考研高数总复习中值定理(讲义)
考研高数定理：柯西中值定理
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数定理：柯西中值定理考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。
这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。
柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用——洛必达法则，在求极限时会经常用到。
泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
证明题中辅助函数的构造方法：一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
四、结论中含两个或两个以上的中值。
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高数复习 微分中值定理与导数的应用复习
第三章： 微分中值定理及导数的应用1．主要内容：（1）罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 （2）洛必达（L’Hospital ）法则（3）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值，函数最大值和最小值的求法及简单应用．（4）用导数判断函数图形的凹凸性，函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线 注意：函数作图不做要，求斜渐近线不做要求（但铅直与水平渐近线做要求）。
2．重点：中值命题的证明，未定式的极限，单调性、凹凸性的判定，极值最值的求法，简单经济问题3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）证明中值命题的方法：证明中值命题时，通常要构造出一个辅助函数，然后，对该辅助函数用中值定理．辅助函数一般有如下三种构造方法：①．找原函数法：先将欲证等式中的中间值ξ换成x ，把欲证结果转化为某个方程根的存在性；然后将此方程关于x 积分，得原函数，为简便记，取积分常数为零；最后将积分结果移项，使一端为0，另一端即为欲作辅助函数．②．指数因子法：此法适用于可化为形如()()()0f x g x f x ''+=的中值命题，取积分因子()g x e，便得原函数()()()g x F x ef x =，这就是所要作的辅助函数．值得注意的是：()f x 和()g x 的选择重要，具有较大的灵活性，总之，应使()()()g x F x e f x =满足Rolle 定理．例1设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)上可导且12(1)2()f xf x dx =⎰．证明：(0,1)ξ∃∈，使得()()0f f ξξξ'+=【证】由积分中值定理得，存在1(,1)2η∈，使得101(1)2()2()()2f xf x dx f f ηηηη==⋅=⎰ 作辅助函数()()F x xf x =，则有，()()(1)(1)F f f F ηηη===，对在区间[,1]η上用Rolle中值定理即可。
考研数学：高数讲义重点题型解答(二)
由 2m ≤ f ′′′(ξ1 ) + f ′′′(ξ2 ) ≤ 2M 得 m ≤ 3 ≤ M ，由介值定理，存在ξ ∈[ξ1,ξ2 ] ⊂ (−1,1) ，
使得 f ′′(ξ ) = 3 。
【例题 3】设 a1 < a2 < " < an 为 n 个不同的实数，函数 f (x) 在[a1, an ] 上有 n 阶导数，并
【例题 3】设 f (x) ∈ C[0,1] ，在 (0,1) 内可导，且 f (0) = 0, f (1) = 1 ，证明：对任意的正数 a, b ，
存在ξ ,η ∈ (0,1) ，使得
a+ f ′(ξ )
b f ′(η)
=
a+b。
【解答】因为 f (0) < a < f (1) ，所以存在 c ∈ (0,1) ，使得 f (c) = a 。
【 例 题 2 】 设 f (x) 二 阶 连 续 可 导 ， 且 f ′′(x) ≠ 0 ， 又 f (x + h) = f (x) + f ′(x + θh)h
（ 0 < θ < 1 ）。
证明： limθ = 1 。
h→0
2
【解答】由泰勒公式得
f (x + h) =
f (x) +
f ′(x)h +
两边取极限再由二阶连续可导得
lim
h→0
θ
=
1 2
。
题型二：证明 f (n) (ξ ) = 0
常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法； （3）泰勒公式
【例题 1】设 f (x) ∈ C[0,3] ，在 (0,3) 内可导，且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，证明：
(整理)考研数学微分中值讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
考研数学中值定理专题讲义
本期内容是微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理， 泰勒中值定理）证明题。是重点也是难点。
特点：考频很高（尤其是数二），出大题的可能性很大，综合性很强（可以和 极限，介值定理，不等式，单调性，极限的保号性，积分中值定理，变上限积分 函数等知识点相结合）。学生须具备较强的分析能力，甚至是构造性思维，区分 度很高。
和函数的奇偶性结合起来考查。 (4)找到两个端点使得 F (a) F (b) ：
可以找到 F (a) F (a) (5)应用罗尔中值定理证明结论：
存在 (a, a)使得F( ) [ f ( ) 2 f ( )]e2 0
6
完整的证明过程：
令 F (x) ex2 f (x) 易知 F (x) 在[a, a] 上连续，在 (a, a) 内可导 F (a) F (a)
整理得：
(0,1)使得F( )
f (x)dx f ( ) 0
0
0 f (x)dx f ( )
二、拉格朗日中值定理
1、定理内容
如果函数 f (x) 满足
(1) 在闭区间[a,b] 上连续
(2) 在开区间 (a,b) 内可导
那么在 (a,b) 内至少有一点 (a,b) ，使等式
成立
f (b) f (a) f ( )(b a)或者 f (b) f (a) f ( ) ba
