微积分中值定理详细
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理（Taylor'sMeanValueTheorem）是微积分中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关。
该定理表达了一个函数在某个区间内存在一个点，使得该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
泰勒中值定理的公式形式如下：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
则存在一个介于a和b之间的数c，使得：
f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)
其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
这个公式说明，对于满足定理条件的函数，其在区间[a,b]上的平均变化率等于某一点处的瞬时变化率。
换句话说，存在一个点使得函数的瞬时变化率等于平均变化率。
泰勒中值定理是数学中许多重要定理的基础，它在微积分的应用中经常被使用，例如用于证明极限存在、判断函数的凸凹性质以及解方程等。
1/ 1。
微积分中的中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。
微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。
而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。
中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。
具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。
根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。
例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
本文将介绍微分中值定理的概念、原理以及应用，并探讨其在实际问题中的价值。
一、概念微分中值定理是指对于连续函数f(x)在[a,b]区间及(a,b)内可导，存在一点c使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这里的c表示在(a,b)内的某一点。
二、原理微分中值定理基于导数的性质推导而来。
根据导数的定义，当函数在某一点可导时，其导数可以表示为函数在该点的切线的斜率。
利用这一性质，微分中值定理表明，对于某个区间上的连续函数，存在一点使得切线的斜率等于函数在该区间上的平均斜率。
三、应用微分中值定理有许多应用场景。
以下是其中几个常见的应用：1. 判断函数的增减性：根据微分中值定理，当函数在某个区间上的导数恒为正时，可以判断函数在该区间上是单调递增的；当导数恒为负时，则函数为单调递减的。
2. 寻找函数极值点：使用微分中值定理可以找到函数在某个区间内的极值点。
根据定理，当导数为零时，存在某个点使得函数的增量等于零，即函数在该点上取得极小值或极大值。
3. 证明数学定理：微分中值定理是许多重要数学定理的基础。
比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，都是基于微分中值定理推导而来的。
4. 解决实际问题：微分中值定理可以应用于实际问题的解决。
例如，用微分中值定理可以证明某一时刻速度为零的时候必然存在于加速度为零的时刻，或者在一段时间内至少存在过某一特定速度等。
总结：微分中值定理是微积分中非常重要的定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
通过对它的研究与应用，我们可以判断函数的增减性，找到函数的极值点，证明数学定理以及解决实际问题。
它在数学和实际问题的研究中发挥了重要的作用。
注：为满足字数要求，本文对微分中值定理的概念、原理和应用进行了展开解释，并适当增加了相关实例和讨论。
希望对您有所帮助。
微积分x02-4中值定理
f (x)在 x 处于可微：
△ydy=f
(x )· △x
f (x)在 [a, b] 上满足 拉格朗日定理条件：
△y=
要求:| △x |很小，
且f (x)0
f ( x+ △x )· △x
要求: △x有限.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
注:拉氏公式的几种形式
f (b) f (a) f ( ) ba
而 (x) f ( x) f (b) f (a) , ba 所以 ( ) f ( ) f (b) f (a) =0 由此得 f ( )
f (b) f (a) . ba
ba
即 f (b)f (a)=f ( )(ba).
证法二
证 设F ( x) [ f (b) f (a)]x f ( x)(b a)
f ( x) a1 x a2 x an x ,
2 n
则 f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得
f ( ) 0.
'
f ( ) a1 2a2 nan
'
n1
0.
2. 拉格朗日
(Lagrange) 中值定理.
y
拉格朗日中值定理 (微分中值定理）: 若函数 f (x)满足
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
x ln(1 x ) , 1 x x x, 1 x 1
x 即 ln(1 x ) x . 1 x
• 例3 试证 |sin x -sin y| | x - y |
所以 f ( x)
2
2
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
大学微积分(上)第四章 中值定理
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
o
a
x1 x2
x4
x5 b
x
一、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
y 2 1
o
极大点与极小点统称为极值点 . 为极大点 , 为极小点 , 是极大值 是极小值
1 2
x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对可导函数, 极值可能出现在导数为 零的点
第四章 中值定理及导数的应用
在本章中, 要利用导数来研究函数的性质与形态.
