中值定理证明题20141229
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内可导， 例4. 已知函数f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1) 且f (1) 0, 证明：在(0,1) 内存在一点， 使得f ( ) f ( ) .
分析 问题转化为证 f ( ) f ( ) 0. 证 设F ( x ) xf ( x ), 则F ( x )在[0,1]上连续，
若F ( x ) e x f ( x ) e x f ( x ) 0
f ( x ) f ( x ) 0
（3）证 (a , b )使f ( ) f ( ) 0 F ( x ) e x f ( x )
f ( ) f ( ) （4）证 (a , b)使 即f ( ) g( ) g( ) f ( ) 0 g( ) g( )
使得 ( ) 0. 即 cos f ( ) sin f ( ) 0.
1 1 1 由 ( ) 1 0, (1) 1 0, 则由零点定理 2 2 2 使得 ( ) 0. 从而 知存在 ( x)在[0, ]上满足罗尔定理的条件.至少存在一点
使得 ( ) 0. 即 f ( ) 1.
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设辅助函数 ( x) f ( x) x， (0) 0,
3.最大值、最小值及应用 4.函数方程根的讨论
根的存在性，根的唯一性，根的个数
5.等式、不等式的证明
微分中值定理，利用函数的性态（单调性，凹凸性，极值，最值）
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例1.(1)选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：
设在[0,1]上f ( x ) 0,则f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 几个数的大小顺序为 （ B）
1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f ( ) 0
F ( x)y x f ( x) f (a ) f (b)
y
O a b x 柯西中值定理
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba
F ( x) x
y
n0
y f ( x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0x) a O b 1 f ( n ) ( x )( x x ) n n 0 0 ! ( n 1) n 1 1 ( n 1)! f ( )( x x0 )
结论转化为 (sin xf ( x )) |x 0
设辅助函数 ( x) sin xf ( x) (0) 0,
(1) sin1 f (1), ( ) sin f ( ) f ( ).
由f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 知存在最大值点 2 则由费马引理得 f ( ) 0. 从而 ( ) sin f ( )=0. ( x)在[0, ]上满足罗尔定理的条件.
例5. 设函数 f ( x) 在 [0, ]上连续，在 (0, )内二阶可 2 2 导，且 f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 2
证明：至少存在一点 (0, 2 ) ，使得
cos f ( ) sin f ( ) 0.
分析
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (C ) f (1) f (0) f (1) f (0)
(B ) f (1) f (1) f (0) f 0 () ( D) f (1) f (0) f (1) f (0)
P182 2
分析：由拉格朗日中值定理得： f (1) f (0) f ( )(1 0) f ( ),
f (1) f ( ) f (0).
f (1) f (1) f (0) f (0).
0 1
f ( x ) 0, f ( x) 在 0,1单调增加 ,
F ( 2 ) 0，
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又 F ( x) 6 x f ( x) 6 x 2 f ( x) x 3 f ( x) ，得 F (0) 0 ， 由此得 (0, 2 ) (0,1)，使得
F ( ) 0 ．
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( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内二阶可 导，且 f (a) f (b) 0 ， f (c) 0 (a c b) ． 证明：至少存在一点 (a, b) ，使得 f ( ) 0． 证 由拉格朗日中值定理知，存在1 (a, c) ，使得
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
f ( ) 2 f ( x) 2 0. ( ) |x 0 分析 问题转化为证 f ( ) f ( x) x
f ( x) 2 (ln f ( x) 2ln x ) (ln f ( x ) ln x2 ) f ( x) x (ln x 2 f ( x )) 卸磨杀驴，脱掉对数函数.
第三章 习题课 中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用
二、 导数应用
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注：常见的一些函数构造技巧：
（1）证 (a , b )使f ( ) f ( )
F ( x) f ( x) x
x （2）证 (a , b )使f ( ) f ( ) 0 F ( x ) e f ( x )
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3 2 证明 : 函数 f ( x ) x 3 x a在[0,1] 内不可能有两个 (3) 零点，其中a为常数.
证: 假设x1 , x2 [0,1],使得f (x1 ) f (x2 ) 0.
则f ( x)在以x1，x2为端点的区间满足罗尔定理.
(0,1),使得f ( ) 0.
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2
2
2
2
例5. 设函数 f ( x) 在 [0, ]上连续，在 (0, )内二阶可 2 2 导，且 f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 2
证明：至少存在一点 (0, 2 ) ，使得
cos f ( ) sin f ( ) 0.
