中值定理的证明题
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
考研：微分中值定理的证明题汇总
f ( )
唯一性： （反证法） 假设有两个点 1 , 2 (0,1) ，且 1 2 ，使得 F (1 ) F ( 2 ) 0
F ( x) 在 [0,1] 上连续且可导，且 [1 , 2 ] [0,1] F ( x) 在 [1 , 2 ] 上满足 Rolle 定理条件 必存在一点 (1 , 2 ) ，使得： F () f () 1 0
而 f (a) 0 故在 (a, a
f (a) ) 内 f ( x) 0 有唯一的实根 k
1 2 t0 t sin 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数 f (t ) 在 [0, x] 上应用拉 t t 0 0
格朗日中值定理得：
f ( x ) f ( 0 ) x0 1 x2 s i n 0 1 1 1 x x s i n f ( ) 2 s in co s x) (0 x0 x
即： cos
1
2 sin
1
x sin
1 x
( 0 x )
因0 x， 故当 x 0 时， 由m i l 2 n s i 0 0，
0
1
x 0
lim x sin
1 0 x
得： lim cos
x 0
1
0 ，即 lim cos
0
【证明】令 G( x) f (a x) f ( x) ， x [0, a] ． G( x) 在[0,a]上连续，且
G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a) G(0) f (a) f (0)
微积分中值定理习题课
ek f ( ) ek kf ( ) 0
[e kx f ( x ) (e kx ) f ( x )]x 0
[e
kx
f ( x )]x 0.
1
设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且
f (a ) f (b) 0, f ( x ) 0, x (a , b). 证明: f ( ) k. 对任意的实数k, 存在点 (a b), 使 f ( ) 证 设g( x ) ekx f ( x ) [e kx f ( x )]x 0 ; 则(1) g( x )在[a, b]上连续 ;(2) g( x )在(a, b)内可导
设函数 f (x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导, 且f (0) f (1) f ( 2) 3, f ( 3) 1. 试证必存在 (0,3), 使f ( ) 0. x 在 f[( 在 [0, 2]上连续 , 证 因为 因为 ff(( (x)在 cx , )3] 上连续 , c)) [0, 1 3] f上连续 ( 3), 且 ,f 所以 且在 2]上必有最大值 M和最小值 必存在 ,于是 在(c,[0, 3)内可导 , 所以由Rolle 定理知,m m (cf,3 (0 (M , ), m f f 1) 0 M (( )) 0,3 使 . , m f ( 2) M . f (0) f (1) f ( 2) m M. 故 3 由介值定理知,至少存在一点 c [0,2], 使
综上, 存在 (a, b), 使得h( ) 0.
6分
4
考研数学(一、二、三)11分
(1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在
[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (a , b ), 使得f (b) f (a ) f ( )(b a ). (2) 证明: 若函数f ( x )在x 0处连续, 在(0, ) ( x ) A, 则f (0)存在, ( 0)内可导, 且 lim f
微分中值定理的证明题
证：将上等式变形得：
作辅助函数
f
(x)
由拉格朗日定理得：
即
f
1 eb b
(1) b 1
1
xe x
ba
11
ba
1 a
，则
f (1) a
1
ea
即： aeb bee (1 )e (a,b)
(1
f
1
e
1
1 b
ba
(x)
f
1
(1 )
)e
在[1
1
1
1
e
,
ba
1
f ( ) 1 f ( ) 1
f ()
1
5. 设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得
f (a ) f ( ) .
【分析】 f (x) 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根 的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微分中值定理题目
例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。
利用柯西中值定理证明题目
利用柯西中值定理证明题目柯西（Cauchy）中值定理是一个著名的数学重要定理，它的证明不仅在数学中具有重要的地位，而且在其他领域也有重要的应用。
在这篇文章中，我们将用柯西中值定理来证明一个题目。
全文让我们从柯西中值定理的定义开始。
柯西中值定理（Cauchy Intermediate Value Theorem）定义为：如果f（x）是在区间[a，b]上连续的函数，并且在a处为f（a）处小于c（它是一个数），而在b处为f（b）大于c，那么在[a，b]之间必定存在一个x0处，它满足f（x0）=c。
现在让我们来证明题目：设f（x）是任意定义在R上的单调函数，如果f（x）有任意一个根，那么f（x）在R上一定是连续的。
为了进行证明，我们首先考虑当f（x）有一个根的时候。
在这种情况下，我们可以定义一个区间[a，b]，其中a是根的位置，b是任意数。
由于f（a）=0，f（b）>0，所以由柯西中值定理，我们知道在[a，b]之间一定存在一个x0处满足f（x0）=0，这就是a处的根。
这说明，在[a，b]之间，f（x）的值由小于0的值变化为大于0的值，也就是说f（x）在区间[a，b]上存在连续性。
接下来，我们来考虑当f（x）存在两个或多个根的情况。
在这种情况下，我们可以将区间[a，b]划分为多个子区间，每个子区间内至少存在一个根，每个子区间内f（x）的值由小于0变化为大于0，也就是说，f（x）在每个子区间内也都有连续性。
因此，由以上分析，我们可以得出结论，即f（x）存在任意一个根，就说明f（x）在整个定义域R上一定是连续的。
结论综上所述，我们证明了设f（x）是任意定义在R上的单调函数，如果f（x）有任意一个根，那么f（x）在R上一定是连续的定理。
柯西中值定理的重要性不言而喻，它是我们证明本篇文章的主要理论背景。
微分中值定理的证明题660
微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。
证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。
2.设，证明：，使得。
证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。
3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。
证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。
试证至少存在一个(0，1)，使=1。
分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。
各种中值定理习题
题目1证明题 一般。
使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==bbdx x f dx x f dx x f b a b a x f aa)(21)()( ),( ],[ )(ξξξ解答_从而原式成立。
