微分中值定理77931
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这与已知的f ( x) 0, x (a, b)矛盾
所以f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
【4-1-9】
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
1、定理
设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则
f (b) f (a) (a, b), 使得f ( ) ba
2、证明：作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x) f ( x) ( x a) ba
f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导
F ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有
F (a) f (a), F (b) f (a) F (a) F (b)
而f ( x)在(a, b)内可导, 可导的最值点肯定是极值点
依费马定理知 : (a, b), 使得f ( ) 0
3、定理中应注意的问题 ①定理是充分而不必要的结论，因此有些函数虽不满足定 理的条件，也有定理的结论。如
f ( x) sin x在[1, 2]上
【4-1-6】
②几何意义 满足条件的函数曲线y f ( x)在(a, b)中至少
F ( x)在[0, ]连续可导, 且有F (0) F ( ) 0
(0, ), F ( ) sin cos 0
所以方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
【4-1-8】
例2
设f ( x)在(a, b)内二阶可导, 若f ( x) 0, x (a, b),
极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点 【4-1-1】
2、费马定理（可导极值点必要条件）
（1）定理 （2）证明
若f ( x)在x0可导, 且x0为极值点, 则必有f ( x0 ) 0
设x0为f ( x)的极大值点(极小值点类似处理), 则
0, 使得当x O ( x0 )时有f ( x) f ( x0 )
【4-1-10】
(a, b), 使得F ( ) 0,
f (b) f (a ) 而F ( x) f ( x) ba
f (b) f (a) f ( ) ba
3、定理中应注意的问题 （1）定理中的两个条件缺一不可 （2）当f (a) f (b)时,即为罗尔定理, 是罗尔定理的推广 【4-1-11】
第四章
§4.1
中值定理与导数的应用
微分中值定理
一、费马定理 1、函数极值
若f ( x)在O ( x0 )有定义, 若对x O ( x0 )
有f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 )), 则称f ( x0 )是f ( x)的
一个极小（大）值, 此时称x0为极小（大）值点
因为f ( x) x3在(, )严格单调递增
⑤ 若有f ( x0 ) 0, 则x0一定不是极值点 【4-1-4】
二、罗尔(Rolle)中值定理
1、定理 设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有f (a) f (b),
则 (a, b), 使得f ( ) 0
f ( x) x 在x 0处有极小值, 但f ( x)在x 0处不可导
③ f ( x0 ) 0 f ( x)在x x0处有平行于x轴的切线
( k切线 f ( x0 ) 0)
④ 定理仅是必要而不充分的条件，如
f ( x) x3在x 0处有f (0) 0, 但x 0不是极值点,
2、证明
f ( x)在[a, b]上连续
f ( x)在[a, b]上存在最大值M 和最小值m
(1)若M m, 则f ( x) C(常数),
f ( x) 0
即[a, b]上任一点均满足定理结论,因而此时结论成立
【4-1-5】
(2)若M m,
f (a) f (b),
M 和m至少有一个是在(a, b)内某点 处取得,
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
【4-1-2】
因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
（3）几何பைடு நூலகம்义
满足条件的函数在(a, b)内必至少存在一条平行于两端点连线的切线
( A(a, f (a)), B(b, f (b)), k AB
Y
f (b) f (a) ) ba
B (b, f (b))
A (a, f (a)) O
a
b
X
【4-1-12】
（4）变形形式
①
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
f ( x0 ) 0
【4-1-3】
（3）定理中应注意的问题 ① 称f ( x0 ) 0的点x0为f ( x)的驻点或稳定点 ② 定理条件中f ( x)在x0可导不能省略, 如
有一条平行于x轴的切线
③定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立
Y
Y
Y
O
a
b
O X
a
x0
b
X
O
a
b
X
b点间断
x0不可导
f (a) f (b)
【4-1-7】
4、应用举例 例1 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
证明： 令F ( x) x sin x, x [0, ], 则有
则f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
证明： 用反证法证明
设f ( x)在(a, b)内有两个驻点x1, x2 , 且x1 x2则有
f ( x1 ) f ( x2 ) 0
