微分中值定理总结
微分中值定理与导数应用小结
VS
最大利润
在生产决策中，企业通常追求最大利润。 通过求利润函数的一阶导数并令其为零， 可以找到使利润最大的产量和价格组合。
05
CATALOGUE
导数在物理学的应用
导数与速度和加速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 而加速度是描述速度变化快慢的物理 量。导数可以用来计算物体在某一时 刻的速度和加速度，通过分析导数的 符号和大小，可以判断物体的运动状 态。
导数与热传导
在热传导过程中，热量传递的速度与 温度梯度成正比，而温度梯度的导数 描述了温度随空间位置的变化速率。
导数的符号和大小可以用来判断热传 导的方向和强度，例如在稳态热传导 中，导数为0表示温度分布达到平衡 状态。
THANKS
感谢观看
详细描述
罗尔定理的证明基于闭区间上连续函数的性质和导数的定义 。它的应用非常广泛，例如在证明某些等式或不等式时，可 以通过构造满足罗尔定理条件的函数来找到证明的突破口。
拉格朗日中值定理
总结词
拉格朗日中值定理是微分中值定理中的重要定理之一，它指出如果一个函数在 闭区间上连续，在开区间上可导，则在该区间内至少存在一点，使得该点的导 数等于函数在此区间内的平均变化率。
边际成本
边际成本表示企业在生产过程中，每 增加一个单位产量所增加的成本。通 过计算边际成本的一阶导数，可以了 解成本随产量变化的趋势，从而做出 最优的生产决策。
导数与弹性分析
弹性分析
弹性是衡量某一经济变量对另一经济变量变化的敏感程度，即当一个经济变量发生一定 变化时，另一个经济变量变化的比率。导数可以用来计算各种弹性，如需求弹性、供给
03
CATALOGUE
导数的几何意义
导数与曲线的切线
微分中值定理
四 柯西(cauchy)中值定理 1 定理： 设f ( x), g ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且g ′( x) ≠ 0, x ∈ (a, b)
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) 则∃ξ ∈ (a, b), 使得 = g ′(ξ ) g (b) − g (a )
b−a
② 令θ = ξ − a ,
Q ξ ∈ ( a, b)
∴θ ∈ (0,1), ξ = a + θ (b − a )
∴ f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a))(b − a), θ ∈ (0,1)
③
再令b = a + h, 则有f (a + h) − f (a ) = f ′(a + θ h)h,
则F ( x)在[a, b]上满足Rolle定理的条件,∴ ∃ξ ∈ (a, b), 使F ′(ξ ) = 0
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 即f ′(ξ ) − g ′(ξ ), g ′(ξ ) ≠ 0, ∴ = g (b) − g (a ) g ′(ξ ) g (b) − g (a )
∴依x1 , x2的任意性知, f ( x)在[a, b]上严格单增
类似地有
若f ′( x) < 0, 则f ( x)在[a, b]上严格递减
【4-1-16】
例6 证明不等式
x < ln(1 + x) < x, x > 0 1+ x
证明： 证明： Q f ( x) = ln(1 + x)在[0, +∞)连续可导,
第四章 §4.1
微分中值定理
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
微分中值定理汇总
微分中值定理汇总微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它为我们在研究函数的性质和求解方程等问题时提供了重要的工具。
微分中值定理主要包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和洛必达中值定理。
本文将对这些定理进行详细介绍，并探讨其应用。
首先，我们来看拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且a<b，则必存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理表明，在一个开区间内函数可导时，函数在这个区间内的一些点的导数等于整个区间的平均速率，即切线的斜率。
最后，我们来看洛必达中值定理。
洛必达中值定理是由法国数学家洛必达在18世纪提出的。
设函数f(x)和g(x)在其中一点a的领域内可导，且g'(x)≠0，如果当x→a时，f'(x)/g'(x)收敛于l，则f(x)/g(x)也收敛于l。
简单来说，洛必达中值定理表明，当函数的导数的极限存在且为有限常数时，函数的极限也存在且等于导数的极限。
这三个微分中值定理有着共同的特点，即它们都是基于微分的基本概念，通过导数的性质来推导出函数值的性质。
它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在实际应用中，这些微分中值定理可以用来解决一些问题。
例如，利用拉格朗日中值定理可以证明一些函数的递增性和递减性，从而找到函数的最大值和最小值。
利用柯西中值定理可以推导出泰勒公式，从而用一些简单的函数逼近复杂的函数。
利用洛必达中值定理可以计算一些极限，从而简化计算过程。
除了这些基本的微分中值定理外，还有一些相关的定理，例如罗尔定理和戴布成定理。
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，它要求函数在闭区间的两个端点处函数值相等。
戴布成定理是对函数在闭区间上连续的条件进行了放宽，它要求函数在闭区间上有界且只有有限个极值点。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理
二、 拉格朗日中值定理
推论1
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一 个常数.