又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+===∈>=<-=∴>∈-=ξξξξξξξξξ aaaaaaa xa)(2)()()()()()()(0) F(b)(a, 0)()(0)()(0)( ],[)()()(dxx f dxx f dx x f dxx f dx x f dt t f dtt f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dtt f dt t f x F bbb bbbbxQ题目2证明题 一般。
证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b Mdx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰解答_。
有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M ,(x)f x)(a, ))(( )()()( , ],[)(),(,:a b Mdx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x b a b a -=-≤-≤∴∈∀≤'∈-'=-=∈∀⎰⎰ ξξ题目16证明题。
证明：上连续，，在设⎰⎰-+=>aadx x a f x f dx x f a a x f 02 0)]2()([)( )0( ]2,0[ )(解答_。
，则令由于⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-=-=+=a aaaaaaadx x a f x f dtt a f dx x f dx x f dtdx t a x dxx f dx x f dx x f 02 02 02 0)]2()([ )2( )( )(2)()()(题目5证明题。
拉格朗日中值定理证明不等式例题
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它的证明以及在不等式证明中的应用在数学学科中具有重要意义。
在本文中，将以拉格朗日中值定理为基础，给出一个例题的证明过程。
1. 拉格朗日中值定理在介绍例题之前，首先给出拉格朗日中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在开区间(a, b)内存在一点ξ，使得f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)其中，ξ属于(a, b)。
2. 例题描述现有函数f(x) = x^2在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)内可导。
需要证明不等式f(1) - f(0) ≤ 2(1 - 0)3. 证明过程根据拉格朗日中值定理，不等式左边可以表示为f(1) - f(0) = f'(ξ)(1 - 0)其中ξ属于(0, 1)。
又因为f(x) = x^2，在区间(0, 1)内可导，所以可以求出导数f'(x) = 2x。
将导数代入上式，得到f(1) - f(0) = 2ξ(1 - 0)又因为ξ属于(0, 1)，所以2ξ ≤ 2。
得出不等式f(1) - f(0) ≤ 2(1 - 0) 成立。
4. 结论通过拉格朗日中值定理，成功证明了不等式f(1) - f(0) ≤ 2(1 - 0)成立。
拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，不仅在不等式证明中有着重要的应用，同时也为函数的性质研究提供了重要的工具。
在数学研究中，我们可以通过拉格朗日中值定理，将函数的平均变化率与导数通联起来，从而得出许多重要的结论。
拉格朗日中值定理在数学研究中有着不可或缺的地位。
拉格朗日中值定理作为微积分中的一个核心定理，具有极其重要的意义。
它的应用范围不仅局限于不等式证明，而且在函数的性质研究、最值问题、曲线的切线斜率等方面都能够发挥重要作用。
在接下来的内容中，我们将继续讨论拉格朗日中值定理在函数性质研究中的应用，着重探讨其在最值问题以及曲线的切线斜率方面的应用。
中值定理的参考题(有分析和解答)
( 1 ) f ( 1 ) 1 1 1 1 0 ， 2 2 2 22
(1) f (1)10110 ，
由零点定理知， ( 1, 1) ，使()0 ，即 f () 。 2
（2）要证 f ( x)[ f ( x) x]10 在(0,) 内有根，即证 [ f ( x)1][ f ( x) x]0 在(0,) 内有根。
值定理，故( x,
x)
，使
f ( x) f ( x) x x
f
()
，
从而 lim f ( x) f ( x) lim f () lim f () A ，
xx x x
xx
x
即 f ( x) A 。 同理可证 f ( x) B 。
分段函数在分段点 x处的导数 f ( x) 的求法
方法一
求出
f
(
x)
（2）分析：所证结论中的g() 的位置相当于（1） 中的 ，而（1）中的 是由ex 求导而得到的， 故可设辅助函数G( x)e g( x) f ( x) 。
证明：设G( x)e g(x) f ( x) ，
则 G( x)C[a, b] ，G( x)D(a, b) ，且G(a)G(b)0 ，
由罗尔定理可知，(a, b) ，使G()0 ，
分析：（1）即证[ f ( x)f ( x)] x 0 。
注意到[ex f ( x)]ex[ f ( x)f ( x)] ， 故取 F ( x)ex f ( x) 。
证明：设 F(x)ex f (x) ， 则 F ( x)C[a, b] ， F ( x)D(a, b) ，且 F (a) F (b)0 ， 由罗尔定理可知，(a, b) ，使F ()0 ， 即e[ f ()f ()]0 ， 由于e 0 ，从而 f ()f ()0 。
数学分析6微分中值定理及其应用总练习题详解
第六章 微分中值定理及其应用总练习题1、证明：若f(x)在(a,b)内可导，且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.证：定义f(a)=+→a x lim f(x)，f(b)=-→b x lim f(x)，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，由罗尔中值定理知 至少存在一点ξ∈(a,b)，使f ’(ξ)=0.2、证明：若x>0，则 (1)1x +-x =θ(x)x 21+，其中41<θ(x)<21；(2)0x lim →θ(x)=41，+∞→x lim θ(x)=21. 证：(1)由拉格朗日中值定理得：1x +-x =θ(x)x 21+, (0<θ(x)<1)，∴θ(x)x 2+=x1x 1-+=1x ++x ，∴θ(x)=41+21[1)x(x +-x].∵1)x(x +-x>2x -x=0，∴41+21[1)x(x +-x]>41； 又1)x(x +-x=x1)x(x x ++<xx x 2+=21，∴41+21[1)x(x +-x] <21.∴41<θ(x)<21.(2)(1)中已证θ(x)=41+21[1)x(x +-x]，∴0x lim →θ(x)=0x lim →{41+21[1)x(x +-x]}=41； +∞→x lim θ(x)=+∞→x lim {41+21[1)x(x +-x]}=41+21+∞→x lim 1x111++=21.3、设函数f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0. 证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).证：记F(x)=xf (x)，G(x)=x 1，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得)(G )(F ξξ''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)，又)(G )(F ξξ''=f(ξ)- ξf ’(ξ)，∴f(ξ)- ξf ’(ξ)=G(a)-G(b)F(a)-F(b).