微分中值定理解题方法

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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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ln(1 x) ln x
1

(0 x x 1)
1 1 1 f 上单调增. ] 故当 x > 0 时,( x) [ ln(1 x) ln x ]在 x [ 从而 f ( x) 1 x x

1
分析:
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例5. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f (x) cos ln x sin1 x x
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微分中值定理及其相互关系
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
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例8. 证明
在
上单调增加.
ln f ( x) x ln(1 1 ) 证: x
x [ ln(1 x) ln x ]
令 F (t ) ln t , 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
y
y f (x)
O a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a 成立. 例如,
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
O a
作辅助函数
(x) f (b) f (a ) x (x) f ( )
b a
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
y f ( x0 x)x
(0 1)
则

推论: 若函数 在区间 I 上满足
证： 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 x1 f ( )( 2 1 ) 0 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) (1 2 )
罗尔定理 f ( ) 0
y
y f (x)
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba
F ( x) x
y
O a b x 柯西中值定理
y f (x)
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
即有
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7. 设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
b x
y
y f (x)
y
y
1
y
1 x
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O
x
1 O
O
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1
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x
有且仅有一个小于1 的 例1. 证明方程 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
3 15 4 _____ .
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
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2. 设 f ( x) C[ 0 , π ], 且在 ( 0 , π )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , π ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , ( 1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得
0
由
f (b) f (a) f ( ) , ( a, b) 的任意性知, b a 在 I 上为常数 .
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例2. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得 又 故所证等式在定义域
(常数)
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( )
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 问题转化为证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) 构造辅助函数 ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
y
y f (x)
y
f (b ) f ( a ) x ba
b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f (a ) . 至少存在一点 使 f ( ) ba f (b) f (a ) 0 证: 问题转化为证 f ( )
ba 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
即
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
x F (t ) y f (t )
注意:
y f (b)
d y f (t ) d x F (t )
f (a) O F (a)F ( )
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F (b) x
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例4. 设
至少存在一点 证: 问题转化为证 使
证明
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数F ( x) e x f ( x ) , 验证 F (x ) 在 [ x1 , x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ]上满足
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第一节 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
第三章
二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F (x ) 在 [ 0 , π ] 上满足罗尔定理条件.
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3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
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5. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
F (11 0 (0) )F
即
F ( )
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例5. 试证至少存在一点
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
使
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . π 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
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x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
O a
b x
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微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
(3) 证明有关中值问题的结论
作业
P134
提示:
题14. 考虑
7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15
题*15.
f (0) 0
f (0)
0

第二节 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
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一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y O 0 0
费马 目录 上页 下页
x0
x
证毕
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罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
罗尔定理条件.
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4. 设 f (x) 在 [0,1] 连续， 0 ,1) 可导，且 f (1) 0 , ( 求证存在 (0 ,1) , 使
证: 设辅助函数 ( x) x n f ( x) 显然 (x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得