如: 函数增量与自变增量之间的关系;
凹凸、最大，最小、图形等.
函数的单调、
中值定理是利用导数研究函数的理论基础.
第一节 中值定理
洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
解：∵ f (x)在[0, ]上连续，在(0, )上可导， 且 f(0) = f() ∴由洛尔定理知： 在(0, )内至少有一点，使 f ()=0，
即: cos =0, 故=/2。
例2
验证洛尔定理对函数 f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10 在 [1,2]上的正确性。 解：∵ f (x)在[－1, 2]上连续，在(－1, 2)上可导， 且 f(－1) = f(2) ∴由洛尔定理知：
微积分 第四章 第一节 中值定理
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内.
思考：f (x)的零点呢？
11
二、将拉罗格尔朗定日理(条La件gra中ng去e)掉中值f (定a) 理 f (b), 得到
如果函数f (x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，
f
(b)
f
(a)
(x a)，
ba
或
F(x) f (x)(b a) [ f (b) f (a)]x
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a,b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
13
例8 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件, f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ， e1 e1
e 1 (1,e)， 使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
14
f ( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)， 介于a和b之间
或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(
x)
sin
1 x
,
x0
0 , x 0
（B）
g(
x)
x
sin
1 x
,
x
0
0 , x 0
（
C
）
h(
中值的定理
中值的定理中值定理是微积分中的一个重要定理，用于描述函数的平均变化率与函数的增减情况之间的关系。
它是由数学家罗尔斯提出的，也被称为罗尔定理。
中值定理是微积分中的一个基本概念和理论工具，常用于证明其他的定理和推导其他的公式。
它的核心思想是在一个区间上存在某个点，使得函数在这个点的瞬时变化率等于平均变化率。
具体而言，中值定理分为洛必达中值定理和拉格朗日中值定理两种形式。
洛必达中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且在(a,b)内取得两个不同的值f(a)和f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数有两个不同的值，那么它在这个区间内一定存在一个切线。
拉格朗日中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的平均变化率等于这个区间内某一点的瞬时变化率。
中值定理的几何意义是，如果一个函数在某个区间内具有连续性和可导性，那么必然存在一条导数对应着该函数在该区间上的切线。
也就是说，函数在某个区间上的平均变化率和瞬时变化率之间存在着一个等价关系。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
比如，我们可以利用中值定理来证明函数的单调性，寻找函数的最大值和最小值，判断函数的凹凸性，研究函数的增长趋势等。
这些应用都是基于中值定理所提供的函数变化率的信息。
总而言之，中值定理是微积分中重要的概念和定理，它通过平均变化率和瞬时变化率之间的关系，描述了函数在一个区间内存在切线的性质。
它不仅在理论推导中具有重要的作用，也在实际问题的分析和求解中发挥着关键的作用。
因此，中值定理是微积分学习的基础，对于理解函数的变化规律和解决实际问题有着重要的意义。
中值定理是微积分中的基本定理之一，它可以将函数的平均变化率与瞬时变化率联系起来，从而帮助我们更好地理解函数的性质和求解实际问题。
微分积中值定理
微分积中值定理微分积中值定理是微积分中的重要定理，它指出了在一定条件下，函数的平均变化率等于它在某一点的导数值。
一般来说，微分积中值定理可以用于证明一些重要的基本定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
下面，我将详细介绍微分积中值定理的概念、证明以及应用。
微分积中值定理的概念微分积中值定理也称为罗尔中值定理，它是微积分中的基本定理之一。
定理的内容是：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，在闭区间$(a,b)$内取得了端点值$f(a)$和$f(b)$，则存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
其中，$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$表示函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的平均变化率。
微分积中值定理的证明微分积中值定理的证明可以通过画图来进行，主要分为以下几步：第一步：画出函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的图像。
第二步：连结点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的线段，然后将这条线段的斜率设为$k$。
因为$f(x)$在开区间$(a,b)$上可导，所以函数$f(x)$在$(a,b)$处的导数$f'(x)$具有介值性，即在$(a,b)$中的任意一点$x$处，$f'(x)$都能够取到线段的斜率$k$。