证在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，在区间［x1,x2］上应用 拉格朗日中值定理，由式(4-1)
f(x1)－f(x2)=f′(ξ)(x1－x2)(x1<ξ<x2), 由假设f′(ξ)=0 f(x1)=f(x2) 再由x1,x2的任意性知，f(x)在区间I上任意点处的函数值都相等， 即f(x)在区间I上是一个常数. 推论1表明，导数为零的函数就是常数函数.这一结论在以后的 积分学中将会用到.由推论1立即可得下面的推论2.
二、 拉格朗日中值定理
证构造辅助函数 容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而在(a,b)内至 少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0
二、 拉格朗日中值定理
式(4-1)和式(4-2)均称为拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端 f(b)－f(a)b－a表示函数在闭区间［a,b］上整体变化的平均变 化率，右端f′(ξ)表示开区间(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率.于 是，拉格朗日中值公式反映了可导函数在［a,b］上的整体平均 变化率与在(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率的关系.若从力学 角度看，式(4-2)表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时 速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
图 4-1
一、罗尔定理
定理1
(1)在闭区间［a，b］上连续 (2)在开区间(a，b)内可导 (3)在闭区间［a，b］端点的函数值相等，即f(a)=f(b) 那么在(a，b)内至少有一点ξ［ξ∈(a，b)］，使得函数f(x)在 该点的导数等于零
f′(ξ)=0. 值得注意的是，罗尔定理要求f(x)应同时满足三个条件，若 函数f(x)满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内， 至少有一条水平切线；若函数f(x)不能同时满足定理的三个条件， 则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，可能就没有水平切线.
微分中值定理
f
(
x) x
f (x0 x0
)
=(x0+
(xx0))
， (0,1).
因为(x0+)存在，且当 x→x0+时，x0+ (xx0)→x0+，
limx x0来自f (x) xf (x0 ) = lim
x0
x x0
(x0+ (xx0))=(x0+)，
f 在 x0 点右可导且+(x0)=(x0+) .
+(x0)与(x0+)本是两个完全不同的概念，在一定条
件下，两者有密切的联系
2 ax x2, x 0 f (x)
sin x b, x 0
确定a、b的值使函数在点x=o处连续且可导
书上第64页
设 f 为[a,b]上的非常值函数.
f在[a,b]上连续，最小值m与最大值M. 中至少有一个
不在端点取到, 在内点取到。
故由Fermat定理得()=0 .
尽管 Rolle 定理的三个条件显然是其结论的充分 条件，但是这些条件又缺一不可，试各举一例说明 之.
验证 f (x) x2 2x 3在1,3
证明：“必要性”. 显然成立. “充分性”. 取定 x0I，则xI (0,1):
(x)=f(x0)+(x0+ (xx0))(xx0)=f(x0)，
设函数 f, g 均在区间 I 上可导，且(x)g(x)，则存 在常数 c 使得(x)g(x)+c.
F(x) f (x) g(x)
证明 f (x) ln(x 1 x2 )在(, )上 严格单调增
Lagrange 中值定理还有如下表示形式：
4.1 微分中值定理
定理4 ( 柯西中值定理 ) 设 f ( x ), g( x ) 在 [a , b] 上连
续, 在 (a , b) 内可导, 且 g( x ) 0,
则必存在 (a , b ), 使得
x (a , b)
f (b ) f (a ) f ( ) g (b ) g (a ) g ( )
考虑函数 F ( x ) x sin x ,
x [0, π]
易知 F ( x ) 在 [0, π] 上连续可导 (即 F ( x ) 在[0, π] 上连续)
且 F (0) F ( π) 0, 因此由罗尔中值定理可知
存在 0, π) , （
使得 F ( ) sin cos 0
则 F ( x ) 在 [a, b] 上满足罗尔中值定理的条件 由罗尔中值定理得 , 必存在 (a, b), 使得 F ( ) 0,
即
f (b) f (a ) f ( ) g( ) g(b) g(a ) f ( ) f (b) f (a ) . g( ) g(b) g(a )
补充例题：
设 f ( x ) 在 [0 , 1] 上连续, 在 (0 , 1) 内可导 , 证明 : 必存在 (0 , 1) , 使得 f (1) 2 f ( ) 2 f ( ) .