在(0,1) 内可导， F (0) F (1) 0. 由罗尔定理可得 : (0,1), F ( ) 0 f ( ) . F ( ) f ( ) f ( ), 即f ( )
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例4. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
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例1. (2) 若f ( x)在(a, b)内可导，则在(a, b)内（ B ） f (b ) f ( a ) ' A.至少存在一点，使f ( ) ; ba f (b) f (a ) ' B.不一定存在，使f ( ) ; ba 1, x 0 f (b) f (a ) ' C.必存在，使f ( ) ; 例如：f ( x ) 1 ba , x (0,1) x f (b) f (a ) ' D.不可能存在，使f ( ) 。 ba
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
2 ( ) 2 f ( ) f ( ) 0
即有
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例4. 设
而f ( x) 3 x2 6 x 3 x( x 2) 0, x (0,1)
矛盾. 所以f ( x)在[0,1] 内不可能有两个零点.
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( x) 在[0,1] 上有三阶导数，且 f (1) 0 ， 3 又函数 F ( x) x f ( x) ，证明在 (0,1) 内至少存在一点 ， 使得 F ( ) 0．
证: 问题转化为证 (sin xf ( x)) |x 0
设辅助函数 ( x) sin xf ( x)， (0) 0,
由f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 知存在最大值点 2 则由费马引理得 f ( ) 0. 从而 ( ) sin f ( )=0. ( x)在[0, ]上满足罗尔定理的条件.至少存在一点
例3.
设函数 f
f (c ) f ( a ) 同理，存在 2 (c, b)，使得 f (1 ) 0， ca f (b) f (c) f ( 2 ) 0， bc 在区间 [1 , 2 ]上再一次使用拉格朗日中值定理，知存在 (1 , 2 ) (a, b) ，使得 f ( 2 ) f (1 ) f ( ) 0． 2 1
F ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) ( F ( x ) f ( x) g( x ) f ( x ) g( x) f ( x ) g( x) f ( x ) g( x))
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一、 微分中值定理及其应用
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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题型小结
0 型， 型， 0 型，-型，1型， 00 型，0型 0
2.函数性态的研究及作图
函数的单调性与函数的凹凸性，极值、极值点及拐点
1.应用洛必达法则求未定式的极限
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2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
设辅助函数 ( x) x 2 f ( x)
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例5.
1 导，且 f (0) 0, f (1) 0, f ( ) 1. 2
设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可
证明：至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( ) 1.
证: 问题转化为证 ( f ( x) x) |x 0
例2. 设函数 f
证 由条件知函数 F ( x) 在区间[0,1] 上三阶可导，因
F (0) F (1) 0， 故存在点 1 (0,1) ，使得 F (1 ) 0， 2 3 F ( x) 3x f ( x) x f ( x)， 由此得 F (0) F (1 ) 0，所以存在 2 (0, 1 ) ，使得
内可导， 例4. 已知函数f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1) 且f (1) 0, 证明：在(0,1) 内存在一点， 使得f ( ) f ( ) .
分析 问题转化为证 f ( ) f ( ) 0. 证 设F ( x ) xf ( x ), 则F ( x )在[0,1]上连续，
若F ( x ) e x f ( x ) e x f ( x ) 0
f ( x ) f ( x ) 0
（3）证 (a , b )使f ( ) f ( ) 0 F ( x ) e x f ( x )
f ( ) f ( ) （4）证 (a , b)使 即f ( ) g( ) g( ) f ( ) 0 g( ) g( )
使得 ( ) 0. 即 cos f ( ) sin f ( ) 0.
1 1 1 由 ( ) 1 0, (1) 1 0, 则由零点定理 2 2 2 使得 ( ) 0. 从而 知存在 ( x)在[0, ]上满足罗尔定理的条件.至少存在一点
使得 ( ) 0. 即 f ( ) 1.
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设辅助函数 ( x) f ( x) x， (0) 0,
3.最大值、最小值及应用 4.函数方程根的讨论
根的存在性，根的唯一性，根的个数
5.等式、不等式的证明
微分中值定理，利用函数的性态（单调性，凹凸性，极值，最值）
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例1.(1)选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：
设在[0,1]上f ( x ) 0,则f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 几个数的大小顺序为 （ B）
1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f ( ) 0
F ( x)y x f ( x) f (a ) f (b)
y
O a b x 柯西中值定理
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba
F ( x) x
y
n0
y f ( x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0x) a O b 1 f ( n ) ( x )( x x ) n n 0 0 ! ( n 1) n 1 1 ( n 1)! f ( )( x x0 )
结论转化为 (sin xf ( x )) |x 0
设辅助函数 ( x) sin xf ( x) (0) 0,
(1) sin1 f (1), ( ) sin f ( ) f ( ).
由f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 知存在最大值点 2 则由费马引理得 f ( ) 0. 从而 ( ) sin f ( )=0. ( x)在[0, ]上满足罗尔定理的条件.
例5. 设函数 f ( x) 在 [0, ]上连续，在 (0, )内二阶可 2 2 导，且 f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 2
证明：至少存在一点 (0, 2 ) ，使得
cos f ( ) sin f ( ) 0.