因此，我们可以找到一个点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=k$。
第三步：去掉端点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的线段，将它们和点$(c,f(c))$连成两根直线，便可得到一个由三条线段组成的不封闭的折线。
因为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，所以这条折线一定会与函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的图像相交。
设折线与$f(x)$的图像的交点为$(d,f(d))$，则$f(d)=f(c)+k(d-c)$。
第四步：由于函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取得了端点值$f(a)$和$f(b)$，所以$f(a)\leqslant f(d)\leqslant f(b)$。
微分中值定理有哪些
微分中值定理有哪些微分中值定理是微积分中的一个重要的定理，它在微积分中用于解决某些问题。
它的定义如下：假设f（x）在定义域[a,b]上连续，∀x∈（a,b）有f'（x）存在且连续，那么对于某一定义域[c，d]Φ[c,d]，且a< c < d < b，有f(b)−f(a) = f'(c)(b−a)这就是微分中值定理的定义，它为我们解决一些问题提供了一种很好的解决思路。
举一个例子来说明这个定理，假设我们现在有一个函数f(x)=3x^2-2，要求解[1，4]上的f(x)的导数，首先可以利用微分中值定理，我们可以知道f'(x)在x=2处取得最大值，那么f'(2)就可以根据微分中值定理来求出：f(4)−f(1) = f'(2)(4-1)f'(2) = (f(4)-f(1))/(4-1)f'(2) = (48-3)/3f'(2) = 45/3以上就是利用微分中值定理来求解函数f(x)在x=2处的导数的计算过程，当然并不是所有的函数都能够用微分中值定理求得最大值，但是它的主要作用还是帮助我们求解某些特殊的问题，比如在给定范围内求解函数的最大值。
再举一个例子，对于一个函数f(x)，定义域为[0，2]，我们可以将函数f(x)在[0，2]区间上分为[0,1]和[1，2]，利用微分中值定理：f(2)−f(0) = f'(1)(2-0)可以分别求出f(x)的导数f'(x)在[0，1]和[1，2]上的大小，我们可以看到，通过微分中值定理，解决微积分问题变得更加容易，在很多情况要节省很多时间。
以上就是微分中值定理及其应用的一些内容。
微分中值定理是微积分中重要的定理，它可以用来解决某些特殊的问题，也可以节约时间。
关于高等数学常见中值定理证明及应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理在数学中有广泛的应用，尤其在求解函数的零点、证明不等式等问题上起到了重要的作用。
下面我将详细介绍这些中值定理的证明及应用。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：拉格朗日中值定理是微积分中最基本的中值定理之一、设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在xi∈(a, b)，使得f'(xi) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内其中一点的导数等于函数在闭区间两端的函数值之差与区间长度的比值。
证明：我们可以通过引入辅助函数g(x)=f(x)-kx来证明，其中k是一个常数，使得g(a)=g(b)。
然后根据罗尔中值定理，我们得到存在一个ξ∈(a, b)，使得g'(ξ)=0。
进而，我们得到f'(ξ)-k=0，即f'(ξ)=k。
由于k=(f(b)-f(a))/(b-a)，得到f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
应用：拉格朗日中值定理常用来证明不等式、求解方程和不定积分等问题。
例如，若函数在区间[a, b]上连续且处处大于零，则存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ)>(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx。
这可以直接利用拉格朗日中值定理证明。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它描述的是两个函数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在xi∈(a, b)，使得(f'(xi)/g'(xi))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
微积分中值定理详细
从而 ，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有
因此必然有
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理
设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧 ，显然 是连接点A(a, f (a))和点B(b, f (b))的弦 的斜率，如图 所示，容易看出，在(a,b)内至少存在一点ξ使弧 上的点C(ξ, f (ξ))的切线与弦 平行。
例1. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
故所证等式在定义域 上成立.
自证:
经验:
欲证
时
只需证在 I 上
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例2. 证明不等式
证: 设
中值定理条件,
即
因为
故
因此应有
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二、曲线的凹凸与拐点
3.2函数性态的研究
第三章
3.2.1 函数单调性和极值 1.函数的单调性
若
定理 1. 设函数
则 在 (a,b)内单调递增
(递减) .