证明
2 xf ( x ) x 2 f ( x ) 是 x 2 f ( x ) 的导函数,
由于拉格朗日中值定理的一般性, 我们常称 其为微分中值定理.
其重要性还体现在它的另一表达形式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( 4 2)
公式 (4 2) 中的 x1 , x2 可以是 [a, b] 中的任意两点,
微积分三大中值
目 录
• 罗尔定理 • 拉格朗日中值定理 • 柯西中值定理
01
CATALOGUE
罗尔定理
定义
• 罗尔定理是微积分学中的基本定 理之一，它指出如果一个函数在 闭区间上连续，开区间上可导， 且在区间的两端取值相等，则在 开区间内至少存在一点，使得该 点的导数为零。
定理内容
• 如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连 续，在开区间$(a, b)$上可导，且$f(a) = f(b)$，那么至少存在一个点$c \in (a, b)$ ，使得$f'(c) = 0$。
应用场景
• 拉格朗日中值定理在数学、物理 、工程等多个领域都有广泛的应 用。例如，在研究弦振动、流体 阻力、弹性碰撞等问题时，可以 利用拉格朗日中值定理来分析物 体的运动状态和变化趋势。此外 ，该定理也是进一步学习其他微 分定理和积分定理的基础。
03
CATALOGUE
柯西中值定理
定义
• 柯西中值定理是微积分中的一个基本定理，它揭示了函数 与其导数之间的关系。
定理内容
• 如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续， 在开区间$(a, b)$上可导，那么存在一个实பைடு நூலகம்数$\xi$，满足$a < \xi < b$，使得$f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
应用场景
• 柯西中值定理在解决一些微积分问题时非常有用，例如求极限、证明不等式、研究函数的单调性等。它可以帮 助我们更好地理解函数的性质，并为我们提供了一种重要的工具来解决一些复杂的微积分问题。
THANKS
感谢观看
02
CATALOGUE
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它描述了导数在其中一区间上的平均变化等于该区间两端的导数之差。
拉格朗日中值定理的数学表达为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么存在一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)。
利用拉格朗日中值定理，可以证明函数在一些区间上的一些点必然具有特定的性质，例如存在极大值和极小值点等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理中的进一步推广，在拉格朗日中值定理的基础上增加了另一个函数的条件。
柯西中值定理的数学表达为：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且g(x)不为零，那么存在一个c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g′(c)=[g(b)-g(a)]f′(c)。
利用柯西中值定理，可以对两个函数的导数之间的关系进行研究，从而得到有关函数的性质，如凸性、单调性等。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理中的特殊情况，它描述了一个连续函数在(a,b)内可导，并且在a处和b处的函数值相等，则在(a,b)内存在一个c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
利用罗尔中值定理，可以证明函数在一些区间上的导数为零的点，进而得到函数的极值点、拐点等。
二、导数的应用导数是微积分中最重要的概念之一，它具有丰富的应用，以下列举几个常见的应用：1.极值问题函数的极值问题是导数应用中的经典问题之一，通过求函数的导数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点和极值值。
2.函数的单调性导数可以反映函数的增减情况，通过分析函数的导数的正负变化可以确定函数的单调性，即函数是递增还是递减的。
3.函数的凹凸性函数的凹凸性可以通过分析函数的二阶导数来确定，二阶导数大于零时为凹函数，二阶导数小于零时为凸函数。
4.函数的拐点函数的拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，可以通过分析函数的二阶导数的变化情况来确定。
微积分中值定理详细
从而 ，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有
因此必然有
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理
设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧 ，显然 是连接点A(a, f (a))和点B(b, f (b))的弦 的斜率，如图 所示，容易看出，在(a,b)内至少存在一点ξ使弧 上的点C(ξ, f (ξ))的切线与弦 平行。
例1. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
故所证等式在定义域 上成立.
