微分中值定理的证明题[1](1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
微分中值定理的证明题
1. 若()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,()()0f a f b ==,证明:R λ∀∈,
(,)a b ξ∃∈使得:()()0f f ξλξ'+=。
证:构造函数()()x F x f x e λ=,则()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导, 且()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知:,)a b ξ∃∈(,使()0F ξ'=
即:[()()]0f f e λξξλξ'+=,而0e λξ≠,故()()0f f ξλξ'+=。
2. 设,0a b >,证明:(,)a b ξ∃∈,使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。
证:将上等式变形得:1111
111111
(1)()b a
e e e b a b a
ξξ-=--
作辅助函数1
()x
f x xe =,则()f x 在11
[,]b a
上连续,在11(,)b a 内可导,
由拉格朗日定理得:
11()()1()11f f b a f b a
ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ , 即 11111(1)11b a
e e
b
a e
b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ , 即: )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。
3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数,且(1)0f =,有2()()F x x f x =证明:在(0,1)
内至少存在一点ξ,使得:()0F ξ''=。
证:显然()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又(0)(1)0F F ==,故由罗尔定理知:0(0,1)x ∃∈,使得0()0F x '=
又2()2()()F x xf x x f x ''=+,故(0)0F '=, 于是()F x '在0[0]x ,上满足罗尔定理条件,故存在0(0,)x ξ∈, 使得:()0F ξ''=,而0(0,)x ξ∈⊂(0,1),即证
4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,0)0(=f ,1)1(=f .证明: (1)在(0,1)内存在ξ,使得ξξ-=1)(f .
(2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ,1)()(//=ηζηf f 使得
【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.
【证明】 (I ) 令x x f x F +-=1)()(,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ,即ξξ-=1)(f .
(II )在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈,使得0)0()()(--='ξξηf f f ,ξ
ξζ--='1)
()1()(f f f
于是,由问题(1)的结论有
.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=
''ξ
ξ
ξξξξξξζηf f f f 5. 设)(x f 在[0,2a]上连续,)2()0(a f f =,证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.
【分析】)(x f 在[0,2a]上连续,条件中没有涉及导数或微分,用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到
0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ
【证明】令)()()(x f x a f x G -+=,],0[a x ∈.)(x G 在[0,a]上连续,且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-=
)0()()0(f a f G -=
当)0()(f a f =时,取0=ξ,即有)()(ξξf a f =+;