微积分中值定理详细
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理（Taylor'sMeanValueTheorem）是微积分中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关。
该定理表达了一个函数在某个区间内存在一个点，使得该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
泰勒中值定理的公式形式如下：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
则存在一个介于a和b之间的数c，使得：
f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)
其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
这个公式说明，对于满足定理条件的函数，其在区间[a,b]上的平均变化率等于某一点处的瞬时变化率。
换句话说，存在一个点使得函数的瞬时变化率等于平均变化率。
泰勒中值定理是数学中许多重要定理的基础，它在微积分的应用中经常被使用，例如用于证明极限存在、判断函数的凸凹性质以及解方程等。
1/ 1。
微积分中的中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。
微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。
而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。
中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。
具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。
根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。
例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
本文将介绍微分中值定理的概念、原理以及应用，并探讨其在实际问题中的价值。
一、概念微分中值定理是指对于连续函数f(x)在[a,b]区间及(a,b)内可导，存在一点c使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这里的c表示在(a,b)内的某一点。
二、原理微分中值定理基于导数的性质推导而来。
根据导数的定义，当函数在某一点可导时，其导数可以表示为函数在该点的切线的斜率。
利用这一性质，微分中值定理表明，对于某个区间上的连续函数，存在一点使得切线的斜率等于函数在该区间上的平均斜率。
三、应用微分中值定理有许多应用场景。
以下是其中几个常见的应用：1. 判断函数的增减性：根据微分中值定理，当函数在某个区间上的导数恒为正时，可以判断函数在该区间上是单调递增的；当导数恒为负时，则函数为单调递减的。
2. 寻找函数极值点：使用微分中值定理可以找到函数在某个区间内的极值点。
根据定理，当导数为零时，存在某个点使得函数的增量等于零，即函数在该点上取得极小值或极大值。
3. 证明数学定理：微分中值定理是许多重要数学定理的基础。
比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，都是基于微分中值定理推导而来的。
4. 解决实际问题：微分中值定理可以应用于实际问题的解决。
例如，用微分中值定理可以证明某一时刻速度为零的时候必然存在于加速度为零的时刻，或者在一段时间内至少存在过某一特定速度等。
总结：微分中值定理是微积分中非常重要的定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
通过对它的研究与应用，我们可以判断函数的增减性，找到函数的极值点，证明数学定理以及解决实际问题。
它在数学和实际问题的研究中发挥了重要的作用。
注：为满足字数要求，本文对微分中值定理的概念、原理和应用进行了展开解释，并适当增加了相关实例和讨论。
希望对您有所帮助。
微积分x02-4中值定理
f (x)在 x 处于可微：
△ydy=f
(x )· △x
f (x)在 [a, b] 上满足 拉格朗日定理条件：
△y=
要求:| △x |很小，
且f (x)0
f ( x+ △x )· △x
要求: △x有限.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
注:拉氏公式的几种形式
f (b) f (a) f ( ) ba
而 (x) f ( x) f (b) f (a) , ba 所以 ( ) f ( ) f (b) f (a) =0 由此得 f ( )
f (b) f (a) . ba
ba
即 f (b)f (a)=f ( )(ba).
证法二
证 设F ( x) [ f (b) f (a)]x f ( x)(b a)
f ( x) a1 x a2 x an x ,
2 n
则 f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得
f ( ) 0.
'
f ( ) a1 2a2 nan
'
n1
0.
2. 拉格朗日
(Lagrange) 中值定理.
y
拉格朗日中值定理 (微分中值定理）: 若函数 f (x)满足
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
x ln(1 x ) , 1 x x x, 1 x 1
x 即 ln(1 x ) x . 1 x
• 例3 试证 |sin x -sin y| | x - y |
所以 f ( x)
2
2
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
大学微积分(上)第四章 中值定理
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
o
a
x1 x2
x4
x5 b
x
一、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
y 2 1
o
极大点与极小点统称为极值点 . 为极大点 , 为极小点 , 是极大值 是极小值
1 2
x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对可导函数, 极值可能出现在导数为 零的点
第四章 中值定理及导数的应用
在本章中, 要利用导数来研究函数的性质与形态.
如: 函数增量与自变增量之间的关系;
凹凸、最大，最小、图形等.
函数的单调、
中值定理是利用导数研究函数的理论基础.