自证:
经验:
欲证
时
只需证在 I 上
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例2. 证明不等式
证: 设
中值定理条件,
即
因为
故
因此应有
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二、曲线的凹凸与拐点
3.2函数性态的研究
第三章
3.2.1 函数单调性和极值 1.函数的单调性
若
定理 1. 设函数
则 在 (a,b)内单调递增
(递减) .
证: 无妨设
任取
由拉格朗日中值定理得
故
这说明 在 I 内单调递增.
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),
并在该书中提出了求未定式极
限的方法,
后人将其命名为“ 洛必达法
的摆线难题 ,
以后又解出了伯努利提出的“ 最速降
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
精品《微分中值定理的总结和应用》
精品《微分中值定理的总结和应用》微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它是研究函数导数性质的基础工具之一、本文将对微分中值定理进行总结和应用的探讨。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
拉格朗日中值定理是微分学中最基本的中值定理之一，它是由拉格朗日在《微积分学》中给出的。
拉格朗日中值定理表明，对于连续函数f(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），在(a,b)内存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换言之，函数在两点间的斜率等于函数特定点处的导数。
柯西中值定理是微分中值定理的推广和拓展，它是由柯西在《微分学入门》中给出的。
柯西中值定理表明，对于连续函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），且g'(x)≠0，那么在(a,b)内存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
换言之，函数f(x)和g(x)在两点间的斜率比等于函数f(x)和g(x)特定点处的导数比。
微分中值定理的主要应用包括寻找函数极值、证明不等式、函数图像的研究等。
在寻找函数极值时，利用微分中值定理可以通过导数的正负性来判断函数在特定点的增减性和极值性。
在证明不等式中，微分中值定理的应用可以将原不等式转化为导数的不等式，从而证明原不等式的成立。
在函数图像的研究中，微分中值定理可以通过导数的性质来研究函数的凹凸性、拐点等。
微分中值定理在物理、经济等学科中也有广泛的应用。
在物理学中，利用微分中值定理可以研究物理量的变化率以及速度与加速度之间的关系。
在经济学中，微分中值定理可以用于研究收入弹性、边际效用等经济问题。
综上所述，微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们研究函数导数的性质，寻找函数极值，证明不等式以及函数图像的研究等。
同时，微分中值定理在物理、经济等学科中也有着广泛的应用。
【考研数学】3.1微分中值定理笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。
微分中值定理
第一节 微分中值定理一、罗尔(Roll)定理1．费马引理： 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有)()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥），那么0)(0/=x f 。
2．罗尔定理：如果函数)(x f y =满足：（1） 闭区间[]b a ,上连续，（2） 在()b a ,内可导，（3） 且在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =。
那么在()b a ,内至少存在一点ξ（b a <<ξ），使得0)(/=ξf 。
注：罗尔定理的条件是充分条件,即如果函数)(x f y =不满足定理的任何一个条件，定理的结论可能成立，也可能不成立。
例1：试分析下列函数在各自指定区间上的性态：（1）函数x y =，区间[]2,1；（2）函数{2,121,=<≤=x x x y ，区间[]2,1 （3）函数x y =，区间[]1,1-；（4）函数Sinx y =，区间[]43,0π（5）函数Sinx y =，区间[]ππ,-；（6）函数⎩⎨⎧=<≤=4343,00,ππx x Sinx y ，区间[]43,0π；函数Sinx y =，在区间[]π,0上连续，在区间()π,0内可导，且0)()0(==πy y ，()ππξ,02∈=∃，使得()0/=ξy 。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2：如果函数)(x f y =满足：（1） 在闭区间[]b a ,上连续，（2） 在()b a ,内可导，那么在()b a ,内至少存在一点ξ（b a <<ξ），使等式))(()()(/a b f a f b f -=-ξ成立。
注：显然，当)()(b f a f =时，)拉格朗日中值定理即为罗尔定理，故罗尔定理为拉格朗日中值定理的特殊情形。
()1,021∈=ξ，使得()0/=ξy 。
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
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e bf (b ) e af (a ) 再整理一下 b a