而f ( x)在[ x1, x2 ] [a, b]上可导
( x1 , x2 ) (a, b), 使得f ( ) 0
所以f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
【4-1-9】
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
1、定理
设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则
f (b) f (a) (a, b), 使得f ( ) ba
2、证明：作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x) f ( x) ( x a) ba
f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导
F ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有
F (a) f (a), F (b) f (a) F (a) F (b)
而f ( x)在(a, b)内可导, 可导的最值点肯定是极值点
依费马定理知 : (a, b), 使得f ( ) 0
3、定理中应注意的问题 ①定理是充分而不必要的结论，因此有些函数虽不满足定 理的条件，也有定理的结论。如
f ( x) sin x在[1, 2]上
【4-1-6】
②几何意义 满足条件的函数曲线y f ( x)在(a, b)中至少
F ( x)在[0, ]连续可导, 且有F (0) F ( ) 0
(0, ), F ( ) sin cos 0
所以方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
【4-1-8】
例2
设f ( x)在(a, b)内二阶可导, 若f ( x) 0, x (a, b),
极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点 【4-1-1】
2、费马定理（可导极值点必要条件）
（1）定理 （2）证明
若f ( x)在x0可导, 且x0为极值点, 则必有f ( x0 ) 0
设x0为f ( x)的极大值点(极小值点类似处理), 则
0, 使得当x O ( x0 )时有f ( x) f ( x0 )
【4-1-10】
(a, b), 使得F ( ) 0,
f (b) f (a ) 而F ( x) f ( x) ba
f (b) f (a) f ( ) ba
3、定理中应注意的问题 （1）定理中的两个条件缺一不可 （2）当f (a) f (b)时,即为罗尔定理, 是罗尔定理的推广 【4-1-11】
第四章
§4.1
中值定理与导数的应用
微分中值定理
一、费马定理 1、函数极值
若f ( x)在O ( x0 )有定义, 若对x O ( x0 )
有f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 )), 则称f ( x0 )是f ( x)的
一个极小（大）值, 此时称x0为极小（大）值点
因为f ( x) x3在(, )严格单调递增
⑤ 若有f ( x0 ) 0, 则x0一定不是极值点 【4-1-4】
二、罗尔(Rolle)中值定理
1、定理 设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有f (a) f (b),
则 (a, b), 使得f ( ) 0
f ( x) x 在x 0处有极小值, 但f ( x)在x 0处不可导
③ f ( x0 ) 0 f ( x)在x x0处有平行于x轴的切线
( k切线 f ( x0 ) 0)
④ 定理仅是必要而不充分的条件，如
f ( x) x3在x 0处有f (0) 0, 但x 0不是极值点,
2、证明
f ( x)在[a, b]上连续
f ( x)在[a, b]上存在最大值M 和最小值m
(1)若M m, 则f ( x) C(常数),
f ( x) 0
即[a, b]上任一点均满足定理结论,因而此时结论成立
【4-1-5】
(2)若M m,
f (a) f (b),
M 和m至少有一个是在(a, b)内某点 处取得,
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
【4-1-2】
因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
（3）几何பைடு நூலகம்义
满足条件的函数在(a, b)内必至少存在一条平行于两端点连线的切线
( A(a, f (a)), B(b, f (b)), k AB
Y
f (b) f (a) ) ba
B (b, f (b))
A (a, f (a)) O
a
b
X
【4-1-12】
（4）变形形式
①
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
f ( x0 ) 0
【4-1-3】
（3）定理中应注意的问题 ① 称f ( x0 ) 0的点x0为f ( x)的驻点或稳定点 ② 定理条件中f ( x)在x0可导不能省略, 如
有一条平行于x轴的切线
③定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立
Y
Y
Y
O
a
b
O X
a
x0
b
X
O
a
b
X
b点间断
x0不可导
f (a) f (b)
【4-1-7】
4、应用举例 例1 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
证明： 令F ( x) x sin x, x [0, ], 则有
则f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
证明： 用反证法证明
设f ( x)在(a, b)内有两个驻点x1, x2 , 且x1 x2则有
f ( x1 ) f ( x2 ) 0
而f ( x)在[ x1, x2 ] [a, b]上可导
( x1 , x2 ) (a, b), 使得f ( ) 0