又f(b)f(a)b a b -a 1=b -a bf (a)-af (b)=a1-b 1a f(a)-bf(b)=G(a)-G(b)F(a)-F(b)， ∴f(b)f(a)b ab -a 1=f(ξ)- ξf ’(ξ).4、设函数f 在[a,b]上三阶可导，证明： 存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ). 证：记F(x)=f(x)-f(a)-21(x-a)[f ’(x)+f ’(a)]，G(x)=(x-a)3，则 F,G 在[a,b]上二阶可导，F ’(x)=f ’(x)-21[f ’(x)+f ’(a)]-21(x-a)f ”(x)，G ’(x)=3(x-a)2，F ”(x)=f ”(x)-21f ”(x)-21f ”(x)-21(x-a)f ’”(x)=-21(x-a)f ’”(x)；G ”(x)=6(x-a).且F(a)=F ’(a)=0，G(a)=G ’(a)=0.根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得)(G )(F ηη''=G(a)-G(b)F(a)-F(b)=G(b)F(b)=3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'， 又根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, η)，使得)(G )(F ξξ''''=(a)G -)(G (a)F -)(F ''''ηη=)(G )(F ηη''，又)(G )(F ξξ''''=a)-6()(f )a (21-ξξξ'''-=-121f ”’(ξ).∴3a)-(b ](a)f (b)f )[a -b (21-f(a)-f(b)'+'=-121f ”’(ξ). ∴f(b)=f(a)+21(b-a)[f ’(a)+f ’(b)]-121(b-a)3f ”’(ξ).5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明： 对x>0，有0<x)ln(11+-x1<1.证：f ’(x)=x11+. 对f 在区间[0,x]应用拉格朗日中值定理得： f ’(ξ)=0-x f (0)-f (x)=x ln1-x)ln(1+= x x)ln(1+，∴ln(1+x)=xf ’(ξ)=ξ1x+. ∴x)ln(11+=x ξ1+=x 1+x ξ；即x)ln(11+-x 1=xξ.又0<xξ<1，∴0<x)ln(11+-x1<1.6、设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数，且f(x)=(na a a x n x 2x 1+⋯++)x1. 证明：(1)0x lim →f(x)=nx n x 2x 1a ··a ·a ⋯；(2)∞→x lim f(x)=max{a 1,a 2,…,a n }. 证：(1)0x lim →f(x)=e na a a ln x 1lim x n x 2x 10+⋯++→x = exn x 2x 1nx n 2x 21x 10a a a a ln a a ln a a ln a lim+⋯+++⋯++→x= ena ln a ln a ln n21+⋯++=n xn x 2x 1a ··a ·a ⋯. (2)记A=max{a 1,a 2,…,a n }，则0<Aa k≤1, (k=1,2,…,n)∵f(x)=A[n)A a()A a ()Aa (x n x 2x 1+⋯++]x 1，∴A(n 1)x 1<f(x)≤A ， 又∞→x lim A(n1)x1=A ，∴∞→x lim f(x)=A=max{a 1,a 2,…,a n }.7、求下列极根： (1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11；(2)2xx x x)ln(1-xe lim+→；(3)sinxx 1sinx lim20x →.解：(1)=→1x lim (1-x 2)x)-ln(11=e)x 1ln()x 1ln(lim21x --=→= e21x x1)x 1(x 2lim--=→=ex 1x 2lim1x +=→=e.(2)2x 0x x x)ln(1-xe lim +→=2xx 11-xe e lim xx0x ++→=2x)(11xe 2e lim 2x x 0x +++→=23. (3)sinxx 1sinx lim20x →=)sinx x ·x 1sin x (lim 0x →=)x 1sin x (lim 0x →·sinx x lim 0x →=0·1=0.8、设h>0，函数f 在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f (n+2)(a)≠0, f 在U(a,h)内的泰勒公式为：f(a+h)=f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )θh a (f 1)(n +++h n+1, 0<θ<1.证明：θlimh →=2n 1+. 证：f 在U(a,h)内带皮亚诺型余项的n+2阶泰勒公式为：f(a+h)= f(a)+f ’(a)h+…+n!)a (f (n)h n +1)!(n )a (f 1)(n ++h n+1+2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o(h n+2),与题中所给泰勒公式相减得：1)!(n )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n +-+++h n+1=2)!(n )a (f 2)(n ++h n+2+o (h n+2).∴1)!(n θ+·θh )a (f )θh a (f 1)(n 1)(n ++-+=2)!(n )a (f 2)(n +++2n 2n h )h (++o .令h →0两端取极限得：1)!(n )a (f 2)(n ++θlim 0h →=2)!(n )a (f 2)(n ++，∴θlim 0h →=2n 1+.9、设k>0，试问k 为何值时，方程arctanx-kx=0存在正根.解：若方程arctanx-kx=0有正根x 0，∵f(x)=arctanx-kx 在[0,x 0]上可导， 且f(0)=f(x 0)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0,x 0)，使得 f ’(ξ)=2ξ11+-k=0. 可见0<k<1. 反之，当0<k<1时，由f ’(x)=2x11+-k 连续，f ’(0)=1-k>0， ∴存在某邻域U(0,δ)，使得在U(0,δ)内，f ’(x)>0，f(x)严格递增， 从而存在a>0，使f(a)>f(0)=0. 又+∞→x lim f(x)=-∞，∴存在b>a ，使f(b)<0， 由根的存在定理知，arctanx-kx=0在(a,b)内有正根. ∴当且仅当0<k<1时，原方程存在正根.10、证明：对任一多项式p(x)来说，一定存在点x 1与x 2，使p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上分别严格单调.证：设p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+ a n-1x+a n ，其中a 0≠0，不妨设a 0>0. 当n=1时，p(x)=a 0x+a 1，p ’(x)=a 0>0，∴p(x)在R 上严格增，结论成立. 当n ≥2时，p ’(x)=na 0x n-1+(n-1)a 1x n-2+…+ a n-1，若n 为奇数，则∞→x lim p ’(x)=+∞，∴对任给的G>0，存在M>0，使 当|x|>M 时，有p ’(x)>G>0，取x 1=M ，x 2=-M ，则 p(x)在(x 1,+∞)与(-∞,x 2)上均严格增.若n 为偶数，则+∞→x lim p ’(x)=+∞，-∞→x lim p ’(x)=-∞， ∴对任给的G>0，存在M>0，使当x>M 时，有p ’(x)>G>0，当x<-M 时，p ’(x)<-G<0，取x 1=M ，x 2=-M ， 则p(x)在(x 1,+∞)上严格增，在(-∞,x 2)上严格减. 综上原命题得证。