证: 无妨设
任取
由拉格朗日中值定理得
故
这说明 在 I 内单调递增.
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),
并在该书中提出了求未定式极
限的方法,
后人将其命名为“ 洛必达法
的摆线难题 ,
以后又解出了伯努利提出的“ 最速降
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
微积分三大中值定理详解
f ( x) C[a, b] max(min) f ( x) M(m) [a, b] 1) 若 M m, 即 f ( x )恒为常数, y y f ( x) f ( x ) 0, 可取(a, b)内任一点作为 ; A B 2) 若 M m, 由 f (a ) f (b) 知, M , m 至少有一个要在 ( a , b) 内取得. x o a b 不妨设 M 在 ( a , b) 内点 处取得, 即 f ( ) M f (a ) f ( x ) f ( )
Q (1 , 2 ) (a, b)
∴再由罗尔定理得，
存在•• 3 (1 , 2 ) (a, b), 使得••f "(3 ) 0.
微积分（一） calculus
例6
f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
且f (1) 0, 证明 : 至少存在一点 (0,1)使得 2 f ( ) f ( )sin 2 0. 分析 当 （0，1）时,有2 f ( ) f ( )sin 2 0
微积分（一） calculus
1、罗尔 ( Rolle ) 定理(R-Th)
1) 在闭区间 [a, b] 上连续; 若函数 f ( x ) 满足： 2) 在开区间 ( a, b) 内可导; 3) f (a ) f (b), 则在 ( a , b) 内至少 有一点 (a b), 使 f ( ) 0.
微积分（一） calculus
例1 设f ( x) 2x 3 5x 2 2x 5, x [1,1], 验证f ( x)是否满足Rolle定理的条件？ 若满足,求出定理中使f ( ) 0的 .
解 f ( x) 2x 3 5x 2 2 x 5
微分中值定理的证明及应用
微分中值定理的证明及应用微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，可以用来证明一些关于连续函数、可导函数以及函数的性质的定理，也可以用于解决一些实际问题。
下面将从两个方面，即证明与应用，进行详细讨论。
一、微分中值定理的证明1.拉格朗日中值定理的证明：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。
根据费马定理，我们可以知道在(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=0。
即斜率为0.如果c点不是唯一，则取多个c点即可。
下面分两种情况进行讨论。
情况一：如果c=a或c=b，即在区间开头或结尾处取得斜率为0的点。
不妨设c=a，那么有f(a+h)-f(a)=f'(c)×h=0（因为斜率为0），所以得到f(b)-f(a)=0。
这个结论即为拉格朗日中值定理的结论。
情况二：如果c在(a,b)内，即在区间内部取得斜率为0的点。
定义一个新函数g(x) = f(x) - kc (k为实数)，显然g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(a)=g(b)。
根据罗尔定理（Rolle's theorem），在(a,b)上存在一个点d，使得g'(d)=0，也就是说f'(d)-kc=0。
解得f'(d)=kc，而c点为f(x)在(a,b)上的极大值点或极小值点，即斜率为0。
故存在一个点d在(a,b)内，使得f'(d)=0；再利用拉格朗日中值定理的情况一即可得拉格朗日中值定理的结论。
2.柯西中值定理的证明：设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c在(a,b)内，使得(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)。
定义一个新函数h(x) = f(x) - kg(x)（k是实数），显然h(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且h(a)=h(b)。
中值定理的中值
中值定理的中值
中值定理是微积分学中的重要定理，它描述了函数在某个区间内的单调性和曲线的几何特性。
中值定理的名称来源于它在函数曲线中值点的存在性。
中值定理的表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的证明可以通过罗尔定理和拉格朗日中值定理来实现。
罗尔定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。
而拉格朗日中值定理则表明，如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
因此，结合这两个定理，我们可以证明中值定理。
中值定理的应用非常广泛，它可以用于求解函数的极值、最值、单调性等问题。
例如，利用中值定理可以判断函数曲线的凹凸性，从而确定函数的单调性。
此外，中值定理还可以用于求解一些实际问题的最优解，例如最短路径问题、最小费用问题等。
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
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x0
x
因此必然有
f ( ) 0
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理
设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形 是一条连续光滑的曲线弧 AB ，显
B
y C
然 f (b) f (a) 是连接点A(a, f (a)) ba
和点B(b, f (b))的弦AB 的斜率，如
图 所示，容易看出，在(a,b)内至少
l：y f (a) f (b) f (a) (x a). ba
而与曲线有关的直线应 该是每点处的切线 . 我们来看看曲线的切线 与直线 l 存在什么样的关系 ?
