微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
微分中值定理
二、 拉格朗日中值定理
推论1
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一 个常数.
证在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，在区间［x1,x2］上应用 拉格朗日中值定理，由式(4-1)
f(x1)－f(x2)=f′(ξ)(x1－x2)(x1<ξ<x2), 由假设f′(ξ)=0 f(x1)=f(x2) 再由x1,x2的任意性知，f(x)在区间I上任意点处的函数值都相等， 即f(x)在区间I上是一个常数. 推论1表明，导数为零的函数就是常数函数.这一结论在以后的 积分学中将会用到.由推论1立即可得下面的推论2.
二、 拉格朗日中值定理
证构造辅助函数 容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而在(a,b)内至 少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0
二、 拉格朗日中值定理
式(4-1)和式(4-2)均称为拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端 f(b)－f(a)b－a表示函数在闭区间［a,b］上整体变化的平均变 化率，右端f′(ξ)表示开区间(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率.于 是，拉格朗日中值公式反映了可导函数在［a,b］上的整体平均 变化率与在(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率的关系.若从力学 角度看，式(4-2)表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时 速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
图 4-1
一、罗尔定理
定理1
(1)在闭区间［a，b］上连续 (2)在开区间(a，b)内可导 (3)在闭区间［a，b］端点的函数值相等，即f(a)=f(b) 那么在(a，b)内至少有一点ξ［ξ∈(a，b)］，使得函数f(x)在 该点的导数等于零
f′(ξ)=0. 值得注意的是，罗尔定理要求f(x)应同时满足三个条件，若 函数f(x)满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内， 至少有一条水平切线；若函数f(x)不能同时满足定理的三个条件， 则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，可能就没有水平切线.
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下存在某个点，该点的导数与函数在两个端点的斜率相等。
本文将介绍微分中值定理的三种形式，以及它们的应用和证明过程。
一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一种形式，它表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)上至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明依赖于罗尔中值定理。
首先，由于函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在[a, b]上一定存在最大值M和最小值m。
若M=m，则f(x)是一个常数函数，此时拉格朗日中值定理显然成立。
若M≠m，则根据罗尔中值定理，存在某个点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。
于是，可以将区间[a, b]分成两个子区间：[a, ξ]和[ξ, b]。
在两个子区间上分别应用拉格朗日中值定理，可得：f(ξ) - f(a) = f'(c1)(ξ - a)， f(b) - f(ξ) = f'(c2)(b - ξ)其中，c1∈(a, ξ)，c2∈(ξ, b)。
因此，通过简单的变形，我们可以得到f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a, b)。
证明完毕。
拉格朗日中值定理的经典应用是利用导数来研究函数的增减性和极值问题。
通过该定理，我们可以找出函数在某一区间上的极值点，并且可以了解函数在该区间上的增减性。
二、柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的另一种形式，它用于描述两个函数在给定区间内的导数之间的关系。
柯西中值定理的表述为：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)≠0，则在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)。
微分中值定理
即
1
cos
ln
1
分析:
例7. 试证至少存在一点
使
法2 令 f (x) sin ln x sin1 ln x
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
因此存在
使
f (x) 1 cosln x sin1 1
x
x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
f (b) f (a)
例3. 证明方程 正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论1: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得
0
由
f ( ) f (b)
的任意性知,b
f a
(a) 在
, I
上为 常(a,数b)
.
例4. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
(2) 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值
不等，不妨设
则至少存在一点
使
则
y
y f (x)
f ( ) lim f ( x) f ( )
x 0
x
O a
微分中值定理
f
(
x) x
f (x0 x0
)
=(x0+
(xx0))
， (0,1).
因为(x0+)存在，且当 x→x0+时，x0+ (xx0)→x0+，
limx x0来自f (x) xf (x0 ) = lim
x0
x x0
(x0+ (xx0))=(x0+)，
f 在 x0 点右可导且+(x0)=(x0+) .
+(x0)与(x0+)本是两个完全不同的概念，在一定条
件下，两者有密切的联系
2 ax x2, x 0 f (x)
sin x b, x 0
确定a、b的值使函数在点x=o处连续且可导
书上第64页
设 f 为[a,b]上的非常值函数.
f在[a,b]上连续，最小值m与最大值M. 中至少有一个
不在端点取到, 在内点取到。
故由Fermat定理得()=0 .
尽管 Rolle 定理的三个条件显然是其结论的充分 条件，但是这些条件又缺一不可，试各举一例说明 之.
