微分中值定理及应用综述

微分中值定理及应用综述

谢娟 09211045

江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116

摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.

关键词：微分中值定理；关系；应用

引言

微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛.

1 浅谈微分中值定理

1.1 微分中值定理的基本内容

微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下:

1.1.1 罗尔定理

如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导;

( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一

点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即

()/0f ε=

几何分析

在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在

(),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在

平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/

()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助.

（图1）

1.1.2 拉格朗日定理

如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续;

( 2) 在开区间(),a b 内可导, 那么在区间(),a b 内至少有一点()a b εε<< , 使等式

()()()

/f b f a f b a

ε-=

-成立.

几何意义

从（图2）可知, 曲线()y f x =在[],a b 上是连续光滑的曲线(即拉格朗日定理的条件在几何上的反映), 那么曲线弧AB 在(),a b 上至少有一点的切线平行于弦AB (弦AB 的斜率为

()()AB f b f a k b a -=

-,在(),a b ε∈处的切线平行于AB, 则()()()/

AB f b f a f k b a

ε-==-

（图2）

1.1.3 柯西中值定理

如果函数()f x 及()F x 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 对任意(),x a b ∈，()/0F x ≠

那么在区间(),a b 内至少有一点ε ()a b ε<< , 使等式()()()()()

()

//f b f a f F b F a F εε-=

-成立.

2 三个定理之间的关系

在拉格朗日定理中, 如果()()f a f b =, 则变成罗尔定理; 在柯西中值定理中, 如果

()F x x = , 则变成拉格朗日定理.因此, 拉格朗日定理是罗尔定理的推广, 柯西中值定理是拉

格朗日定理的推广.反之, 拉格朗日定理是柯西中值定理的特例, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

3 微分中值定理的应用

微分中值定理主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质, 在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具.中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、拐点等项的重要性质.从而把握函数图象的各种几何特征.

3.1 讨论方程零点（根）的存在性问题

例[10]

1

、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >,试证在(),a b 内，方程

()()()()22/

2x f b f a b a f x -=-⎡⎤⎣⎦

至少存在一个根. 证明：令()()()()

()222

F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦

，显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且 ()()()()22F a f b a b f a F b =-=

根据罗尔定理，至少存在一个ε ，使()()()()22

/

2f b f a b a f εε-=-⎡⎤⎣⎦.

故在(),a b 内，方程()()()()22

/

2x f b f a b a f ε-=-⎡⎤⎣⎦

至少存在一个根.

由[10]中的例1，我们可以知道，在我们要讨论的方程中，除了二次方程根的问题容易讨

论之外，如果遇到复杂的方程，往往无从下手时，对于存在性的问题，我们可以分析题设条件，结合已学过的定理进行分析并解决.微分中值定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续、可导（并不要求区间端点可导），再加