拉格朗日中值定理证明题
拉格朗日中值定理证明题拉格朗日中值定理，又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
该定理于1797年由法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》的第六章提出，因此得名。
定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
该定理的应用十分广泛，可以用于证明函数的增减性、求函数的极值、证明不等式等方面。
在证明题中，拉格朗日中值定理常常作为解决问题的关键步骤出现。
通过应用该定理，可以将一些看似复杂的问题转化为较为简单的形式，从而更容易地得出结论。
需要注意的是，在使用拉格朗日中值定理时，必须满足定理的前提条件，即函数在闭区间上连续且在开区间上可导。
此外，还需要注意定理中的“至少存在一点”这一表述，意味着可能存在多个满足条件的点。
因此，在具体应用时需要根据问题的具体情况进行分析和判断。
除了基本的拉格朗日中值定理，还有一些相关的定理和推论，它们可以进一步扩展和应用拉格朗日中值定理的思想。
其中一个重要的推论是柯西中值定理，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且它们的导数之比在某个开子区间上不等于零，则在这个开子区间内至少存在一点，使得这两个函数在该点的导数之比等于它们在区间端点的函数值之比。
这个推论可以用于解决一些涉及两个函数之间关系的问题。
另一个与拉格朗日中值定理相关的重要定理是泰勒中值定理。
泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的高阶形式，它可以用来近似表示一个函数在某个点附近的行为。
该定理表明，如果一个函数在闭区间上有n+1阶导数，则在该区间内至少存在一点，使得函数在该点的n 阶导数等于函数在区间端点的n阶差商。
这个定理可以用于推导泰勒级数，从而用多项式近似表示一个函数。
微分中值定理证明题
一、微分中值定理及积分中值定理微分中值定理分为以下三个定理1.罗尔定理如果函数f（x）满足：（1）在闭区间a，b连续（2）在开区间（a，b）可导（3）f（a）=f（b）则在开区间（a，b）上至少存在一个ξ使得f′（ξ）=02.拉格朗日定理如果函数f（x）满足：（1）在闭区间a，b连续（2）在开区间（a，b）可导则在开区间（a，b）上至少存在一个ξ使得f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）3.柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足（1）在闭区间[a，b]上连续（2）在开区间（a，b，）内可导，且F（x）在（a，b）内的每一点的导数处均不为零则在（a，b）内至少有一点ξ，使f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）4.积分中值定理如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则在a，b上至少存在一个点ξ，使得下式成立∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）（a≤ξ≤b）在讲解过程中要区分清楚前三个中值定理的条件关系，让学生知道拉格朗日定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日定理的特例，如果给拉格朗日定理加上最后一个条件就可以得到罗尔定理的结论。
其次再谈结论之间的区别，最后应该从证明方面讲三者间的关联。
即后两个定理都可以通过构造辅助函数利用罗尔定理进行证明。
教学中需要提前告诉学生以后还会学到一个积分中值定理，并且在积分中值定理讲完之后最好通过习题将前后中值定理联系起来，加深学生对中值定理的理解。
二、典型习题1.通过结论构造原函数法理解中值定理例题1：设f（x）在R上可导，证明在f（x）的两个零点之间一定有点ξ使得f（ξ）+f′（ξ）=0在讲解这道题目的过程中要引导学生学会构造函数，先把表达式f（ξ）+f′（ξ）=0中的ξ改为x，然后让学生分析函数f（x）+f′（x）=0会是哪个函数通过求导得到的，引导学生发现可以构造一个函数F（x）=exf（x），分析函数和罗尔定理的关系最后证明结论。
例题2：证明：若f（x），g（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，f（a）=f（b）=0，g（x）≠0 ，则至少存在一个点ξ∈a，b使得f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0这道题目的做法和上题有类似的地方，都要把结论表达式中的ξ改为x，例如f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0改为f′（x）g（x）+2g′（x）f（x）=0再引导学生分析等号左边的函数是那个函数求导后的记过当学生通过多次试错后构造出F（x）=f（x）g2（x）后，他们对问题的理解也就得到升华。
中值定理证明题
5、验证罗尔定理对在上的正确性f x x x ()[,]=+-33101 6、验证罗尔定理对在上的正确性f x x x x ()[,].=+---32581212 7、验证罗尔定理对函数在区间上的正确性f x x x x ()[,].=-+-32611623 8、.)2,0(0)12cos(3cos cos :012)1(3,,,2112121内至少有一个实根在证明满足设实数π=-++=--++--x n a x a x a n a a a a a a n n n n9、.)1,0(234:23内至少一个根在求证c b a cx bx ax ++=++ 10、求证方程的根不超过三个不计根的重数:().e a x b x c x =++211、.0)(,1)(0111≡+++++=--x f n a x a x a x a x f n n n n 试证明个不同的零点有设12、.)()()(:,)(的零点的两个零点间一定有求证可导设x f x f x f x f '+ 13、.0)(),,(:).(,)(lim )(lim ,),()(=ξ'∈ξ==-+→→f b a A A x f x f b a x f bx ax 使至少存在一点试证为有限值且内可导在有限区间设函数14、[].0)()2,1(,0)2()1(,)2,1(,2,1)(),()1()(=ξ''∈ξ==-=F f f x f x f x x F 使试证明存在且内二阶可导在具有一阶连续导数在其中设15、[].)(,)1,0(:,1)1(,1)0(,)1,0(,1,0)(ξ--=ξ'ξ==e f e f f x f 使内至少存在一点在求证且可导在上连续设在16、[]),()()()(,,)(321030x f x f x f x f x x x f ===且上具有三阶导数在设,3210x x x x <<<其中 ().0)(,,30=ξ''ξf x x 使内存在试证明在 17、(),0)()(0)(,),(,],[,,)(==≠∈b f a f x f b a x b a b a x f 若时且当可导在上连续在设.)()()(k f f b a k =ξξ'<ξ<ξ使存在点证明对任意实数 18、,0)()()(,),(,],[)(='==a f b f a f b a b a x f 且内二阶可导在上有连续导数在设函数.0)(,),(=''c f c b a 使内至少存在点证明在19、)( )0,(),0,(13)(2b a b a xc x x x y y <++==轴有两个交点与设抛物线cx x y x f y b f a f b a x f y ++=====13)(,0)()(,],[)(2与且曲线上二阶可导在.2)(),(,,),(=ξ''ξf b a b a 使内存在一点在求证内有一个交点在 20、.)