验证 f (x) x2 2x 3在1,3
证明：“必要性”. 显然成立. “充分性”. 取定 x0I，则xI (0,1):
(x)=f(x0)+(x0+ (xx0))(xx0)=f(x0)，
设函数 f, g 均在区间 I 上可导，且(x)g(x)，则存 在常数 c 使得(x)g(x)+c.
F(x) f (x) g(x)
证明 f (x) ln(x 1 x2 )在(, )上 严格单调增
Lagrange 中值定理还有如下表示形式：
4.1 微分中值定理
定理4 ( 柯西中值定理 ) 设 f ( x ), g( x ) 在 [a , b] 上连
续, 在 (a , b) 内可导, 且 g( x ) 0,
则必存在 (a , b ), 使得
x (a , b)
f (b ) f (a ) f ( ) g (b ) g (a ) g ( )
考虑函数 F ( x ) x sin x ,
x [0, π]
易知 F ( x ) 在 [0, π] 上连续可导 (即 F ( x ) 在[0, π] 上连续)
且 F (0) F ( π) 0, 因此由罗尔中值定理可知
存在 0, π) , （
使得 F ( ) sin cos 0
则 F ( x ) 在 [a, b] 上满足罗尔中值定理的条件 由罗尔中值定理得 , 必存在 (a, b), 使得 F ( ) 0,
即
f (b) f (a ) f ( ) g( ) g(b) g(a ) f ( ) f (b) f (a ) . g( ) g(b) g(a )
补充例题：
设 f ( x ) 在 [0 , 1] 上连续, 在 (0 , 1) 内可导 , 证明 : 必存在 (0 , 1) , 使得 f (1) 2 f ( ) 2 f ( ) .
证明
2 xf ( x ) x 2 f ( x ) 是 x 2 f ( x ) 的导函数,
由于拉格朗日中值定理的一般性, 我们常称 其为微分中值定理.
其重要性还体现在它的另一表达形式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( 4 2)
公式 (4 2) 中的 x1 , x2 可以是 [a, b] 中的任意两点,
3.1 微分中值定理
π
自证: arctan + arccot = , ∈ (−∞, +∞).
2
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 证明当 > 0时,
< ln( 1 + ) < .
1+
证
设 () = ln( 1 + ), 则()在[0, ]上满足拉格朗日中值定理的条件,
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日定理
如果函数()满足
(1) 在闭区间[, ]上连续;
(2) 在开区间(, )内可导,
() − ()
.
则在开区间 , 内至少存在一点 , 使得 ′( ) =
−
几何解释∶
在曲线弧 上至少有一点 , 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
分析:
欲证 ′ (
() − ()
)=
−
将 变为
逆
向
思
维
′ ()
() − ()
=
−
适当变形
() − ()
() −
−
′
=0
设为辅助函数
验证辅助函数满足罗尔定理条件, 得出结论.
则在开区间 , 内至少存在一点 ,使得
() − () ( )
(( ), ( ))
几何解释∶
在曲线弧上至少有一点, 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
F(x) = x
中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤
课后作业 习题3-1 习题
二 1，3，4。 ， ， 。
微分中值定理
推论 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
例
π 证明 arcsin x + arccos x = ( −1 ≤ x ≤ 1). 2
1 1− x
2
证 设 f ( x ) = arcsin x + arccos x , x ∈ [−1,1]
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其 注意 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 结论可能不成立. 结论可能不成立 例如, 例如 y = x, x∈[−2,2];
在[−2,2]上除f ′( 0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件 , 但在内找不到一点能使 f ′( x ) = 0.
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
f (b ) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )]. b−a
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′(ξ ) = 0.
f (b ) − f (a ) 即 f ′( ξ ) − =0 b−a
(1)
f ' (ξ) = 0 即
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1).
§2.5微分中值定理
o a
b
x
Rolle 定理的几何意义是：如果连续曲线y f ( x ) 除
端点外处处都有不垂直于 x 轴 的切线，且两端点处的纵 坐标相等，那么其上至少有一条平行于 x 轴 的切线。
例 1．不求函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说 明方程 f ( x ) 0 有几个根，并指出它们所在的区间。
()x 且 g[ (x )g x( ))] 0, f1 ( f 使 2x x 0 ，
( x1 , x 2 ), Rolle 定理知，至少存在一点 由 f ( x ) f ( x ) 的函数 故构造其导数含有
( ) e x [ f ( ) f ( )] 0, 从 而f () f (). 使gg ( x ) e f ( x )
②微分中值公式的另一种形式为
f (b) f (a ) f (a (b a ))(b a )(0 1).