e [f () f ()]
e b ea e b ea 只要找到 与e 的关系就行了 b a b a
这个更容易看出来了，令G (x ) e x 则再用拉格朗日定理就得到
G () e
e b ea e [ f () f ()] b a
老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可 行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ 和η ①两次中值定理
例 5 f (x )在[a,b]上连续，在(a,b ) 内可导，f (a ) f (b ) 1 试证存在， (0,1)使得e [ f () f ()] 1 分析：首先把与分开，那么就有e [ f () f ()] e 一下子看不出来什么，那么可以先从左边的式子下手试一下 很容易看出e [ f () f ()] [e f ()]，设F (x ) e x f (x ) 利用拉格朗日定理可得F ()
x
x
分析：先整理一下要证的式子
e 这题就没上面那道那么容易看出来了
x x
f (c ) f (c )
发现e 1f (x 2 ) e 2f (x 1)是交叉的，变换一下，分子分母同除一下e
x1 x 2
f (x 2 ) f (x 1) e
x2
e e
x1
1
e
③k 值法
x2
1
x1
于是这个式子一下变得没有悬念了
用柯西定理设好两个函数就很容易证明了
仍是上题 分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法 第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边 以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量的这个式子 设 [ f (x 2 ) k ] x e 2 很容易看出这是一个对称式，也是说互换x 1x 2 还是一样的
③一阶线性齐次方程解法的变形法
对于所证式为f pf 0型，（其中p为常数或x 的函数） 可引进函数u ( x) e ，则可构造新函数F ( x) f e
pdx pdx
例：设f ( x)在[a, b]有连续的导数，又存在c (a, b)，使得f (c) 0 f ( ) f ( a ) 求证：存在 ( a, b)，使得f () ba f ( ) f ( a ) 分析：把所证式整理一下可得：f () 0 ba 1 [ f () f ( a)] [ f () f (a)] 0，这样就变成了f pf 0型 ba
－ dx － 引进函数u ( x) e b a ＝e b a （令C=0），于是就可以设F ( x) e b a [ f ( x) f (a)] f (b) f (a ) 注：此题在证明时会用到f (c) 0 f (b) f ( a) 这个结论 ba 1 x x
两边积分 f (x ) g (x )dx g (x ) lnf (x ) g (x )dx lnC f (x ) Ce f (x )
f (x )e
g (x )dx
C 现在设C 0，于是要构造的函数就很明显了
F (x ) f (x )e
g (x )dx
中值定理总结.doc
1 、所证式仅与ξ ( x)在[0,1]上二阶可导，f (0) f (1) f (0) 0 2 f ( ) 试证至少存在一点 ( a, b)使得f () 1 分析：把要证的式子中的 换成 x，整理得f ( x) xf ( x) 2 f ( x) 0 由这个式可知要构造的函数中必含有f ( x)，从xf ( x) 找突破口 因为[ xf ( x)] xf ( x) f ( x)，那么把(1)式变一下： f ( x) f ( x) [ xf ( x) f ( x)] 0 f ( x) f ( x) [ xf ( x)] 0 这时要构造的函数就看出来了F ( x) (1 x) f ( x) f ( x)
2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日
例 3 设f (x )在[a,b]上连续，在(a,b )内可导 bf (b ) af (a ) 证明至少存在一点 (a,b )使得 f () f () b a 分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设 F (x ) xf (x ),用拉格朗日定理验证一下 bf (b ) af (a ) F () f () f () b a
②原函数法
(1)
例 2 设f (x )在[a,b]上连续，在(a,b ) 内可导，f (a ) f (b ) 0，又g (x )在[a,b]上连续 求证： (a,b )使得f () g ()f () 分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与g 有关的放另一边，同样把 换成 x
②柯西定理（与之前所举例类似） 有时遇到ξ 和η 同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在 老陈书的习题里就出现过类似的题。
②柯西定理
例 4 设0 x 1 x 2，f (x )在[x 1, x 2]可导，证明在(x 1, x 2 )至少存在一点c，使得 1
e
x1
e
x2
e 1 e 2 f (c ) f (c ) f (x 1) f (x 2 ) e 1f (x 2 ) e 2f (x 1) e
x1 x2 x x
e 1f (x 2 ) e 2f (x 1 ) e
x1
x
x
k 整理得e
x1
[ f (x 1 ) k ] e
x2
那么进入第二步，设F (x ) e x [ f (x ) k ] ，验证可知F (x 1 ) F (x 2 ) 记得回带k，用罗尔定理证明即可。
④泰勒公式法