a 1 x
2 b
x
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
函数的最值
最值：包含最大值和最小值 最值是对于函数f (x)在整个定义域内的函数值而言的。 最值是函数的整体性质； 极值是函数的局部性质。
x0是函数f (x) (x D(x))的最值点：x D(x), f (x) f (x0) 而由于极值的局部性，可以产生：极小值不一定比极大值小。
费马定理
由于f '(x)存在
0
f
'
( x0
)
f
'(x)
f
'
( x0
)
0
即f '(x) 0
通常称f '(x0 ) 0的点x0为f (x)的驻点。
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
是不是所有的驻点都是极值点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
故 f '( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间[-2，2]内找不到一点能
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x
0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
第3章：中值定理与导数的应用
驱动微分学产生的三个问题：
1. 求运动物体的瞬时速度； 2. 求曲线某点处切线的斜率； 3. 求最大值和最小值。
本章要介绍的内容：
1. 微分中值定理 2. 求极限的一个新方法 3. 泰勒公式 4. 函数的性态与作图
3.1 中值定理
函数的极值
定义. 设函数f (x)定义在区间I上，点x0 I，若存在点x0的
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
某一领域U (x0, ) I，使得x U (x0, ), 恒有
f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )) 则称f (x0 )为函数f (x)的一个极大值（或极小值） 点x0称为f (x)的极大（极小）值点。
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是ຫໍສະໝຸດ 水平的.o a 1
y f (x)
2 b x
如何从理论上证明？
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，则 f '(x0 ) 0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，
则 f '(x0 ) 0
证明. 不妨假设x0是f (x)的极大值点，
即, 0,x U (x0, ), f (x) f (x0 ) 故，当x U (x0, ),且x x0时
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
f'
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)
lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点， 则 f '(x0 ) 0