微分中值定理解题方法
第六章微分中值定理及其应用(精)
第六章 微分中值定理及其应用教学基本要求1.熟练掌握微分中值定理的条件和结论，通过举缺少条件的反例来加深理解;2.熟练掌握三个定理之间的关系以及几何上的一致性;3.熟练掌握L`Hospital 法则并应用极限计算．4.熟练掌握用导数来研究函数单调性、极值、最大值和最小值的方法,尤其是函数的单调性、凸性等几何性状;5.熟练掌握Taylor 公式，并理解Taylor 公式作为Lagrange 定理的推广在多项式逼近中将起的作用;6.掌握中值定理和Taylor 公式的应用,提高应用能力。
7.会利用导数等分析手段准确描绘函数图象．§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性教学目的：熟练掌握罗尔中值定理，拉格朗日中值定理及其应用，掌握导数极限定理及意义，应用，掌握函数单调的条件及应用．使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础 教学内容拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。
掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。
教学重点：函数为常函数的充要条件; 导数极限定理; 函数单调的条件．一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。
极值概念：回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某 邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f1．罗尔中值定理：若函数f 满足如下 条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续； （ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导； （iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0（分析）由条件（i ）知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（ii ）及（iii ），应用费马定理便可得到结论。
微分中值定理及其应用
（1） f ( x ), g ( x ) 在 (a −δ , a +δ ) 可导且g '( x ) ≠ 0 , 其中 δ > 0; （2）lim
x→a
f ( x) = lim g ( x ) = 0；
x→a
f '( x) lim = A; （3） x → a g '( x )
则
f ( x) =A lim x →a g ( x)
1
1
lim cos +
1
ξ
=0
§2 洛必达法则
前面遇到几种类型的极限：
定理5.6 若 f （1） ( x ) , g ( x) 在（a, a +δ ）可导且 g ′( x ) ≠ 0 ,其中 δ > 0 f '( x) =A lim （2） + f ( x) = lim g ( x) = 0 （3） lim+ + x → a g '( x ) x→a x→a 则 f ( x) lim+ =A x→a g ( x) 0 （ 型）在自变量的某个变化过程中 0 （1）f ( x ), g ( x )都为无穷小，即 xlim+ f ( x ) = 0, xlim+ g ( x ) = 0 →a →a
f '( x) ε | − A |< . g '( X ) 2
有
在(a, a + δ1 )内取定 x0，则对a < x < a + δ1 中任意x ≠ x0
| f ( x) − f ( x0 ) ε f '(ξ ) − A |=| − A |< , 2 g ( x) − g ( x0 ) g '(ξ )
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的使用方法和技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的使用方法和技巧三大微分中值定理可使用于含有中值的等式证明，也可使用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此使用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 使用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 使用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
微分中值定理
x0为唯一的小于 1的正实根 .
题型二:求满足定理条件的 值
例7 求 f ( x ) arctan x 在 [0,1] 上满足Lagrange
中值定理的 值
题型三:用Lagrange中值定理证明不等式
x 例8 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x f (b) f (a) 证 设 f ( x) ln x, 凑成 形式 ba
如图3此时弦AB的斜率为
f ( ) dY |x g ( ) dX
f (b) f (a) g (b) g (a)
柯西(Cauchy)中值定理
如果 f(x),g(x)满足
(1) ( 2) ( 3)
在闭区间 在开区间
[a, b]上连续,
( a , b ) 内可导,
g( x) 0, x (a, b )
则 (a, b ), 使等式
f ' ( ) f (b ) f (a ) 成立. ' g ( ) g (b ) g (a )
f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b ) g (a ) f (a ) g (b ) (a ) (b) g(b) g(a ) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 一定相同 g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
微分中值定理及洛必塔法则
05
微分中值定理及洛必塔 法则的推广
推广形式
广义微分中值定理
将传统的微分中值定理从闭区间上的连续函数推广到更广泛的函数 类，如半开半闭区间、无界区间等。
多重中值定理
在多维空间中，研究多元函数的微分中值定理，揭示了函数在各个 方向上的变化情况。
非标准分析中的微分中值定理
在非标准分析的框架下，对微分中值定理进行重新定义和证明，适 用于超实数域。
06
微分中值定理及洛必塔 法则的习题解答
经典习题解析
经典习题1
证明在闭区间上连续的函数在该区间上可导。
经典习题2
求函数在某点的导数。
经典习题3
利用微分中值定理证明不等式。
经典习题4
利用洛必塔法则求极限。
习题解答技巧
技巧1
技巧2
熟练掌握微分中值定理和洛必塔法则的基 本形式和应用条件，确保在解题过程中正 确运用。
02
微分中值定理和洛必塔法则都 是基于极限的思想，通过局部 的函数性质来推断整体的性质 。
03
微分中值定理和洛必塔法则都 涉及到函数的导数，导数的性 质在这两个定理中扮演着重要 的角色。
应用对比
微分中值定理主要用于证明一些关于函 数的不等式、等式或解决一些与极值相 关的问题，而洛必塔法则主要用于求解 一些极限问题。
应用举例
• 应用举例：微分中值定理的应用非常广泛， 例如在求解某些微分方程时，可以利用微 分中值定理来找到方程的解；在研究函数 的单调性、极值等问题时，也可以利用微 分中值定理来帮助分析；此外，在求函数 的近似值、误差估计等方面，微分中值定 理也有着重要的应用。
02
洛必塔法则
定义与性质
定义
洛必塔法则是微分学中的基本定理之一，它 给出了函数在某点的导数的计算方法。具体 来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$ 处可导，且$g'(x)$在$x_0$处不为零，那么 $lim_{{x to x_0}} frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，且 等于$frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值§8.1 微分与积分中值定理一、知识结构 1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间()b a ,内可导,(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()⎰-=baa b f dx x f )()(ξ.(2)推广的积分第一中值定理若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=baadx x f a g dx x g x f ξ)()()()(.(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=ba bdx x f b g dx x g x f η)()()()(.3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)n n(n)+-++-'+=00000!11 ,其中()()()()101!1)(++-+=n n n x x n fx R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0x 之间的某个值.或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个当0x x →时的n)x (x 0-的高阶无穷小之和:()()nn(n)x x o )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)000000!11-+-++-'+=其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n)x (x 0-的高阶无穷小.（2）麦克劳林公式定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R x n!)(x fx !)(f )x (f )f(f(x)n n(n)+++''+'+=022000 ,其中()()()11!1)(+++=n n n x n x fx R θ，(10<<θ).2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有()200000000100001,,,,2!11,,,1nn f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !xy θθ+⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k xh y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂， ……)y f(x yx kh C)y f(x y k x h pm pm pm p mp pmm00000,,--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001,11)(, 10<<θ 称为拉格朗日型余项.（2）麦克劳林公式定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n n θθ,110,011+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，其中10<<θ.二、解证题方法 1、微分中值定理例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.