数学分析微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）

§ 1中值定理（ 3时 ）

一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的

一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：

00)()(lim

x x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即0

0)

()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面

要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.

二 微分中值定理:

1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.

2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2.( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.

Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点的某右邻域)(0x +Y 上连续,在)(0x +ο

Y 内可导.若

)0()(lim 00

+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)

但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数

⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=.0

,0,0 ,1sin )(2

x x x

x x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).

Th3 (导数极限定理)设函数)(x f 在点的某邻域 )(0x Y 内连续, 在)(0x ο

Y 内可导.若极限

)(lim 0

x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(0

0x f x f x x '='→( 证 )

由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数

)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.

3. Cauchy 中值定理:

Th 4 设函数和在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, 和在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点 使得

)

()()

()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )

()()

()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足

Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ

-

'=')()(ξξf F )

()()

()(a g b g a f b f --.0)(='ξg

必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“和在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ΛΛ ⇒

Cauchy 中值定理的几何意义.

Ex [1]P 163 1—4；

三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 )

1. 证明中值点的存在性:

例1设函数在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得

)()(a f b f -)(ln

ξξf a

b

'⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.

例2设函数在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a . 2. 证明恒等式: 原理.

例3证明: 对R ∈∀x , 有 2

π

=+arcctgx arctgx .

例4 设函数和可导且 ,0)(≠x f 又

.0='

'g f g f

则 )()(x cf x g =.(证明 0) (='f g

. )

例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2

|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).

3. 证明不等式: 原理.

例6 证明不等式: 0>h 时,

h arctgh h h

<<+21.

例7 证明不等式: 对，有n

n n 1

) 11 ln(11<+<+.

4. 证明方程根的存在性:

例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.

例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++2342

3

在) 1 , 0 (内有实根.

四 单调函数 （结合几何直观建立）

1 可导函数单调的充要条件

Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) 在),(b a 内

0)(≥'x f ( 或 ).