因为 f (c) f (3) 1, f (x)在[c,3]上连续，在 (c,3) 内可导，所以由罗尔定理： (c,3) (0,3),使得f ( ) 0
4
题目 3：（辅助函数是 F(x) xn f (x) ） 设函数 f (x) 在[0, a] 上连续，在 (0, a) 内可导， f (a) 0 ，试证 (0, a) ，
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
考研数学微分中值讲义(卓越资料
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
高数考研中值定理的应用
同理有x (b 2 , b), 使
f ( x) f (b) x b
0, 即f ( x) f (b),
f (a), f (b)都不是f ( x)在[a, b]上的最大值，
f ( x)在[a, b]上连续， f ( x)在[a, b]上必有最大值和最小值，
则f ( x)的最大值必在(a, b)内取得，
1, f (3) 1 在(c, 3) 内可导 ,
例5. 设函数 f (x) 具有二阶导数,且 lim f ( x) 0, f (1) 0, 试证必存在 (0,1) , 使 f ( ) 0. 证: lim
x 0
x 0
x
f ( x) x
0, f (0) 0, f (0) 0,
则1 (a, b)使f (1 ) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
对f ( x)在[1 , 2 ]上用罗尔定理即得结论.
例3. 设 f ( x)在[ a, b]上可导， f (a) f (b) 0, 且 求证： (a, b), 使f ( ) 0. 证明: 不妨设f (a) 0, f (b) 0,
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( ) .
4) 判别 f ( x ) C 的方法 若 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) C 5) 三个定理之间的内在联系 柯西中值定理
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( )
证明: 令 F ( x )
f (x) x ,
由已知条件知 F ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导， 且 F ( a ) 0 F (b ) 故由罗尔定理知, ( a , b ), 使 F ( ) 0 , 即
考研数学-高数7大中值定理详解
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16李擂《考研经综数学基础讲义》《经济类联考综合阅卷人核心教程》高等数学强化课程，依据考试大纲及历真题介绍分别高等数学、线性代数、概率论主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想，结合强化课，帮助考生进一步强化解题思路。
24李擂《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·数学》逻辑强化熟悉逻辑各题型的特点和表现形式，能熟练地运用各知识点和相关的逻辑方法解题16饶思中《考研管综逻辑强化讲义》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·逻辑》写作强化通过课程学习巩固考研写作的要点重点难点，并掌握写作的大体思路12王诚《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》《经济类联考综合阅卷人核心笔记·写作》冲刺串讲各科冲刺串讲，系统串讲各科知识体系，指导考生针对核心考点进行深度学习。
8李擂《考研经综数学冲刺讲义》《经济类联考综合阅卷人核心预测4 套卷》逻辑冲刺提高运用各种知识点和逻辑方法解答各种类型的逻辑题的综合能力；消灭逻辑理解中的盲点和误区；提高解题的速度和正确率4饶思中《考研经综逻辑冲刺讲义》《经济类联考综合阅卷人考前8 天写作大预测》写作冲刺掌握写作大小作文的模版，能利用模版衍生解决应试模版的能力，规范写作8王诚《考研经综写作冲刺讲义》写作模考通过应试技巧的学习，提供写作的速度，发现考试中的问题，及时解决，提高考试分值4王诚《考研管综写作4 套卷》逻辑真题解析了解逻辑真题的主要考查内容，试题结构，预测逻辑真题的命题趋向2王晓东《考研管综真题》数学基础通过学习管理类联考数学的基本概念、基本理论、基本方法，为强化提高打基础20刘京环《考研管综初数基础讲义-刘京环》《管理类联考数学阅卷人核心教程》数学强化依据考试大纲及历真题介绍管理数学数学主要知识点，归纳总结命题方向和常见的解题思想。
高等数学方法——中值定理ppt
罗分尔析定: 理在条结件论,中将故必 存换在为
x
,得(
,1) ,
使
F (
)
0
即有f (x) f (x)
2
f1(x)
积分
21f(l(n)1,fx()x2)(f(,x1))2lnC((10,1)x) ln
C
例3. 设函数
在 上连续, 在
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
例2. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
2! f (2) f (2)(n 2) n 故序列 { f (n)} 发散.
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
2. 证明有关中值问题的结论
例1 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证，存在 (0,1),使
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
二. 实例分析 1.对微分中值定理的理解
例1. 填空题 1) 函数
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
考研中值定理PPT课件
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例7 设f (x)在[a,b]上四阶可导，且f (a) f (b) f (b)
f (b) f (b) 0,证明:必 (a,b)使f (4)( ) 0.