证明 用反证法.因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令xex f x F λ)()(=,则0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,即0='+='xxe xf ex f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()())(ξξξf f '-=''211.证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令⎪⎩⎪⎨⎧=∈'=-101011x x ex f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()())(ξξξf f '-=''211.例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且00=→xx f x )(lim,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得()0=''βf .证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连续. 进而0lim )(lim )(lim )(lim )0(0000=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使得0=')(αf . 又因00000=-=-='→→xx f xf x f f x x )(l i m)()(l i m)(, 并且()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.证明 (1)充分性 因为)(x f 为一常数C , 所以()0000==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xC C xx f x x f x f lim lim)(lim)(.(2)必要性对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进而)(x f 为一常数.例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .令⎪⎭⎫⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞→lim 存在且有限.分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-<⇐-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111n f nmnmnmmξε'=-<-<=<.证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,εN ,当N m n >>时, 有ε<=<-=-=-mnmn nmm n mn x x m n 111, 所以()()εξξ<=<-<-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 111111111,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞→lim 存在且有限.例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在()b a ,内有界, 则存在正数M ,使得M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10<<k ), 证明: (1)11-+-≤-n n n n y y k y y ; (2)n n y ∞→lim 收敛.证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则221xk k x f +=')(,于是kx f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得:()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ介于1-n y ,n y 之间.(2)由(1)的递推关系知,011y y ky y nn n -≤-+,又因为级数∑∞=-101n ny y k收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞=+-11n n n y y 绝对收敛,所以n n S ∞→lim 收敛, 其中()1111y y y yS k nk k k n -=-=+=+∑, 进而n n y ∞→lim 收敛.例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明:xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.分析 关键是证明02>-'='⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为()[]000>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.练习[1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根.[2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当10<<x 时, 0)(>x f , 证明: 存在()1,0∈ξ,使得)1()1()()(2ξξξξ--'='f f f f .[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得)()()()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--.[4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,)(2)(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 42)(xex f -=,()+∞∞-∈,x .[5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0.[6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f ,1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根.[7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f ,0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有惟一的实根.[8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导,0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得()()b a f b f a +='+'21ξξ.[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf .[10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得)(211x x x x θ+=-+, 并且)(lim 0x x θ+→和)(lim x x θ+∞→（答案：41)(lim 0=+→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ ）.2、积分中值定理例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰∞→bann dx x g x f )()(lim.解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰=banb andx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又因为()0>ξf , 所以1=∞→nn f )(li m ξ,进而⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→baba n n bann dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(limξ.例2(河北大学2005年)证明:dx xx dx xx ⎰⎰+≤+222211ππcos sin .分析0111222222≤+-⇐+≤+⎰⎰⎰dx xx x dx xx dx xx πππcos sin cos sin .证明 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上不变号,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一中值定理得：dx xx x dx xx x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-24242221cos sin 1cos sin 1cos sin ππππ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++-+=242402cos sin11cos sin11πππηξ01121121121212222≤+--+-=+-++-=ξηηξ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx xx dx x x ⎰⎰+≤+2220211ππcos sin .例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且⎰-=211221dx ex f f x)()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='.证明 令2)()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,η,使得()⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211122021dx ex f ef x)(ηη即()⎰--=211122)(2dx ex f ef xηη. 因为⎰-=2101221dx ex f f x)()(, 所以())(121f ef =-ηη, 进而()112--=ef ef )(ηη. 又因为112--==e f e f F )()()(ηηη, 111-=ef F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为222ξξξξξξ---'='ef ef F )()()(,所以())(ξξξf f 2='.例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且()⎰-=ππππ1dx x f ef x)(,证明: 至少存在一点()πξ,0∈, 使得()()ξξf f ='.证明:令)()(x f e x F x -=,由()⎰-=ππππ1)(dx x f ef x和)()(πππf eF -=，得:()()⎰⎰⎰====----πππππππππππ111)()()(dx x F dx x f edx x f eef eF xx.由积分中值定理: ()()11()0()F F x dx F F ππππηηπ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξξf e f e F '+-='--,所以()()ξξf f ='.