分析
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (C ) f (1) f (0) f (1) f (0)
(B ) f (1) f (1) f (0) f 0 () ( D) f (1) f (0) f (1) f (0)
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分析：由拉格朗日中值定理得： f (1) f (0) f ( )(1 0) f ( ),
f (1) f ( ) f (0).
f (1) f (1) f (0) f (0).
0 1
f ( x ) 0, f ( x) 在 0,1单调增加 ,
F ( 2 ) 0，
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又 F ( x) 6 x f ( x) 6 x 2 f ( x) x 3 f ( x) ，得 F (0) 0 ， 由此得 (0, 2 ) (0,1)，使得
F ( ) 0 ．
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( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内二阶可 导，且 f (a) f (b) 0 ， f (c) 0 (a c b) ． 证明：至少存在一点 (a, b) ，使得 f ( ) 0． 证 由拉格朗日中值定理知，存在1 (a, c) ，使得
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
f ( ) 2 f ( x) 2 0. ( ) |x 0 分析 问题转化为证 f ( ) f ( x) x
f ( x) 2 (ln f ( x) 2ln x ) (ln f ( x ) ln x2 ) f ( x) x (ln x 2 f ( x )) 卸磨杀驴，脱掉对数函数.
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一、 微分中值定理及其应用
二、 导数应用
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注：常见的一些函数构造技巧：
（1）证 (a , b )使f ( ) f ( )
F ( x) f ( x) x
x （2）证 (a , b )使f ( ) f ( ) 0 F ( x ) e f ( x )
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3 2 证明 : 函数 f ( x ) x 3 x a在[0,1] 内不可能有两个 (3) 零点，其中a为常数.
证: 假设x1 , x2 [0,1],使得f (x1 ) f (x2 ) 0.
则f ( x)在以x1，x2为端点的区间满足罗尔定理.
(0,1),使得f ( ) 0.
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2
2
2
2
例5. 设函数 f ( x) 在 [0, ]上连续，在 (0, )内二阶可 2 2 导，且 f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 2
证明：至少存在一点 (0, 2 ) ，使得
cos f ( ) sin f ( ) 0.
在(0,1) 内可导， F (0) F (1) 0. 由罗尔定理可得 : (0,1), F ( ) 0 f ( ) . F ( ) f ( ) f ( ), 即f ( )
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例4. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
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例1. (2) 若f ( x)在(a, b)内可导，则在(a, b)内（ B ） f (b ) f ( a ) ' A.至少存在一点，使f ( ) ; ba f (b) f (a ) ' B.不一定存在，使f ( ) ; ba 1, x 0 f (b) f (a ) ' C.必存在，使f ( ) ; 例如：f ( x ) 1 ba , x (0,1) x f (b) f (a ) ' D.不可能存在，使f ( ) 。 ba
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
2 ( ) 2 f ( ) f ( ) 0
即有
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例4. 设
而f ( x) 3 x2 6 x 3 x( x 2) 0, x (0,1)
矛盾. 所以f ( x)在[0,1] 内不可能有两个零点.
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( x) 在[0,1] 上有三阶导数，且 f (1) 0 ， 3 又函数 F ( x) x f ( x) ，证明在 (0,1) 内至少存在一点 ， 使得 F ( ) 0．
证: 问题转化为证 (sin xf ( x)) |x 0
设辅助函数 ( x) sin xf ( x)， (0) 0,
由f (0) 0, f (1) 3, f ( ) 1. 知存在最大值点 2 则由费马引理得 f ( ) 0. 从而 ( ) sin f ( )=0. ( x)在[0, ]上满足罗尔定理的条件.至少存在一点
例3.
设函数 f
f (c ) f ( a ) 同理，存在 2 (c, b)，使得 f (1 ) 0， ca f (b) f (c) f ( 2 ) 0， bc 在区间 [1 , 2 ]上再一次使用拉格朗日中值定理，知存在 (1 , 2 ) (a, b) ，使得 f ( 2 ) f (1 ) f ( ) 0． 2 1
F ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) ( F ( x ) f ( x) g( x ) f ( x ) g( x) f ( x ) g( x) f ( x ) g( x))
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一、 微分中值定理及其应用
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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题型小结
0 型， 型， 0 型，-型，1型， 00 型，0型 0
2.函数性态的研究及作图
函数的单调性与函数的凹凸性，极值、极值点及拐点
1.应用洛必达法则求未定式的极限
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2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
设辅助函数 ( x) x 2 f ( x)
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例5.
1 导，且 f (0) 0, f (1) 0, f ( ) 1. 2
设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可
证明：至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( ) 1.
证: 问题转化为证 ( f ( x) x) |x 0
例2. 设函数 f
证 由条件知函数 F ( x) 在区间[0,1] 上三阶可导，因
F (0) F (1) 0， 故存在点 1 (0,1) ，使得 F (1 ) 0， 2 3 F ( x) 3x f ( x) x f ( x)， 由此得 F (0) F (1 ) 0，所以存在 2 (0, 1 ) ，使得