分析2: 从f (a) f (b) f (b) f (b) f (b) 0
想到泰勒公式
f ( x) f (b) f (b)( x b) f (b) ( x b)2
可用原函数法找辅助函数 .
(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 .
(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
15
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二、洛比达法则及其应用
f (x )在[0,1]上满足罗尔定理的条件，
得： (0,1),使f () 0. 0
1
f (x )在[0,]上满足罗尔定理的条件，
所以: (0,) (0,1)使f ( ) 0.
12
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证毕
例14. 设f ( x)在[0 ,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f (1) 0 ,
f (1)
f (x)
f (x)(1
x)
1 2
f ()(1
x)2
(0 1)
f (0)
f ( x)
f
( x)
x
1 2
f
( )
x2
(0 1)
两式相减得
0
f
(
x)
1 2
f
(
)(1
x)2
1 2
f ( )x2
f (x)
考研数学-中值定理
题型8 根的存在性与中值定理(*) 一、基础知识!n +!n +二、例题1. 根(零点)的存在性与个数问题(零点定理与中值定理的结合)例1.(05-34) 当a 取何值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.【B 】 (A)2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 例2．（03-2-12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【答案】0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.例3.(04-1-11分) 设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.练习1.在区间(,)-∞+∞内,方程11420x x cosx +-= 【C 】 (A)无实根. (B)有且仅有一个实根. (C)有且仅有两个实根. (D)有无穷多个实根. 2.(97-2)就k 的不同取值情况,确定方程sin 2x x k π-=在(0,)2π内根的个数,并证明你的结论. 【答案】0000sin 0,;sin ,;0,.22k x x k k x x k ππ<-≥=-<或无根唯一实根有两个不同实根3.(931)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且'()0,(0)0f x k f ≥><,证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.2. 罗尔中值定理例4.（07-1234-11分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==, 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 例5. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且(0)(1)0,f f ==1()12f =.试证: (1) 存在1(,1),2η∈使()f ηη=;(2) 对任意实数λ,必存在(0,)ξη∈,使得()[()]1f f ξλξξ'--=. 练习1.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数,且123()()()f x f x f x ==,其中123a x x x b <<<<,证明:在13(,)x x 内至少有一点ξ,使得''()0f ξ=2.设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)(1)0f f ==,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使得()'()f f ξξξ=-.3. 设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,试证在(0,3)内至少存在一点ξ,使得'()0f ξ=.3. 拉格朗日中值定理例6.(05-12-12分) 已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1) 1.f f ==,证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f例7.(98-4)设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈,使得[()'()]1e f f ηξηη-+=.例8. (92-1)设''()0f x <,(0)0f =,证明对任何10x >,20x >,有1212()()()f x x f x f x +<+ . 例9.(06-234)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 例10.(04-2-12分) 设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. 例11.设1p >,01x ≤≤,证明:12(1)1pp p x x -≤+-≤.练习1. (99-4)证明:当0sin 2x x x ππ<<>时，有. 2.证明不等式ln a b a a ba b b--<<. 3.设b a e >>,证明不等式baa b >成立.4.当02x π<<时,证明:3tan 3x x x >+ .4.柯西中值定理例12.(03-2-10分)设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη5.泰勒定理例13. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0f ≠,(0)0f '≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-例14.(02-2)设()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且(0)0f ≠,(0)0f '≠,(0)0f ''≠,证明:存在唯一的一组实数123,,λλλ,使得当0h →时, 123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ++- 是比2h 高阶的无穷小.【答案】1233,3,1λλλ==-=例15.(99-2) 设函数()f x 在[1,1]-上具有三阶连续导数,且(1)0f -=,(1)1f =,'(0)0f =,证明:在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ,使得'''()3f ξ=.题型9 极限保号性的应用例1.设(0)0,(0)f f '=存在,当0x >时120ln(1())()0,lim[1]sin x x f x f x x→+>+=,则(0)f '=【C 】（A ）0． （B ）2-. (C) 2. 例2.设()f x ''在x a =处连续,又cos()'()lim1x a x a f x e e a-→=--,则 【C 】(A)()0,()f a f a ''=是()f x 的极大值点. (B) ()0,()f a f a ''≠是()f x 的极小值点. (C) ()0f a ''=,(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点.(D)x a =不是()f x 的极值点, (,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.例 3.设()f x 在[,]a b 上一阶可导,在(,)a b 内二阶可导,()()0,()()0f a f b f a f b +-''==>则下述选项中错误的为 【B 】(A)()f x 在(,)a b 内有零点. (B)()f x 在(,)a b 内恰有一个零点. (C)()f x '在(,)a b 内有零点. (D)()f x ''在(,)a b 内有零点. 例4.设0,δ>()f x 在δδ[-,]上有定义，(0)1,f =且满足2ln(1)()lim0,1x x x xf x e →-+=-则【A 】(A)()f x 在0x =处可微，且1(0)2f '=. (B)()f x 在0x =处连续，但不可微. (C)()f x 在0x =处可微，且(0)0f '=. (D)()f x 在0x =处不连续. 例5.设()f x 在0x 点的某个邻域内具有二阶连续导数,且当h 足够小时,0001()[()()]2f x f x h f x h <++-.证明:0''()0f x ≥.。