例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()32412a b f b a f a b dx x f ba -''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得⎰⎰⎰+++=baba ab b a dx x f dx x f dx x f 22)()()(()()⎰⎰++-+-=22)()(ba ab b a b x d x f a x d x f()[]()()[]()⎰⎰++++'---+'---=bb a b ba ba ab a adxx f b x x f b x dx x f a x x f a x 2222)()()()(()()()⎰⎰++-'--'-⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a ba ab x d x f a x d x f b a f a b 22222)(2)(2()()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222)(22)(2ba aba adx x f a x x f a x b a f a b()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--bba bb a dx x f b x x f b x 2222)(22)(()()()⎰⎰++''-+''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b a ba adx x f b x dx x f a x b a f a b 2222)(2)(22()()())(2)(2)(2222221积分中值定理⎰⎰++-''+-''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=bba b a a dx b x c f dx a x c f ba f a b()()[]312()()()248b a a bb a f fc f c -+⎛⎫''''=-++⎪⎝⎭介值性定理()()3()224b a a bb a f fc -+⎛⎫''=-+⎪⎝⎭,其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式22)(b a x f +≤'， )1,0(∈x .分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有21)1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，222)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=上面两式相减有 22212)()1(2)()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[]22)1(22)(22b a xx b a x f +≤+-+≤'.例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间[]b a ,上有二阶导数且,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ.分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2(b a f +分别在b a 、点展开，注意0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212ξξ，使得212)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ,222)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ.两式相减得: []0)()()(81)()(221=-''-''+-a b f f a f b f ξξ, 故[])()()(21)()()(4212ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤--.其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,)()(,212211ξξξξξξξf f f f .例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数，0)(lim =+∞→x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞→x f x .分析：关键是做Taylor 展开.证明：要证明0)(lim ='+∞→x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ，当A x >时有ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+, ()h ,0∈ξ,即[]h f x f h x f hx f )(21)()(1)(ξ''--+='. 从而[]hx f h x f hhf x f h x f hh f x f h x f hx f 21)()(1)(21)()(1)(21)()(1)(+-+≤''+-+≤''--+='ξξ, 取ε<h , 因为0)(li m =+∞→x f x , 所以021)()(1lim )(lim0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤'≤+∞→+∞→h x f h x f hx f x x , 其中2)()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞→x f x .例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f .分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有212)()()()0(xf x x f x f f ξ''+'-=,22)2(2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，将上面两式相减有[]21224)()2(4)()0()2(21)(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[][][].21)1(211)2(411)(4)2()(4)0()2(21)(22222212≤+-+≤+-+≤''-+''++≤'x xx f x f x f f x f ξξ.例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在()δδ,-内0)(≡x f .分析：关键是做Taylor 展开.证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有222)(2)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''=''+'+=, x f f x f )()0()(η''+'=',其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值.从而x f x f x f x f )(2)()()(2ηξ''+''='+.现令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得{}M x f x f x f x f xx ='+='+≤≤-)()(max )()(14100.下面只要证明0=M 即可. 事实上⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''≤''+''='+=)(2)(41)(2)()()(000020000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]000041ηηξξf f f f +'++'≤（由()()x f x f x f x f ηξ''+''='+22)()(）11242M M ≤⋅=，即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1sin1lim 2. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x1sin展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3316111s i n x o x x x ，则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→→∞→332216111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求422cos limxex xx -→-.分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开()5422421cos xo xxx ++-=, )(82154222x o xxex++-=-,所以)(12cos 5422x o xex x+-=--, 进而121cos lim422-=--→xex xx .例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明：(1)2022)(M t tM t f +≤' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立；(2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ .分析：Taylor 展开式.证明(1)考虑)(t x f + 在t 处的Taylor 展开式，,2)()()()(2>''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ，则t f tt f t f t f 2)()()2()(ξ''--='，所以++≤'tt f t f t f )()2()(2)(ξf ''t ，有题设条件可得t M tM t f 22)(2+≤' .(2)同理由Taylor 展开式知，t M tM t f 22)(2+≤'成立，从而t M tM M 2221+≤，取202M M t = 即得证.例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微，0)(lim =+∞→x f x ，但)(lim x f x '+∞→不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f .分析 Taylor 展开式.证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，因此有2)()(1)(h x f h x f hx f +-+≤' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞→x f x 知，存在0>A ，当A x > 时，有4)(2ε≤'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即0)(lim ='+∞→x f x ，矛盾.例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值41 .证明：1)1()0(≤+f f .分析 极值点，Taylor 展开式.