微分中值定理的证明题[1](1)

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微分中值定理的证明题

1. 若()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,()()0f a f b ==,证明:R λ∀∈,

(,)a b ξ∃∈使得:()()0f f ξλξ'+=。

证:构造函数()()x F x f x e λ=,则()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导, 且()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知:,)a b ξ∃∈(,使()0F ξ'=

即:[()()]0f f e λξξλξ'+=,而0e λξ≠,故()()0f f ξλξ'+=。

2. 设,0a b >,证明:(,)a b ξ∃∈,使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。

证:将上等式变形得:1111

111111

(1)()b a

e e e b a b a

ξξ-=--

作辅助函数1

()x

f x xe =,则()f x 在11

[,]b a

上连续,在11(,)b a 内可导,

由拉格朗日定理得:

11()()1()11f f b a f b a

ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ , 即 11111(1)11b a

e e

b

a e

b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ , 即: )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。

3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数,且(1)0f =,有2()()F x x f x =证明:在(0,1)

内至少存在一点ξ,使得:()0F ξ''=。

证:显然()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又(0)(1)0F F ==,故由罗尔定理知:0(0,1)x ∃∈,使得0()0F x '=

又2()2()()F x xf x x f x ''=+,故(0)0F '=, 于是()F x '在0[0]x ,上满足罗尔定理条件,故存在0(0,)x ξ∈, 使得:()0F ξ''=,而0(0,)x ξ∈⊂(0,1),即证

4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,0)0(=f ,1)1(=f .证明: (1)在(0,1)内存在ξ,使得ξξ-=1)(f .

(2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ,1)()(//=ηζηf f 使得

【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.

【证明】 (I ) 令x x f x F +-=1)()(,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ,即ξξ-=1)(f .

(II )在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈,使得0)0()()(--='ξξηf f f ,ξ

ξζ--='1)

()1()(f f f

于是,由问题(1)的结论有

.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=

''ξ

ξ

ξξξξξξζηf f f f 5. 设)(x f 在[0,2a]上连续,)2()0(a f f =,证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

【分析】)(x f 在[0,2a]上连续,条件中没有涉及导数或微分,用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到

0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ

【证明】令)()()(x f x a f x G -+=,],0[a x ∈.)(x G 在[0,a]上连续,且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-=

)0()()0(f a f G -=

当)0()(f a f =时,取0=ξ,即有)()(ξξf a f =+;

当)0()(f a f ≠时,0)()0(

0)(=ξG ,即)()(ξξf a f =+.

6. 若)(x f 在]1,0[上可导,且当]1,0[∈x 时有1)(0<

在)1,0( 内有且仅有一个点ξ使得ξξ=)(f 证明:存在性

构造辅助函数x x f x F -=)()(

则)(x F 在]1,0[上连续,且有00)0()0(>-=f F ,01)1()1(<-=f F ,

∴由零点定理可知:)(x F 在)1,0(内至少存在一点ξ,使得0)(=ξF ,即:

ξξ=)(f

唯一性:(反证法)

假设有两个点)1,0(,21∈ξξ,且21ξξ<,使得0)()(21==ξξF F

)(x F 在]1,0[上连续且可导,且⊂],[21ξξ]1,0[ ∴)(x F 在],[21ξξ上满足Rolle 定理条件

∴必存在一点),(21ξξ∈η,使得:01)()(=-'='ηηf F 即:1)(=η'f ,这与已知中1)(≠'x f 矛盾

∴假设不成立,即:x x f x F -=)()(在)1,0(内仅有一个根,

综上所述:在)1,0(内有且仅有一个点ξ,使得ξξ=)(f

7. 设)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且)0(f =)1(f =0,)2

1

(f =1。试

证至少存在一个∈ξ(0,1),使()f =1。

分析:)('ξf =1⇒)('x f =1⇒)(x f =x ⇒x x f -)(=0 令 F (x )= x x f -)( 证明: 令 F(x )= x x f -)(

F (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导, F (1)= )0)1((011)1(=<-=-f f

F (21)= )1)21

((02121)21(=>=-f f

由介值定理可知,∃一个∈η(2

1

,1),使

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