2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义
公开课一：中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值—设连续))((D x x f y ∈=，其中D x ∈0。
若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f <，称0x x =为)(x f 的极大点；若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f >，称0x x =为)(x f 的极小点，极大点和极小点称为极值点。
2、极限的保号性定理定理 设)0(0)(lim 0<>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，)0(0)(<>x f ，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。
【证明】设0)(lim 0>=→A x f x x ，取020>=A ε，因为A x f x x =→)(lim 0，由极限的定义，存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，2|)(|A A x f <-，于是02)(>>A x f 。
3、极限保号性的应用【例题1】设2|1|)(lim ,0)1(1=-''='→x x f f x ，讨论1=x 是否是极值点。
【例题2】（1）设0)(>'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点；（2）设0)(<'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点。
【解答】（1）设0)(>'a f ，即0)()(lim >--→ax a f x f a x ，由极限的保号性，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有0)()(>--ax a f x f 。
当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f <；当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f >。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义
第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='． 说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式． 三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）； （3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）； （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-． 证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''； （2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-， 因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）： 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=， 令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】 一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立； （2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。
2015考研数学讲解之中值定理(1)
x
x
分析：先整理一下要证 的式子
e 2 这题就没上面那道那么 容易看出来了
x x
f (c ) f (c )
发现e 1f (x 2 ) e 2f (x 1)是交叉的，变换一下， 分子分母同除一下 e
x1 x 2
f (x 2 ) f (x 1) e
x2
e e
x1
1
e
两边积分 f (x ) g (x )dx g (x ) lnf (x ) g (x )dx lnC f (x ) Ce f (x )
f (x )e
g (x )dx
很明显了 C 现在设C 0，于是要构造的函数就
F (x ) f (x )e
g (x )dx
e bf (b ) e af (a ) 再整理一下 b a
e [f () f ()]
e b ea e b ea 只要找到 与e 的关系就行了 b a b a
这个更容易看出来了， 令G (x ) e x 则再用拉格朗日定理就 得到
G () e
e b ea e [ f () f ()] b a
③k 值法
x2
1
x1
于是这个式子一下变得 没有悬念了
用柯西定理设好两个函 数就很容易证明了
2
仍是上题 分析：对于数四，如果 对柯西定理掌握的不是 很好上面那题该怎么办 呢？ 在老陈的书里讲了一个 方法叫做k 值法 第一步是要把含变量与 常量的式子分写在等号 两边 以此题为例已经是规范 的形式了，现在就看常 量的这个式子 设
F () f () f ()
②柯西定理
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故 f '( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间[-2，2]内找不到一点能
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x
0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
பைடு நூலகம்
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
驱动微分学产生的三个问题：
1. 求运动物体的瞬时速度； 2. 求曲线某点处切线的斜率； 3. 求最大值和最小值。
本章要介绍的内容：
1. 微分中值定理 2. 求极限的一个新方法 3. 泰勒公式 4. 函数的性态与作图
3.1 中值定理
函数的极值
定义. 设函数f (x)定义在区间I上，点x0 I，若存在点x0的
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
如何从理论上证明？
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)
lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点， 则 f '(x0 ) 0
由于f '(x)存在
0
f
'
(
x0
)
f
'(x)
f
'
(
x0
)
0
即f '(x) 0
通常称f '(x0 ) 0的点x0为f (x)的驻点。
最值：包含最大值和最小值 最值是对于函数f (x)在整个定义域内的函数值而言的。 最值是函数的整体性质； 极值是函数的局部性质。
x0是函数f (x) (x D(x))的最值点：x D(x), f (x) f (x0) 而由于极值的局部性，可以产生：极小值不一定比极大值小。
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，则 f '(x0 ) 0
拉格朗日中值定理
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导,
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，
则 f '(x0 ) 0
证明. 不妨假设x0是f (x)的极大值点，
即, 0,x U (x0, ), f (x) f (x0 ) 故，当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)
lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
是不是所有的驻点都是极值点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
某一领域U (x0, ) I，使得x U (x0, ), 恒有
f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )) 则称f (x0 )为函数f (x)的一个极大值（或极小值） 点x0称为f (x)的极大（极小）值点。
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
函数的最值
2 b
x
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,