证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则41)(=ξf 、0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有21)(2)())(()()0(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.又有2)1(2)()1)(()()1(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.所以有2221)1(2)(0)(2)(0)()1()0(ξηξξηξ-''+++''++=+f f f f f f[]2221)1()()(21)(2ξηξηξ-''+''+≤f f f[]22)1(121ξξ-++≤12121=+≤.这里另22)1()(x x x g -=，)1,0(∈x ，则最大值1)1(=g . 练习[1]（华中科技大学2005年）设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，0)1()0(==f f ，58)(≤''x f ，58)(≤'x f ，给出)10()(≤≤x x f 的一个估计.[2]（华中科技大学2004年）设)10(,2)(,0)1()0(≤≤≤''==x x f f f ，证明：1)(≤'x f .[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n ，有)!1(1!)1(!31211+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+---n n en. [4]（华南理工大学2004年）设)(x f 在[]1,1-上三次可微，1)1(,0)0()0()1(=='==-f f f f .证明：存在)1,1(-∈x ，使得3)()3(≥x f.[5]（大连理工大学2006年） 将2)1(1)(x x f += 在0=x 展开成Taylor 级数.[6]（同济大学1999年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→)11ln(lim 20x x x x (答案：21).[7]（大连理工大学2004年）设)(x f 在[]1,0上二阶可导，且有,0)1()0(==f f []21)(m i n 1,0-=∈x f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得4)(≥''ξf .[8] （东南大学2004年）（1）设)(x f 在[]2.0上二阶可导，0)2()0(='='f f .证明：存在)2,0(∈ξ使得[])(4)2()0(3)(320ξf f f dx x f ''++=⎰.（2）若在（1）中只假定)(x f 在[]2,0上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？[9]（东南大学2003年） 求42cos lim2xx exx --→(答案：81-).[10]（同济大学1999年）求xx x x x x x arcsin )1ln(cos sin lim2220+-→(答案：61).§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点一、知识结构 1、函数的极值和最值函数)(x f y =的极值是一个局部概念，而函数)(x f y =的最值是一个整体概念. 如函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义, 如果[]b a x ,0∈的某个邻域),(0δx U 内有)()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥), 则我们称函数)(x f y =在点0x 取得极大值(极小值). 函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值)(0x f 满足)()(0x f x f ≥, 其中[]b a x ,∈.函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值)(0x f 满足)()(0x f x f ≤, 其中[]b a x ,∈.(1) 一元函数)(x f y =的极值和最值定理1（必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那未这函数在0x 处的导数为零，即0)(0='x f .定理2（第一种充分条件） 设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)(0='x f .（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为正；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为负，那未函数)(x f 在0x 处取极大值；（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为负；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为正，那未函数)(x f 在0x 处取极小值；（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，)(x f '恒为正或恒为负；那未函数)(x f 在0x 处没有极值.定理3 （第二种充分条件）设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0='x f 0)(0≠''x f ，那么（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极大值； （2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极小值. 一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值：（1）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极大值与)(),(b f a f 中最大的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最大值;（2）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极小值与)(),(b f a f 中最小的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最小值.(2) 二元函数()y x f z ,=的极值和最值定理1(必要条件) 设函数),(y x f 在点()00,y x 处可导，且在()00,y x 处取得极值，那未这函数在()00,y x 处的偏导数为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y .定理2 (充分条件)设函数),(y x f 在点()00,y x 某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则函数),(y x f 在点()00,y x 是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值， 且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)求函数),(y x f z =的极值，其中()y x ,满足条件0),(=y x F . 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=, 解方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0),,(0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 得⎪⎩⎪⎨⎧===000λλy y x x ，则()00,y x 为函数),(y x f z =的极值点(根据实际问题确定)，进而求得函数),(y x f z =的极值),(00y x f z =.2、函数的凸性与拐点定义1 若曲线)(x f y =在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.定义 2 设函数)(x f y =在区间I 上连续，如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凸（或凸弧）.定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在()b a ,内0)(>''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凹的； (2) 若在()b a ,内0)(<''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凸的. 3、函数)(x f y =图像的描绘主要用函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='和二阶导数)(x f y ''=''的性质和曲线)(x f y =的渐进线描绘函数)(x f y =图像.如果0)(>''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向下凸. 如果0)(<''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向上凸. 如果0)(0=''x f , 且)(x f ''在()0,x a ,()b x ,0上异号, 则0x 为函数)(x f y =图像的拐点.如果0)(>'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递增. 如果0)(<'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递减.二、解证题方法 1、函数的极值和最值例1（南京大学2003年）对任意00>y , 求)1()(00x x y x y -=ϕ在()1,0中的最大值, 并证明该最大值对任意00>y , 均小于1-e .解 由于000120)1()(y y xy x xy x --='-ϕ ，令0)1()(000120=--='-y y xy x xy x ϕ得函数)(x ϕ的稳定点100+=y y x , 所以函数)(x ϕ的最大值为10000111)1(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+y y y y ϕ.因为()x x -<-1ln , 10<<x , 所以()11111000000111)1(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+eey y y y y y ϕ .例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数,,,4,3,2,143n n 中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xx x f =)(, 1≥x , 则222ln 1ln 1ln 1ln 1)(xxx x x x x e e x f xxx x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xx x f =)(, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1, 0)(>x f ,当e x ≥,0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee . 从而下列数,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数只可能是33,2中的一个, 又因332<, 所以下列数 ,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数是33.例3（北京化工大学2004年）在下列数,2004,,4,3,2,12004242322中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xxx f 2)(=, 1≥x , 则22222ln 2ln 1ln 222ln 2)(x x x x x x x e e x f x x x x x x ⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xxx f 2)(=, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1,0)(>x f ,当e x ≥, 0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee 2.从而下列数 ,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数只可能是3223,2中的一个,又因32232<,所以下列数,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数是323.例4（中山大学2006年）设S 为由两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 所围成的闭区域,椭圆12222=+by ax 在S 内, 确定b a ,(0>b a 、), 使椭圆的面积最大.解 两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 的交点为()0,1-，()0,1，()1,0-，()1,0.S 为1122+-≤≤-x y x ，因为椭圆12222=+by ax 在S 内, 所以1,0≤<b a . 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x s i n c o s ，π20≤≤t ，由椭圆12222=+by ax 和区域S 的对称性知，椭圆12222=+by ax 的面积最大时， 必须有ta tb 22cos 1sin -= ，20π≤≤t 有惟一解. 即0cos 1sin 22=+-t a t b ,20π≤≤t 有惟一解.令01sin sin cos 1sin )(22222=-++-=+-=a t b t a t a t b t f ,20π≤≤t .则01)0(2≤-=a f , 012≤-=⎪⎭⎫⎝⎛b f π ，0)1(4222=-+=∆a a b ，()122sin 22≤=--=ab ab t . 于是212a a b -=，122≤≤a . 椭圆12222=+by ax 的面积2221212)(aaa a a ab a f -=-==πππ,122≤≤a . 即01214)(232=---='aaa a a f ππ, 得36=a , 322=b , 故最大面积为934π.例5（湖南师范大学2005年）设q p b a ,,,都是正数，（1）求()q px xx f -=1)(在区间[]1,0上最大值；（2）证明：qp qpq p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.解(1)因为()qpx xx f -=1)(, 所以()()1111)(-----='q pq p x qxx pxx f ,令()()011)(11=---='--q pqp x qxx pxx f 得稳定点qp p x +=. 又0)1()0(==f f , ()qp q p q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+, 进而函数()qp x x x f -=1)(在区间[]1,0上最大值为()qp qp q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.(2)因为()1,qppqp q p qa a a ab p p qf f a b a b a b a b a b p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭所以qp q p q p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.例6（南京农业大学2004年）试问方程033=+-q px x 在实数域内有几个实根.解 由于()+∞=+-+∞→q px x x 3lim 3, ()-∞=+--∞→q px x x 3lim 3, 所以方程033=+-q px x 在实数域内至少有一个实根. 令q px x x f +-=3)(3, 则()p x p x x f -=-='22333)(.(1)当0<p 时, 有0)(>'x f , 进而)(x f 单调递增, 方程033=+-q px x 在实数域内只有一个实根.(2) 当0>p 时, 得q px x x f +-=3)(3的稳定点p x =, p x -=. 上述稳定点将()+∞∞-,分成三个区间()p -∞-,, ()p p ,-, ()+∞,p . 当()p x -∞-∈,时, )(x f 严格单调递增, 当()pp x ,-∈时, )(x f 严格单调递减, 当()+∞∈,p x 时, )(x f 严格单调递增. 进而,在p x -=时, )(x f 取得极大值q p p +2.在p x =时, )(x f 取得极小值q p p +-2. 所以, 当()()042232>-=+-+p q q p pq p p时,方程33=+-q px x 只有一个实根, 当()()042232=-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当()()042232<-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有三个实根.综上所述, 当0<p 时, 方程033=+-q px x 在实数域内有一个实根, 当0>p , 且0432>-p q 时, 方程033=+-q px x 只有一个实根, 当0>p , 且0432=-p q 时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当0>p ,且0432<-p q 时, 方程033=+-q px x 有三个实根.例7（上海交通大学2005年）求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值.分析 用Lagrange 乘数法求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=x y z 下的极值.解 构造Lagrange 函数()1),,,(444-+++=xyz z y x z y x L λλ, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+=01),,,(04),,,(04),,,(04),,,(333xyz z y x L xy z z y x L zx y z y x L yz x z y x L zy x λλλλλλλλ得1===z y x , 所以极值为3)1,1,1(=f .。
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
考研数学基础复习指导之微分中值定理
考研数学基础复习指导之微分中值定理【引理】Th 1费马(Fermat)引理设函数在的某邻域内有定义，若有()且在可导．【注】若是一个极值点且在可导(驻点/稳定点)．Th 2导数极限定理设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 处可导，且00()lim ()x xf x f x →''=【例1】求分段函数的导数2sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩【例2】下述命题：① 设0lim ()x x f x -→'与0lim ()x x f x +→'均存在，则()f x 在0x x =处必连续； ② 设0()f x -'与0()f x +'均存在，则()f x 在0x x =处必连续；③ 设()f x 在0x x =处连续，且0lim ()x x f x →'存在等于A ，则0()f x '存在等于A④ 设()f x 在0x x =的某邻域可导，且0()f x A '=，则0lim ()x x f x →'存在等于A则正确的个数为：(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3()f x 0x 0()U x 0()x U x ∀∈0()()f x f x ≤0()()f x f x ≥()f x 0x ⇒0()0f x '=0x ()f x 0x ⇒0()0f x '=3.导函数两大特性：1) 导函数没有第一类间断点设函数()f x 在(,)a b 内处处有导数()f x '，则(,)a b 中的点或为()f x '的连续点，或为()f x '的第二类 间断点．2) 导函数具有介值性（G.Darboux 定理）设函数()f x 在[],a b 上处处可导（端点指单侧导数），()()f a f b ''<，则:()()c f a c f b ''∀<<，(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ'=【微分中值定理】 1.罗尔(Rolle)定理设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．【应用】①证明含有中值ξ等式的证明；②导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计．2.拉格朗日(Lagrange)定理（微分基本定理）设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．【推论】：①若()0,f x x I '=∈，则(),f x C x I =∈． 如：arcsin arccos 2x x π+=.②若()(),f x g x x I ''=∈，则()(),f x g x C x I =+∈. 【应用】①证明含有中值ξ的等式．形如证明：[,,(),(),,(),()]0(,)G a b f a f b f f a b ξξξξ'=∈，②不等式的证明； ③研究函数的性态．3.柯西(Cauchy)定理设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．【应用】①证明含有中值,ξη的等式； ②不等式的证明4.泰勒(Taylor)公式定理1 带拉格朗日余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内(1)n +阶可导，那么对x I ∀∈，至少存在一个ξ，使得()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ在0x 与x 之间．定理2 带皮亚诺余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内n 阶可导，那么对x I ∀∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中00()()nn R x o x x x x =-→，． 