③不论 a b 或 b a ，都有 f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ).
（ 介于 a 与 b 之间.）
④ x, x x(a, b) ，有
§2.5
微分学基本定理
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。 微分中值定理是微分学的基本定理和理论基础，它揭示了函 数与导数之间的内在联系，利用它们可以得到微分学与积分 学的一系列的重要结果。
2.5.1 费马( Fermat )引理
若（1）函数 f ( x ) 在N ( x , ) 内有定义，且在N ( x , ) 内恒有 f ( x ) f ( x ) (或 f ( x ) f ( x )) ， （2）函数 f ( x ) 在点 x 可导， 则
微分中值定理有哪些
微分中值定理有哪些微分中值定理是微积分中的一个重要的定理，它在微积分中用于解决某些问题。
它的定义如下：假设f（x）在定义域[a,b]上连续，∀x∈（a,b）有f'（x）存在且连续，那么对于某一定义域[c，d]Φ[c,d]，且a< c < d < b，有f(b)−f(a) = f'(c)(b−a)这就是微分中值定理的定义，它为我们解决一些问题提供了一种很好的解决思路。
举一个例子来说明这个定理，假设我们现在有一个函数f(x)=3x^2-2，要求解[1，4]上的f(x)的导数，首先可以利用微分中值定理，我们可以知道f'(x)在x=2处取得最大值，那么f'(2)就可以根据微分中值定理来求出：f(4)−f(1) = f'(2)(4-1)f'(2) = (f(4)-f(1))/(4-1)f'(2) = (48-3)/3f'(2) = 45/3以上就是利用微分中值定理来求解函数f(x)在x=2处的导数的计算过程，当然并不是所有的函数都能够用微分中值定理求得最大值，但是它的主要作用还是帮助我们求解某些特殊的问题，比如在给定范围内求解函数的最大值。
再举一个例子，对于一个函数f(x)，定义域为[0，2]，我们可以将函数f(x)在[0，2]区间上分为[0,1]和[1，2]，利用微分中值定理：f(2)−f(0) = f'(1)(2-0)可以分别求出f(x)的导数f'(x)在[0，1]和[1，2]上的大小，我们可以看到，通过微分中值定理，解决微积分问题变得更加容易，在很多情况要节省很多时间。
以上就是微分中值定理及其应用的一些内容。
微分中值定理是微积分中重要的定理，它可以用来解决某些特殊的问题，也可以节约时间。
微分中值定理
O
1
x
O
1 2
1 x
O
1 x
2º定理条件只是充分的，并非必要条件. y f ( x ) sgn x 1 ( ,0) (0, ) x O -1 f ( ) 0.
3°使 f ( ) 0的点不一定是f ( x )的最值点.
. 4°罗尔定理未指明在(a , b)内的具体位置
x0 x
极限的 保号性
0 0
f ( x0 ) 0
导数为零的点称为驻点
证 由于 f (x) 在闭区间[ a, b ]连续，故在[ a, b ]
上取得最大值 M 和最小值 m . (1) 若 M = m ， 则在闭区间[ a, b ] 上 f ( x ) M , 因此 (2) 若 M > m , f (a ) f (b)
O
b x
a (b a ).
推论 若 f ( x ) 在[a , b]上连续，且在(a , b)内， 恒有 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b]上是一个常数 .
注
推论中的闭区间a , b]可换成： [
( a , b ), ( a , ), [a , b ), ( , )
且 (a ) 0 (b)
由罗尔定理，知 (a , b), 使得 ( ) 0.