(,1)(,),()(最多有一个实试证明方程且上可微在设x x f x f x f =≠'+∞-∞ 21、.0)()(3,)1,0(,0)1()1(0)0(,]1,0[)(='''+''='==c f c c f c f f f x f 使内存在一点证明在且上三阶可导在设22、．使内存在一点证明在且内可导在上连续在设)()(2)(,)1,0(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(c f c f c f c c f x f '=+'=23、).()1()1()()()1,0(,0)()1,0(,0)0(,)1,0(]1,0[)(为自然数使证明存在有对任意且内可导上连续在在设n c f c f c f c f n c x f x f x f --'='∈≠∈= 24、)1()1()()()1,0(,0)()1,0(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(c f c f c f c f c x f x f x f --'='∈≠∈=使证明存在有对任意且内可导在上连续在设 25、.0)()(2)1,0(,0)1(,)1,0(,]1,0[)(='+∈=c f c c f c f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设26、).(0)()(,)1,0(:0)1(,)1,0(]1,0[)(为正整数使内至少存在一点在证明且内可导上连续在在设n c nf c f c c f x f =+'=27、有且仅有三个证明方程0132=---x x e x28、.)(),(,1)(),()(,],[)(x x f x b a x f b a b x f a b a x f =≠'<<值适合内有仅有一个证明在上有在且上可导在设函数29、.,1),0()()(:0:),0()(21为任意实数其中个不同零点内至少有在求证个不同零点可导且有在设a n x f x af x x x n x f n-+∞'+<<<<+∞30、证明方程有且仅有三个实根212x x -=.31、设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 32、.)1,0(1)()1(,,4)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(2内至少有一个实根在方程试证明且内可导在上连续在设函数='+π==x f x f f x f33、.),1(1)(,,1)(,0)1(,),1(,],1[)(内至少有一实根在证明方程且内可导在上连续在设e x f x e f f e e x f ='==34、.)4,0(1)(cos ,1)4(,0)0(,)4,0(,4,0)(2内至少有一实根在试证明方程且内可导在上连续在设函数π='=π=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡πx f x f f x f35、.)2,0(cos )(,1)2(,0)0(,)2,0(,2,0)(内至少有一实根在试证明方程且内可导在上连续在设π='=π=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡πx x f f f x f36、.0)()()(),2,0(,0)2(,)2,0(,]2,0[)(=ξ'⋅ξ+ξπ∈ξ=πππf tg f f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设37、)(2sin )(2),4,0(,0)4(,)4,0(,]4,0[)(='⋅+π∈=πππc f c c f c f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设.38、)()1()(),1,0(,0)1(,)1,0(,]1,0[)(=ξ'-+ξ∈ξ=ξ-f e f f x f 使证明存在一点且内可导在上连续在设.39、)(arcsin 1)(),21,0(:,0)21(,)21,0(,]21,0[)(2='⋅-+∈=c f c c c f c f x f 使至少存在一点证明且内可导在上连续在设40、.)(),0(:,0)(),0(,)(1,],0[)(xae xf x a x f a e x f a x f =<'<<使内有且仅一个在证明内在且上可导在设函数41、.tan )(,)4,0(,1)(4,0],4,0[,1)(0,]4,0[)(x x f x x f x x f x f =π<'⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ∈<<π使内有且仅有一个证明在内在且上可导在设函数42、.sin )(,)2,0(,cos )(:)2,0(]),2,0[(1)(0,]2,0[)(x x f x x x f x x f x f =π≠'ππ∈<<π使内有且仅有一个证明在一个点处内的每在且上可导在设函数43、.arctan )(,)1,0(,11)()1,0(,4)(0,]1,0[)(2x x f x xx f x f x f =+≠'π<<使内有且仅有一个证明在内的每一点处在且上可导在设函数44、().ln )(,,11)(),1(,1)(0,],1[)(x x f x e x f x e x f e x f =<'<<使内有且仅有一个证明在内在且上可导在设函数45、设为偶数且试证方程仅有一个实根n a x a x a x n n n ,,.().≠+=+=00设试用罗尔定理证明方程仅有一实根a b x a x b x c 232300-<+++=,.47、.)1,0(0:,0113121,,,221021010内至少有一实根在方程试证的实数是满足设=++++=+++++nnn n x a x a x a a a n a a a a a a48、．其中使内至少有一个试证明在且阶导数存在上有在若b a f b a b f b f b f b f a f n b a x f n n <ξ<=ξξ===''='==-,0)(,),(,0)()()()(,],[)()()1(49、()0)()()(,),(:),,(,,0)()(,,,],[)(),(212121=ξϕ'⋅ξ+ξ'ξ∈==ϕf f x x b a x x x f x f b a b a x x f 使内至少存在一点在证明且内可导在上连续在设50、),()(,0)1()0(,]1,0[)(3x f x x F f f x f ===设且上存在三阶导数在若函数.0)(),1,0(=ξ'''∈ξF 使则存在 51、.0)1(,001211001110的正根必有一个小于证明方程有一正根若方程x a x n a nx a x x x a x a x a n n n n n n =++-+==+++-----52、)0()()1,0(:),()1()(,]1,0[)(00ϕ='∈ϕ-=ϕx f x x x x f x 使存在求证可导在设 53、.]1,0[2)(上的正确性在对函数验证拉格朗日中值定理xx f =54、.]2,0[sin )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数π=x x f 55、.]2,0[cos )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数π=x x f56、.],1[ln )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数e x x f =57、正确性上拉格朗日中值定理的在验证]4,2[)(2x x f =对函数在上验证拉格朗日中值定理的正确性f x x ()a r c t a n [,].