【应用】①求极限，判断无穷小的阶数； ②建立函数与高阶导数的关系．辅助函数的构造：证明：(,)a b ξ∃∈，使得[,(),()]0G f f ξξξ'=．方法：构造辅助函数(,())F x f x ，再用罗尔定理．(,())F x f x 的构造方法如下： （1）积分法① 将ξ换成x 得[,(),()]0G x f x f x '=； ② 恒等变形，便于积分；③ 积分，分离变量得(,())F x f x C =．（2）公式法：若欲证等式可变形为()()()0f x p x f x '+=，则应取辅助函数为()()()p x dxF x f x e ⎰=．（3）观察法：观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：；；【注】若题目条件或结论中有定积分，则辅助函数为被积函数，且一般要使用积分中值定理（验证端点值相等）．[()]()()xf x xf x f x ''=+2()()()f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[()][()()]x x e f x f x f x e ''=+[()][()()]x x e f x f x f x e --''=-【2013】设奇函数()f x 在[1,1]-上具有2阶导数，且(1)1f =， 证明：(I)存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； (II)存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=．【1999】设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导()()1010,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，(I)存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (II)存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=(这里λ为任意实数)．【2001】设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰.证明：在()0,1内存在一点ξ，使()2()f f ξξξ'=.【2001】数设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足：()()()11011x k f k xe f x dx k -=>⎰，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()()11f f ξξξ-'=-．【1996】 在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ） (A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根【1994】设当0x >时，方程211kx x+=有且仅有一个解，求k 的取值范围【2011】证明：(I)对任意正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+； 【熟记结论】①ln(1),101xx x x x x<+<>-≠+且②均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数即：1212+++nnx x x nnx x x +≤≤++ ，其中0(1,2,,)i x i n >= (II)设111ln (1,2,)2n a n n n =+++-= ，证明数列{}n a 收敛.【2002】设0a b <<，证明不等式：222ln ln a b a a b b a -<<+-【1992】设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对任意的0x >有1212()()()f x x f x f x +<+【1998】设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1f a f b ==证明：存在(),,a b ξη∈，使得[()()]1e f f ηξηη-'+=【练习】设函数()f x 在区间上连续，在内可导，， 证明：存在(),,a b ξη∈使得[,]a b (,)a b 0a b <<()().2a bf f ξηη+''=【2001】设()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，证明：(I) 对于(1,1)-内的任一0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立； (II) 01lim ()2x x θ→=【1996】设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负实数，c 是()0,1内任一点证明：()22b fc a '≤+【1999】设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '= 证明：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=。
第一节微分中值定理
m f (0), f (1), f (2) M
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) 1 f (0) f( 1) f ( 2) 3 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续 c, ))内可导 , f (0) ,f在 (1)( f3 (2 想到找一点 c , 使 f (c) 3 f ( ) 0. 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使
下页
返回
结束
例3. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续， (0 ,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0 ,1) , 使 设辅助函数 ( x) x n f ( x) 证：
显然 ( x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
F (11 )0 F (0)
即
F ( )
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例11. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x ln(1 x) x ( x 0) . 例7. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
微分中值定理(怎样构造辅助函数)
微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方法相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。
本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。
于是我百度找到了下面内容：先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,所以 y dxdy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x ey ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。
再给大家举几个例子。
二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。
三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.证：02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21xy =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若f(x)在［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一点，b使得f(x)dx f( )(b a)。
积分第二中值定理为前者的推广，即若f(x),g(x)在a［a,b］上连续，且g(x)在［a,b］上不变号，则在［a,b］上至少存在一点，使得b ba f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx。
a a一、微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一.设(X)在［0,1］上连续可导，且(0) 0, (1) 1。
证明：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得」b a b成立。
() ()证法1 :任意给定正整数a，令t(x) ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对fdx), f2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一◎红卫a。
() (1) (0)任意给定正整数b，再令g,x) bx,g2(x) (x),则在［0,1］上对5(x),g2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一^ 匚°b。
()(1) (0)两式相加得：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得a ba b() ()成立。
证法2：任意给定正整数a,b，令£3 ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对分析：鉴于所要证明的等式中含有两个中值， 中，因此可考虑用两次柯西中值定理，即证法 2分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理进行进一步f i (x), f 2(x)应用柯西中值定理得：存在 (0,1),使得g i (x) (a b) (x) bx,g 2(x)(x)，则在［0,1］上对 g i (x), g 2(x)应用柯西中值定理得：存在 (0,1),使得(a b) () b (a b) b a 0因此有() (1) (0)亠(a b) ()ba b 上，移项得：」 Lab 。
第四章 微积分中值定理与证明
．
若 ，我们取 或 ，结论显然成立．若 ，则
根据零点定理， 有 ，所以有 ．
（方法2：利用介值定理）由于 在 上连续，所以 在 上可以达到最
大值和最小值， 使得 ，当然 ，所以
，
故
，
从而有
，
根据介值定理， 有
，
所以有
．
例2设 在 上连续， ，证明： ，使得 ．
证明引入辅助函数 ，则
4．设 ， 在 上连续，在 可导，证明：在 内至少存在一
点 ，使得 ．
（提示：对两个函数 和 在 上应用柯西中值定理）
5．设 在 上连续，在 可导，且 ，证明：在 ，使得 ．
（提示：引入辅助函数 ，在 上满足罗尔定理条件）
6．设 在 上可导，且 ，证明：
（1） ，使得 ．
（2）在 上存在 ，使得 ．
所以
整理得到
．
例12设 在 上连续，且 ，证明：存在 满足
．
分析解方程 ，即 ，所以辅助函数为
．
例13和例14对数三考生不做要求：
例13若 在 上有三阶导数，且 ，设 ，证明：
在 内至少存在一个 使得 .