即
f (b) f (a ) f ( ) F ( ) 0. 命题得证. F (b) F (a )
注
1 当 F ( x ) x 时, F (b) F (a ) b a, F ( x ) 1,
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使得
f ( ) 0
(1.1)
微分中值定理
第一节 微分中值定理一、罗尔(Roll)定理1．费马引理： 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有)()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥），那么0)(0/=x f 。
2．罗尔定理：如果函数)(x f y =满足：（1） 闭区间[]b a ,上连续，（2） 在()b a ,内可导，（3） 且在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =。
那么在()b a ,内至少存在一点ξ（b a <<ξ），使得0)(/=ξf 。
注：罗尔定理的条件是充分条件,即如果函数)(x f y =不满足定理的任何一个条件，定理的结论可能成立，也可能不成立。
例1：试分析下列函数在各自指定区间上的性态：（1）函数x y =，区间[]2,1；（2）函数{2,121,=<≤=x x x y ，区间[]2,1 （3）函数x y =，区间[]1,1-；（4）函数Sinx y =，区间[]43,0π（5）函数Sinx y =，区间[]ππ,-；（6）函数⎩⎨⎧=<≤=4343,00,ππx x Sinx y ，区间[]43,0π；函数Sinx y =，在区间[]π,0上连续，在区间()π,0内可导，且0)()0(==πy y ，()ππξ,02∈=∃，使得()0/=ξy 。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2：如果函数)(x f y =满足：（1） 在闭区间[]b a ,上连续，（2） 在()b a ,内可导，那么在()b a ,内至少存在一点ξ（b a <<ξ），使等式))(()()(/a b f a f b f -=-ξ成立。
注：显然，当)()(b f a f =时，)拉格朗日中值定理即为罗尔定理，故罗尔定理为拉格朗日中值定理的特殊情形。
()1,021∈=ξ，使得()0/=ξy 。
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
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微分中值定理班级：姓名：学号：摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。
它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.罗尔定理定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。
（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程()()[]()()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根.证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且()()()()b F a f b a b f a F =-=22根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使()()[]()()x f a b a f b f '222-=-ξ至少存在一个根. 例2 求极限：1220(12)lim(1)xx e x ln x →-++解：用22ln )(0)x x x →:(1+有2021201201(12)2lim(1)1(12)2lim(12)lim 2(12)lim2212x x x x xx xx e x In x e x x e x xe x →→-→-→-++-+=-+=++===拉格朗日中值定理定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b a ξ-'=-显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：()()()()f b f a f b a ξ'-=-a b ξ<<； ()()(())()f b f a f a b a b a θ'-=+--，01θ<<； ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+，01θ<<．值得注意的是：拉格朗日公式无论对于a b <，还是a b >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数．而后两式的特点，在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-，使得不论,a b 为何值，θ总可为小于1的某一正数． 例3 求证()()ln 1,1x x x +≤>-.证明：当0=x 时，显然()01ln ==+x x设0≠x 对()t t f ln =在以1与x +1为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，存在介于1与x +1之间的ξ，使()()()()1111'-+=-+x f f x f ξ,即()ξxx =+1ln 当0<x 时，10<<ξ，11>ξ，但此时注意()1ln +x 与x 均为负值，所以仍有()x x ≤+1ln ， 即对1->x 不等式恒成立. 当0>x 时，0>ξ，110<<ξ，所以有()x x ≤+1ln .例4 证明当e a b >>时，a b b a >。
证明：要证a b b a >，只要证bba a ln ln >设()xxx f ln =，[]b a x ,∈，由()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导, 且()0'<x f 于是()()()()0ln ln '<-=-=-a b f a f b f bba a ξ，即bba a ln ln >故原式成立. 推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0,f x x I '≡∈，则f 为I 上的一个常量函数。
推论2 若函数f 和g 在区间I 上可导，且()(),f x g x x I ''=∈，则在区间I 上()f x 和()g x 只相差某一常数，即：()()f x g x c =+ （c 为某一常数）推论3 （导函数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域0U()x 上连续，在00U ()x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则f 在点0x 可导，且0()lim ()x x f x f x →''=.柯西中值定理定理3（柯西中值定理）设函数f 和g 满足(1)在闭区间[,]a b 上都连续； (2)在开区间(,)a b 内都可导； (3)()f x '和()g x '不同时为0； (4)()()g a g b ≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='- 例5 证明2(1),02x ln x x x +>->证明：令2()(1),()2x f x In x g x x =+=-则就是求()(),0f x g x x >>(0)(0)f g =Q 对(),()f x g x 在（0,1）上用柯西中值定理有：()()(0)()()()(0)f x f x f f g x g x g g ξξξ'-==∈'-，（0,1)（）()()f g ξξ''>就是证明 ：，即()12=1+11+f g ξξξξξξ'-='+（）当0,x ξ<<20,1ξξ>+即1()f g ξξ'>'（）.所以原式成立。