=01 59、叙述并证明拉格朗日中值定理60、.2)(,)1,0(:1)1(,1)1()0(,]1,0[)(=''='==c f c f f f x f 使内存在点在证明上二阶可导在设61、.)(,1)0()()( : ),()(:xe xf f x f x f x f ==='+∞-∞则及上可导并满足在若试证明 62、[].)()(3)()(1),,(,],[)(233ξ'ξ+ξξ=-∈ξf f b f a f a b a b b a b a x f 使证明存在上可导在设63、().,,)(),(,),,(为常数其中内则在有若对B A B Ax x f b a A x f b a x +==∈ 64、).(lim )(lim 2141)(211,00x x x x x x x x x θθ≤θ≤θ+=-+≥+∞→+→及并求及证明若65、.)(,)(:,)(lim ),(),()(),,(,],[)(00000A x f x f A x f b x x a x f b a x b a x f x x =''='∈→且存在证明内均可导且与在且上连续在设66、[]设求证对有l i m (),:,l i m ()().x x f x a T f x T f x T a →+∞→+∞'=∀>+-=0 67、.))(,(0)(,0)(:,0)(,,,],[)(内有且仅有一个实根在则方程若试证为常数其中时且当可导上连续在设ka f a a x f a f k k x f a x a x f -=<>>'>+∞ 68、证明恒等式在时成立:a r c c o sa r c c o s ().334123x x x x --=≤π69、.1)()(:,0)0(,1)0(),()(),()(,)(),(22=+==-='='x g x f g f x f x g x g x f x g x f 证明且都为可导函数设70、证明当时恒等成立:,a r c t a n a r c t a n .x x x ≠+=01222π71、证明恒等式在时成立221012a r c t a n a r c t a n ,.x xxx --=< 72、证明恒等式在时成立x x x x -+=<<232232a r c t a n (s e c t a n ).πππ73、证明恒等式在时成立2222a r c t a n (s e c t a n ).x x x x +-=-<<πππ74、证明恒等式在时成立22112a r c t a n a r c t a n .x xxx --=<<+∞π75、.)()0(,,),0()(]),,0[()(,],0[)(Ma a f f a x f a x M x f a x f ≤'+'∈≤''试证明内取得最大在且上二阶可导在设函数76、且等号有对任意实数证明应用拉格朗日中值定理)1ln(arctan 2,:2x x x x +≥.0时成立=x77、用拉格朗日中值定理证明当时,,l n .x e xx x>-<0178、证明 为自然数11111n n nn +<+<l n ()()79、).1(10,01:时成立等号仅限于其中明利用拉格朗日值定理证=<<>-≤-x a x a ax x a80、证明当时:,s i n t a n .022<<+>x x x x π81、证明当时:,a r c t a n a r c t a n .01122<<-+<-<-+a x x a x x a x aa82、证明当时恒等式成立:,a r c t a n a r c s i n .x x xx≥++=12212π83、证明当时恒等式成立:,a r c t a n a r c s i n .x x xx≤-+=122102 84、设在内可微但无界，试证明在内无界。
泰勒中值定理证明题
泰勒中值定理证明题摘要：1.泰勒中值定理简介2.泰勒中值定理的证明3.泰勒中值定理的应用正文：【泰勒中值定理简介】泰勒中值定理，是微积分学中的一个重要定理，由英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）于18 世纪初提出。
泰勒中值定理主要用于研究函数在某点附近的值，以及函数的凹凸性。
该定理指出，如果函数满足一定的条件，那么在函数的某一区间内，至少存在一点，使得该点的函数值等于该区间的平均变化率。
换句话说，就是通过泰勒中值定理，我们可以将复杂的函数在某一点附近近似为线性函数，从而简化问题。
【泰勒中值定理的证明】为了更好地理解泰勒中值定理，我们先来了解一下相关的概念。
设函数f(x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间(a, b) 上可导，且在区间(a, b) 内f(x) 的最高阶导数为n 阶。
则泰勒中值定理的表述为：在区间(a, b) 内至少存在一点c（a < c < b），使得f(b) - f(a) = f"(c)(b - a) + R，其中R 是泰勒公式的余项。
下面我们来证明泰勒中值定理。
首先，由拉格朗日中值定理可知，在区间(a, b) 内至少存在一点c（a < c < b），使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
假设这个点c 满足泰勒中值定理，即f(b) - f(a) = f"(c)(b - a) + R。
我们需要证明R = 0。
根据罗尔定理，我们知道在开区间(a, b) 内，至少存在一点d（a < d < c），使得f"(d) = (f(c) - f(a))/(c - a)。
将这个等式代入泰勒中值定理中，我们得到f(b) - f(a) = f"(d)(b - a) + R。
由于f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，我们可以得到f"(d) = f"(c)，即d = c。
利用柯西中值定理证明题目
利用柯西中值定理证明题目马克思柯西中值定理是指如果函数f在区间[a,b]内满足柯西中值定理，即f(x)在这个区间内有唯一的最大值和最小值，那么存在一个数c，这个数位于最大值和最小值之间，使得f(c)=f(a)+f(b)。
柯西中值定理被用来证明一些数学猜想，譬如求解不定方程，应用微分方程等。
一般来说，函数f在上述区间[a,b]上必须满足以下条件，这样才能使用柯西中值定理:1、函数f在区间[a,b]上必须是连续函数；2、函数f在区间[a,b]上必须是单调函数；3、函数f在区间[a,b]上有唯一的最大值和最小值。
柯西中值定理的证明如下：1、由假设f(x)在[a,b]上满足连续且单调性，则由这两个假设可以知道f(x)在[a,b]上一定有一个最大值和最小值，而且最大值一定大于最小值；2、首先由f(x)在[a,b]上最大值和最小值的性质，容易知道，存在连接最大值和最小值的曲线，也就是存在一个连续的曲线上的一点c，使得f(c)等于最大值减去最小值；3、根据2的结果，再进一步知道f(c)的值一定满足f(a)+f(b)；4、根据以上各结论，可以断定，存在一个数c，使得f(c)=f(a)+f(b)。
由此可见，柯西中值定理的证明是比较简单的，可以用来证明一些数学猜想，它的证明因为结构简单，概念易懂，所以被广泛使用。
除了证明某些数学猜想外，柯西中值定理还可以用于解决微积分问题，比如求解不定积分。
因为可以利用最大值和最小值的原理求取对于相应函数的不定积分，从而求得数值答案。
柯西中值定理也可以用于求解微分方程，进而运用于求解系统的动态模型。
以处理混合系统的动态模型为例，可以利用柯西中值定理来解决相关问题，从而求得相应的解。
总之，柯西中值定理是一种有效的数学工具，可以应用于许多数学问题，比如求解不定方程，求解不定积分问题，解决动态模型问题等。
因此，柯西中值定理在数学实践中是一个重要的工具，能够为我们的实践工作带来极大的便利。
中值定理证明考研题合集
中值定理证明考研题合集
中值定理证明是数学分析中的一个重要内容，也是考研数学中的常见考点。
以下是一些可能出现在考研数学中的中值定理证明题目：
1. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b)。
证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。
2. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f'(x) > 0。
证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
3. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。
证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = f(ξ)。
4. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且存在c ∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。
证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = (b - a)f'(ξ)。
5. 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且存在m ∈ (a, b)，使
得 f'(m) = 0。
证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)。
以上题目可以用来检验考生对于中值定理的理解和应用能力。
柯西中值定理证明题
柯西中值定理证明题柯西中值定理是一个非常重要的数学定理，它在微积分中有着广泛的应用。
该定理的内容可以简单地描述为：如果一个函数在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，则存在一个点c∈(a，b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a，b]上的平均速率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明柯西中值定理，我们可以使用罗尔定理来帮助我们完成证明。
首先，我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*x。
根据柯西中值定理的假设，g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导。
接下来，我们需要证明g(x)在区间[a，b]的两个端点处取相同的函数值，也就是g(a)=g(b)。
首先，我们考虑g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*a=f(a)-f(a)+f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*a。
然后，我们考虑g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*b=f(b)-f(b)+f(a)/(b-a)*b=f(a)/(b-a)*b。
由于f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*b，我们可以得出g(a)=g(b)。
根据罗尔定理，由于g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，且g(a)=g(b)，所以存在一个点c∈(a，b)，使得g'(c)=0。
由于g'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)-（f(b)-f(a))/(b-a)=0，我们可以得出f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
综上所述，我们通过使用罗尔定理，证明了柯西中值定理的正确性。
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第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。
掌握这三个定理的简单应用（经济）。
3、了解定积分中值定理。
二、内容提要1、介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c (a、b)，使得f(c)=02、罗尔定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导（3）则一定存在使得3、拉格朗日中值定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导则一定存在，使得4、柯西中值定理若函数满足:（1）在上连续（2）在内可导（3）则至少有一点使得5、泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数? 则当在内时? 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中 (介于与之间)?在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba ⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==b b a a dx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。
例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰=b a dx x g f dx x f g ξξξξ)()()()(例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x -=⎰()在(0,1)内有且仅有一个实根。
例6、设实数n a a a ,,,21Λ满足关系式012)1(3121=--++--n a a a n n Λ，证明方程 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ，在)2,0(π内至少有一实根。
例7、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点],[b a ∈ξ使得⎰⎰=ba b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤-=1,11,23)(2x xx x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ题型三、 证明存在ξ, 使fn ()()ξ=0(n=1,2,…)方法：思路：例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得0)(='ξf例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112()lim0,2()(2)cos x f x f x dx f xπ→==⎰，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0方法：思路：(1) 用罗尔定理1) 原函数法:步骤：例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且⎰>=-k x k dx x f xe k f 1011,)()1(证明：在(0,1)内至少存在一点?, 使 ).()1()(1ξξξf f --='例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅+<f a b (),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对∃∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰⎰==10100)(,0)(dx x xf dx x f . 