证明由于 具有三阶导数，于是
由于
，
所以 ，故
，
因为 ，所以 ，即存在一个 使得 .
例14设 在区间 上具有三阶连续导数，且 ， ，
柯西中值定理，有
， ；
， ．
将上面两式相除，整理得到
．
4.1练习
1．试证方程 ，其中 至少有一个正根并且不超过 ．
（提示：只需证明函数 在 至少有一个根）
2．试证方程 恰有两个实根．
（提示：函数 是偶函数，关于 轴对称）
微分中值定理的做题方法
微分中值定理的做题方法微分中值定理是微积分中的基本定理之一，其主要用途是帮助解决函数在某个区间内的等式或不等式问题。
以下是微分中值定理的做题方法：步骤1：确定函数和区间。
首先要确定所给出的函数和要求解的区间，例如某个函数f(x)在区间[a, b]上。
步骤2：应用微分中值定理。
根据微分中值定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，那么必然存在一个点c(a < c < b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
步骤3：根据问题要求进行判断。
根据问题的要求进行判断，一般可以有以下几种情况：- 如果要求证明等式，可以令g(x) = f(x) - f(a) - (f(b) - f(a))/(b - a)(x - a)，然后判断g(x)是否满足罗尔定理（即在[a, b]内满足g(a) = g(b) = 0的点c存在）。
- 如果要求求解一个方程，可以将方程重写为f(x) = 0的形式，然后判断是否存在一个点c，使得f'(c) = 0。
- 如果要求证明不等式，可以根据微分中值定理的结论进行推导或拆分，例如利用f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，可以推导得到f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，然后根据f'(x)的符号判断不等式的成立情况。
步骤4：进行举例和求值。
如果问题需要求出具体数值，可以进行举例和求值，例如找几个满足题目要求的函数f(x)，然后计算出对应的点c和f'(c)的值。
需要注意的是，在应用微分中值定理时，要保证所给出的函数满足微分中值定理的前提条件，即连续且在开区间(a, b)上可导。
如果函数不满足这些条件，微分中值定理将不成立。
中值定理的应用
5. 证明有关中值问题的结论：
题型一：证明存在 使 f ( ) 0或A(常数).
例1. 设f (x) 在[0,1]上可导，0 f (x) 1,且 f (x) 1,
(0 x 1),证明在(0,1)内必有唯一的 , 使 f ( ) .
[这里关键，需找a,b使f (a) f (b)( 0) ]
2. 使f ( ) 0 :
(1)对f (x)用费马定理或罗尔定理； (2)需找三个点a,b,c,使f (a) f (b) f (c),(a b c) 则1 (a,b)使f (1) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2 ( x)
x
0.
构造辅助函数 F(x) f (x) g(x)
(3) 要证 f () f ()g() 0.
即证 F(x) eg(x) [ f (x) f (x)g(x)] 0.
x
(3) g(a) g(b) 0. 由Rolle定理 (a, b), 使g( ) 0.
即 ek f ( ) ek kf ( ) 0
由于ek 0, f ( ) kf ( ) 0
即 f ( ) k. f ( )
总结：通过恒等变形
7). 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维,设辅助函数. 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数,可考虑用柯
西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用
微分中值定理的总结及体会
, ，
由于 三点共线,故
，
即
再考察函数 ，其在 上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点 ，使 .
2.（2007）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,证明：存在 ，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ，则问题转化为证明 ,只需对 用罗尔定理，关键是找到 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点 ，使得 ，则在区间 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 用罗尔定理即可.
于是
【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
4.设函数 在 内连续,在 内可导,且 ，证明：存在
使 .
证明:设 ， ，由柯西中值定理可得，至少存在 ,使得
，即 ，
设 ，由拉格郞日中值定理可得，至少存在 ，使得
，即 ，
从而 ，即 .
,
又 ，得 ,
即存在 ,使
(Ⅱ)因 ，即 ,又 在闭区间 上连续,由介值定理知，至少存在一点 ,使得
.
因此 在区间 , 上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点 , ,有
,
由 在 上连续,在 内二阶可导,知 在 上连续,在 可导,用罗尔中值定理,至少存在一点 ,使得 .