例6 函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0)a b <<，试证：存在(,)a b ξ∈，使得()()(ln )()bf b f a f aξξ'-=.证明：令()ln F x x =，易知()f x ，()F x 在[,]a b 上满足柯西中值定理的条件， 于是可得存在(,)a b ξ∈，使()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-， 即()()()1ln ln f b f a f b aξξ'-=-， 亦即()()(ln )()bf b f a f aξξ'-=.求不定式极限: 1.0型不定式极限 定理4 若函数f 和g 满足： （1）00lim ()lim ()0f x g x x x x x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导，且()0g x '≠；（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='例7 求30(1)2(1)lim x x x x e e x →+--解：这是 0型不定式， 故3020200(1)2(1)lim (1)2lim 31lim3lim 616x x x x x xx x xx x x xx x e e x e xe e x xe e x e xe e x →→→→+--++-=+-=+-== 例8 求21cos limtan x xxπ→+解 容易检验()1cos f x x =+与()2tan g x x =在点0x π=的条件下满足洛必达法则的条件，又因()()/3/2sin cos 1lim lim lim 2tan sec 22x x x f x x x g x x x πππ→→→-==-=所以()()()()//1lim lim 2x x f x f x g x g x ππ→→==.2、∞∞型不定式极限 定理5 若函数f 和g 满足 （1）00lim ()lim ()f x g x x x x x ++→→==∞（2）在点0x 的某右邻域00()u x +内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='.例9 求0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→解：这是∞∞型不定式，故 000ln(sin 3)lim ln(sin )3cos3sin lim sin 3cos 3cos cos39sin 3sin lim3cos cos3sin 3sin 1x x x x x x x x xx x x x x x x x +++→→→=-=-= 微分中中值定理在级数方面的应用例 10 设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，并且有下面的极限：01()1lim 0,()x n g x g x n ∞→==∑证明绝对收敛。
()lim0,x g x x→'=Q 证明：且g(x)在x=0处可导数有g(0)=0,g (0)=0.2211()(0)(0)()(),0.2!2g x g g x g x g x x ξξξ'''''=++=<<221()()()22M g x M g x g x xξ''''≤∴=≤Q ，2111,()2M x g n n n ∴=≤当有21111()2n n M g n n ∞∞==∑∑由于收敛，由此可知收敛.例11 证正项级数)0(11>∑∞=+d S a n nnδ收敛. 证明：作辅助函数,1)(δx x f =则δδ+-=1')(x x f . 当2≥n 时，在],[1n n S S -上用中值定理，有),(),()()(1'11n n n n n n n n S S f S S S f S f <<=-----ζζ于是),11(1111δδδδδζnn n n n n S S a S a -=<-++ 由)11(112δδδn n n S S --∞=∑收敛，即得所证.讨论方程根的问题:例12 a 为多项式)(x f 的二重根的充要条件是a 同为)(x f 与)('x f 的根. 证明：必要性设a 为)(x f 的二重根，则)((),()()(2x g x g a x x f -=是多项式)，于是),()(2)()()('2'x g a x x g a x x f -+-=故.0)('=a f 充分性若a 是)(x f 、)('x f 的根，则有多项式)(x g ，使),()()(x g a x x f -=两边求导有),()()()(''x g x g a x x f +-=故,0)()('==a g a f 即a 是)(x g 的根，则),()()(x h a x x g -=从而),()()(2x h a x x f -=即a 是)(x f 的二重根. 一些不等式的证明:例13 设12,,n a a a L≤12na a a n+++L其中等号成立12n a a a ⇔===L—证明：取函数()ln f x x =，它的定义域是区间(0,)+∞故211(),()f x f x x x'''==-不妨设1a ≤2a ≤L ≤n a 令120...na a a a n+++=或120...0n a a a na +++-=有1a ≤0a ≤n a将函数()ln f x x =在0a 展开泰勒公式（到二阶导数）∀0x >有200020111ln ln ()()()2!x a x a x a a ξ=+-+-- 其中ξ于0a 与x 之间，显然20211()()2!x a ξ--≤0 于是， 0x ∀>有0001ln ln ()x a x a a =+- 当12,,(0,)n x a a a =∈+∞L 时，分别有101001ln ln ()a a a a a ≤+- 202001ln ln ()a a a a a ≤+- (000)1ln ln ()n n a a a a a ≤+- 将上述n 个不等式两端分别相加，有：12ln ln ln n a a a +++L ≤()012001ln ...n n a a a a na a ++++- 0ln n a =即： ()121ln ...n n a a a ⋅≤12()ln n a a a n +++⎛⎫ ⎪⎝⎭L—≤12n a a a n+++L 因为211()02!ξ-≠ 所以，不等式中等号成立12n a a a ⇔===L亦即：12n a a a n +++≤L因为211()02!ξ-≠所以，不等式中等号成立12n a a a ⇔===L 。