试证：),1,0(∈∃ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='. [证] 令 ⎰=x dt t f x F 0)()(，则F(0)=F(1)=0. 又 ⎰⎰⎰⎰=∃⇒=-=-==1010101010.0)(,0)()()()()(c F c dx x F dx x F x xF x xdF dx x xf 于是 )1,(),,0(21c c ∈∈∃ξξ，使 0)()(21='='ξξF F ，即 .0)()(21==ξξf f设 ),(1)(x f e xx x -=ϕ 则 )1,0(),(0)()(2121⊂∈∃⇒==ξξξξϕξϕ，使得 0)(='ξϕ，即 )()1()(1ξξξf f -+='.2) 常微分方程法:适用:步骤：例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得bf b af a b af f ()()()()--='+ξξξ例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得1)],()([)()(11≥'+=--n f nf b f a f a b a b n n n ξξξξ例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b af ()()ln ()-='ξξ例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ题型五、 含有''f ()ξ(或更高阶导数)的介值问题方法：例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0, 试证至少存在一个ξ∈(,)01, 使 ''='-f f ()()ξξξ21例23、（012，8分）设)(x f 在)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在],[a a -上至少存在一个η使得⎰-=''aa dx x f f a )(3)(3η例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f?(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点?，使得'''=f ().ξ3例25、设f(x)在[－a, a]上具有三阶连续导数，且满足⎰-+='xdt t x tf x x f 02)()(， f (0)=0, 证明: 在[-a, a]内存在一点?，使得.)(12)(4⎰-='''a a dx x f f a ξ[证] 由 ⎰⎰-+=-+='x x du u f u x x dt t x tf x x f 0202)()()()( =⎰⎰-+x xdu u uf du u f x x 002)()(， 知 0)0(='f ， ⎰=''+=''xf dt t f x x f 0.0)0(,)(2)( 根据泰勒公式，有332)(61)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f x f f x f ηη'''='''+''+'+=其中η 介于0与x 之间，x ∈-[,]11.于是 ,12)(61)(12434Ma dx x f dx x f ma a a a a ≤'''=≤⎰⎰--η其中M 、m 为)(x f '''（由题设可推知)(x f '''在[-a,a]上连续）在[-a, a]上的最大值、最小值. 进一步有 M dx x f am a a ≤≤⎰-)(124 故存在],[a a -∈ξ， 使得 ⎰-='''a adx x f a f )(12)(4ξ，即.)(12)(4⎰-='''a a dx x f f a ξ题型六、 双介值问题F (,,)ξηΛ=0 方法：例26、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，b a <<0，求证存在),(,b a ∈ηξ使得)(2)()(b a f f +'='ηηξ例27、（051，12分）已知函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1)1(,0)0(==f f证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f（2）存在两个不同的点)1,0(,∈ςη使得1)()(=''ςηf f题型七、 综合题例28、（011，7分）设函数)(x f 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且0)(≠''x f ，试证（1） 对于(-1,1)内的任意0≠x ,存在唯一的)1,0()(∈x θ使得 ()(0)(())f x f xf x x θ'=+成立（2）21)(lim 0=→x x θ例29、试证明若)(x f 在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则存在),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a f b f a b f --≥''ξ例30、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得ae a b e b e a b ----=ln ln 110ξξ[证] F x a e ab e b x e x F a F b F a b x()ln ln ln ,()()()===⇒'=---00ξ为证唯一性，再证''>F x ()0''=-+----F x e b a a b be ae x xa b()[ln ln ]2令f x x xf x x e f a f b ()ln ()()()()=⇒'<>⇒>0g x xe g x g b g a x ()()()()=⇒'>⇒>0''>⇒'↑⇒F x F x (),()0唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1）反证法例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且f x f (),(0),≤'>11. 求证存在ξ∈-(,)22, 使''=f ()ξ0[证] 反证 若对∀∈-''x f x (,),()22不变号1） ''>f x ()0, f(2)=f(0)+'⋅+''⋅∈f f (0)(),(0,)21222121ξξ ⇒-='+''>1220011(()())()(),f f f f ξ 与左端小于等于1矛盾. 2) ''<f x (),0 f(-2)=f(0)-'⋅+''⋅∈-f f (0)(),(,)212220222ξξ ---='-''122002[()()]()()f f f f ξ, 同理矛盾 ⇒''f x ()变号，从而结论成立.2）隐含问题例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续，⎰=100)(dx x f , g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内0)(≠'x g ，并且⎰=10.0)()(dx x g x f 证明：至少存在两个不同的点)1,0(,21∈ξξ, 使 f f ()()ξξ120==.[证] ⎰==⇒=xF F dt t f x F 00)1()0()()(又 ⎰⎰⎰'-==10101010)()()()()()()()(dx x g x F x F x g x dF x g dx x g x f =0)()(),1,0(0)()(10='∈∃⇒='-⎰ξξξg F dx x g x F⇒===⇒0)1()()0(F F F ξ结论.。