【评注】一般地有如下结论：设 在 上连续，
由洛尔定理知,存在 使
而
于是有
即有
亦即
考点四:微分中值定理和积分中值定理相结合
1.设 在 内可导，且 ，证明：在 内方程 有根。
微分中值定理的基本结论与证明方法
f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )
é ë f ( a ) ¹ f ( b ) , m ¹ f ( a ) , m ¹ f ( b )ù û 任一值，则必
$ x Î ( a, b ) Þ f (x ) = m 。
● 其推论是： 当m £ m £ M ， 则必 $ x Î [ a, b ] Þ f (x ) = m 。x Î [ a, b ] 。 注意 x Î [ a, b ] 是闭区间。 ● 介值定理的本质是：在连续函数的的值域内任意取个值，总能找到一个函数值与它相等。 ● 导数的介值定理（达布定理） ：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可导（只有在闭区间的端点有单侧导数定义） ，且
g (a + d ) - g (a) < 0 Þ g (a) > g (a + d ) d 根据导数定义和极限的保号性 g ¢ ( b ) = f ¢ ( b ) - c > 0 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ®
g (b - d ) - g (b) > 0 Þ g (b - d ) < g (b ) -d 可见连续函数 g ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值不在端点取得， 故存在 x Î ( a, b ) ， 使得 g ( x ) $d > 0满足a < a + d < b - d < b Þ
f +¢ ( a ) ¹ f -¢ ( b ) ， 则 对 满 足 f +¢ ( a ) < c < f -¢ ( b ) 或 f +¢ ( a ) > c > f -¢ ( b ) 的 任 意 实 数 c ， 均 存 在
微分中值定理及其推论和推广
第4章 微分中值定理及其推论和推广微分中值定理是微分学中最重要的一个定理。
在许多理论证明中都会用到它或它的推论或它的推广。
为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理。
罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且()()f a f b =，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使()()()f b f a f c b a-'=-或者写成()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<推论1 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b称函数()F x 为函数()f x (在某区间上)的原函数，若d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=根据推论1，函数()f x 在同一个区间上的两个原函数只能相差一个常数。
推论2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数。
⑴若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数。
根据推论2，我们就得到如下结论(证不等式的方法)：设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数。
若满足条件：()i )()(a g a f =； ()ii ()()()f x g x a x b ''><<；则))(()(b x a x g x f <<> (见下图1)类似地，设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数。
《微分中值定理及洛必达法则》的教学方法
微分中值定理是一种微积分中的重要定理，它主要用于证明函数的单调性。
单调性是指函数在某一区间内单谷或单峰，即函数在区间内不存在两个相邻的极值点。
微分中值定理的形式是：如果函数f在区间[a,b]内连续且在区间(a,b)内可导，则对于任意的x∈(a,b)，都有f'(x)=f'(c)，其中c∈(a,b)。
洛必达法则是一种微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的变化情况。
它的形式是：如果函数f在区间[a,b]内连续且在区间(a,b)内可导，则对于任意的x∈(a,b)，都有f(x)=f(a)+∫af(t)dt。
这意味着，如果一个函数在区间(a,b)内可导，那么在该区间内的任意一点，函数的取值都可以表示为函数在区间[a,x]内的积分。
这就是洛必达法则的意义。
它的形式是：如果函数f在区间[a,b]内连续且在区间(a,b)内可导，则对于任意的x∈(a,b)，都有f'(x)=f'(c)，其中c∈(a,b)。
洛必达法则是一种微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的变化情况。
它的形式是：如果函数f在区间[a,b]内连续且在区间(a,b)内可导，则对于任意的x∈(a,b)，都有f(x)=f(a)+∫af(t)dt。
在教学中，可以先介绍函数的单调性和可积性，然后介绍微分中值定理和洛必达法则的基本概念和形式。
接着，可以给出一些例子来帮助学生理解这两个定理的意义和应用。
最后，可以给出一些练习题，帮助学生掌握这两个定理的使用方法。
在教学过程中，也可以使用图像和动画来帮助学生理解这两个定理的意义。
同时，可以让学生利用计算机软件（如Maple、Matlab等）来帮助理解这两个定理的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 证明有关中值问题的结论
作业
P134
提示:
题14. 考虑
7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15
题*15.
f (0) 0
f (0)
0
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
目录
上页
下页
返回
结束
5. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得
0
由
f (b) f (a) f ( ) , ( a, b) 的任意性知, b a 在 I 上为常数 .
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得 又 故所证等式在定义域
(常数)
3 15 4 _____ .
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
目录
上页
下页
返回
结束
2. 设 f ( x) C[ 0 , π ], 且在 ( 0 , π )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , π ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
即
目录
上页
下页
返回
结束
柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
注意:
y f (b)
d y f (t ) d x F (t )
f (a) O F (a)F ( )
目录 上页
F (b) x
下页 返回 结束
例4. 设
至少存在一点 证: 问题转化为证 使
证明
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
目录 上页 下页 返回 结束
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 问题转化为证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) 构造辅助函数 ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F (x ) 在 [ 0 , π ] 上满足罗尔定理条件.
目录
上页
下页
返回
结束
3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数F ( x) e x f ( x ) , 验证 F (x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
F (11 0 (0) )F
即
F ( )
目录
上页
下页
返回
结束
例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
使
下页
返回
结束
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y O 0 0
费马 目录 上页 下页
x0
x
证毕
返回 结束
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f (x)
y
f (b ) f ( a ) x ba
b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f (a ) . 至少存在一点 使 f ( ) ba f (b) f (a ) 0 证: 问题转化为证 f ( )
ba 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
目录 上页 下页 返回 结束
O a
b x
目录
上页
下页
返回
结束
微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
目录
上页
下页
返回
结束
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
y
y f (x)
O a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
目录 上页 下页 返回 结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a 成立. 例如,
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
O a
作辅助函数
(x) f (b) f (a ) x (x) f ( )
b a
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
y f ( x0 x)x
(0 1)
则
推论: 若函数 在区间 I 上满足
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , ( 1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
罗尔定理 f ( ) 0
y
y f (x)
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba
F ( x) x
y
O a b x 柯西中值定理
y f (x)
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
ln(1 x) ln x
1
(0 x x 1)
1 1 1 f 上单调增. ] 故当 x > 0 时,( x) [ ln(1 x) ln x ]在 x [ 从而 f ( x) 1 x x
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
即有
目录 上页 下页 返回 结束
目录
上页
下页
返回
结束
7. 设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 )回 结束
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( )