y
T 与 l 平行
(b, f (b))
T
y f (x) l
(a, f (a))
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
下定理——罗尔（Rolle）定理。
y
C
A
B
定理1 设函数 f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3） f (a) = f (b) .
o aξ
bx
则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 f ( ) 0 (a b).
证 因 f (x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M 和最小值m。
这样的可能有好多
O
a
bx
Made by Huilai Li
f (b) f (a) f ( ) ( (a, b)).
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)
在区间 [x, x x] 上应用拉各朗日中值定理时，
结论可以写成
f (x x) f (x) f ( )x (x x x)
o
x
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2 函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为
的极大值点 ,
称
为函数的极大值 ;
(2)
则称 为
的极小值点 ,
称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 .
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解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
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说明:
1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
而
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2) 若
f (x) lim
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。
推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 f (x) 0 ，则 f (x)
在(a,b)内是一个常数。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1< x2，显然 f (x)在
[a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点ξ∈ (x1，x2) ，使得
第三章
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3.1.4 罗必达法则
一 两个无穷小量之比的极限 （ 0 型） 0
x x 定理：设（1）
lim
xx0
f
(x)
0, lim xx0
g(x)
0
（2）在点 0 的某邻域内（点 0本身可以
除外），f (x) 及 g(x) 存在且 g(x) 0
则有
（3） lim f (x) xx0 g(x)
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
证毕
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例1. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
为证明等式成立，我们作辅助函数 F (x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)] g(b) g(a)
显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点
ξ，使得 F( ) 0，即
f ( ) f (b) f (a) g( ) 0 (a b)
x0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn ) 0 x0 n
0 型
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例6. 求 lim (sec x tan x).
x2
型
解: 原式 lim ( 1 sin x ) lim 1 sin x x2 cos x cos x x2 cos x
(3) g(x) 0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f ( ) (a b) g(b) g(a) g( )
证 先用反证法证明g(b) － g(a)≠0，若不然，即有g(b) = g(a). 则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈ (a,b)，使得g(x0 ) 0 ，此与条 件(3)矛盾，故有g(b) － g(a)≠0。
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
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说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
(1)若M = m则 f (x)在[a,b]上是常数；
f (x) = M， x∈ [a,b]
从而 f (x) 0，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有 f ( ) 0
(2)若M ≠ m ，则M , m中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设 f (a) ≠ M 。因此，函数 f (x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M 。我们来证
f (x) g(x),
x (a,b)
则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即
f (x) g(x) c, x (a,b)
其中c为常数。 事实上，因为[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0, x (a,b)，由
推论1可知
f (x) g(x) c, x (a,b)
lim cos x x2 sin x
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim xx.
x0
00 型
解: lim xx lim exln x
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
g(b) g(a) 即
f (b) f (a) f ( ) (a x) g(b) g(a) g( ) 注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。
第二节 洛必达பைடு நூலகம்则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式 三、其他未定式
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
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思考与练习
1. 设
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
说明 目录 上页 下页 返回 结束
存在一点ξ使A弧B 上的点C(ξ, f (ξ))
A
o aξ
b
x
图
的切线与弦AB 平行。
由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange） 中值定理。
定理2 设函数 f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得
ba
显然 (x) 在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且
(x [a, b])
(a) (b) 0
于是由罗尔定理，至少存在一点ξ ∈ (a,b) ，使得
( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
f (b) f (a) f ( ) ( (a, b)).
ba
已知条件是 y f（x），x [a,b]. 因此，可得到一条过曲 线两个端点的直线
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
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3.1.3 柯 西 中 值 定 理
作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导；
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 由条件知 f ( ) 0，从而f (x2) － f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2