第一节 中值定理
洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
解：∵ f (x)在[0, ]上连续，在(0, )上可导， 且 f(0) = f() ∴由洛尔定理知： 在(0, )内至少有一点，使 f ()=0，
即: cos =0, 故=/2。
例2
验证洛尔定理对函数 f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10 在 [1,2]上的正确性。 解：∵ f (x)在[－1, 2]上连续，在(－1, 2)上可导， 且 f(－1) = f(2) ∴由洛尔定理知：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0
x
因此必然有
f ( ) 0
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理
设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形 是一条连续光滑的曲线弧 AB ，显
B
y C
然 f (b) f (a) 是连接点A(a, f (a)) ba
和点B(b, f (b))的弦AB 的斜率，如
图 所示，容易看出，在(a,b)内至少
l：y f (a) f (b) f (a) (x a). ba
而与曲线有关的直线应 该是每点处的切线 . 我们来看看曲线的切线 与直线 l 存在什么样的关系 ?
y
T 与 l 平行
(b, f (b))
T
y f (x) l
(a, f (a))
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
下定理——罗尔（Rolle）定理。
y
C
A
B
定理1 设函数 f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3） f (a) = f (b) .
o aξ
bx
则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 f ( ) 0 (a b).
证 因 f (x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M 和最小值m。
这样的可能有好多
O
a
bx
Made by Huilai Li
f (b) f (a) f ( ) ( (a, b)).
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)
在区间 [x, x x] 上应用拉各朗日中值定理时，
结论可以写成
f (x x) f (x) f ( )x (x x x)
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为
的极大值点 ,
称
为函数的极大值 ;
(2)
则称 为
的极小值点 ,
称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
而
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 若
f (x) lim
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。
推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 f (x) 0 ，则 f (x)
在(a,b)内是一个常数。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1< x2，显然 f (x)在
[a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点ξ∈ (x1，x2) ，使得
第三章
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.1.4 罗必达法则
一 两个无穷小量之比的极限 （ 0 型） 0
x x 定理：设（1）
lim
xx0
f
(x)
0, lim xx0
g(x)
0
（2）在点 0 的某邻域内（点 0本身可以
除外），f (x) 及 g(x) 存在且 g(x) 0
则有
（3） lim f (x) xx0 g(x)
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
证毕
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
为证明等式成立，我们作辅助函数 F (x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)] g(b) g(a)
显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点
ξ，使得 F( ) 0，即
f ( ) f (b) f (a) g( ) 0 (a b)
x0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn ) 0 x0 n
0 型
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例6. 求 lim (sec x tan x).
x2
型
解: 原式 lim ( 1 sin x ) lim 1 sin x x2 cos x cos x x2 cos x
(3) g(x) 0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f ( ) (a b) g(b) g(a) g( )
证 先用反证法证明g(b) － g(a)≠0，若不然，即有g(b) = g(a). 则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈ (a,b)，使得g(x0 ) 0 ，此与条 件(3)矛盾，故有g(b) － g(a)≠0。
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
(1)若M = m则 f (x)在[a,b]上是常数；
f (x) = M， x∈ [a,b]
从而 f (x) 0，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有 f ( ) 0
(2)若M ≠ m ，则M , m中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设 f (a) ≠ M 。因此，函数 f (x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M 。我们来证
f (x) g(x),
x (a,b)
则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即
f (x) g(x) c, x (a,b)
其中c为常数。 事实上，因为[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0, x (a,b)，由
推论1可知
f (x) g(x) c, x (a,b)
lim cos x x2 sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim xx.
x0
00 型
解: lim xx lim exln x
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
g(b) g(a) 即
f (b) f (a) f ( ) (a x) g(b) g(a) g( ) 注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。
第二节 洛必达பைடு நூலகம்则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式 三、其他未定式
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 设
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
说明 目录 上页 下页 返回 结束
存在一点ξ使A弧B 上的点C(ξ, f (ξ))
A
o aξ
b
x
图
的切线与弦AB 平行。
由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange） 中值定理。
定理2 设函数 f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得
ba
显然 (x) 在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且
(x [a, b])
(a) (b) 0
于是由罗尔定理，至少存在一点ξ ∈ (a,b) ，使得
( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
f (b) f (a) f ( ) ( (a, b)).
ba
已知条件是 y f（x），x [a,b]. 因此，可得到一条过曲 线两个端点的直线
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.1.3 柯 西 中 值 定 理
作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导；
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 由条件知 f ( ) 0，从而f (x2) － f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2