[配套k12学习]2018北师大版高中数学必修四学案：第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)
学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
知识点一 π2
±α的诱导公式
思考1 角α与π
2＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？
思考2 能否利用公式sin(α＋π2)＝cos α，cos(α＋π2)＝－sin α得出π
2－α的正弦、余弦与角α
的正弦、余弦的关系？
梳理 对任意角α，有下列关系式成立： sin(π2＋α)＝cos α， cos(π
2＋α)＝－sin α (1.13) sin(π2－α)＝cos α， cos(π
2
－α)＝sin α
(1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π
2＋α的正(余)弦函数值，等于α的________三角函数值，
前面加上一个把α看成___________________，记忆口诀为“_________________________”． 知识点二 诱导公式的记忆方法
1.α＋2k π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
2.π2±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看π2±α的函数值符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”．
诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k
为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知cos(π＋α)＝－1
2，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值； (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．
反思与感悟 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，
π4＋θ与3π
4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3
3，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值．
类型二 利用诱导公式化简
例2 化简：cos ⎝⎛⎭⎫k π＋π2－αsin ⎝⎛⎭
⎫k π－π2－αsin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z.
反思与感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．
跟踪训练2 化简：sin (－2π－α)cos (6π－α)
sin ⎝⎛⎭⎫α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫α＋32π.
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f (x )＝sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫32π＋x cos ⎝⎛⎭
⎫7
2π－x cos (3π－x )sin (π－x )sin (－π＋x )sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x .
(1)化简f (x )；
(2)若x 是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫x －32π＝1
5，求f (x )的值； (3)求f ⎝⎛⎭⎫－31
3π.
反思与感悟 本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪训练3 已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin (－α＋3π
2
)
sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α).
(1)化简f (α)；
(2)若cos(α－π)＝1
5，求f (α)的值．
1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
3的值为( )
A ．－233
B.233
C.13
D ．－13
2．若cos(2π－α)＝53，则sin(3π
2
－α)等于( ) A ．－53
B ．－2
3
C.
53
D ．±53
3．若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝3
2，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ＋sin(φ－π)的值为( ) A ．－
33
B.33
C ．－ 3 D. 3
4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝________. 5．已知sin(π＋α)＝－1
3.计算：
(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π
2＋α.
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z)”的诱导公式．当
k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
2＝cos α， cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
2＝－sin α. 思考2 以－α代换公式中的α得到 sin(π
2－α)＝cos(－α)＝cos α， cos(π
2
－α)＝－sin(－α)＝sin α.
梳理 余(正)弦 锐角时原函数值的符号 函数名改变，符号看象限 题型探究
例1 解 (1)∵cos(π＋α) ＝－cos α＝－1
2
，
∴cos α＝1
2.又α为第一象限角，
则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α
＝－
1－⎝⎛⎭⎫122＝－32
. (2)cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·
sin ⎝⎛⎭⎫
2π3－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦
⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－1
3sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－13cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－19
. 跟踪训练1 解 ∵π6＋α＋π
3－α
＝π2，∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π
6
＋α.
∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π
6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33
. 例2 解 当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z)，则原式 ＝
cos ⎝⎛⎭⎫2m π＋π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2m π－π2－αsin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)
＝
cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫－π2－αsin (π＋α)cos α
＝－sin αcos α
－sin αcos α
＝1. 当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)． 仿上化简得：原式＝1. 故原式＝1.
跟踪训练2 解 原式＝sin (－α)·cos (－α)
sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
(－sin α)·cos α
sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
－sin α·cos α
－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
－sin α·cos α
－cos α·sin α
＝1.
例3 解 (1)f (x )＝sin x (－cos x )cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎣⎡⎦⎤3π＋⎝⎛⎭⎫π2－x cos (π－x )sin x [－sin (π－x )]sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋x
＝sin x (－cos x )[－cos (π2＋x )][－cos (π
2
－x )]
－cos x sin x (－sin x )cos x
＝sin x
cos x
.
(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫x －3
2π＝－sin x ， ∴sin x ＝－1
5.
∵x 是第三象限角， ∴cos x ＝－
1－sin 2x ＝－26
5
.
∴f (x )＝sin x cos x ＝126＝6
12
.
(3)f ⎝⎛⎭⎫－31
3π＝sin (－313π)cos (－313π)＝－sin (10π＋π3)
cos (10π＋π
3)
＝－sin
π
3
cos π3＝－ 3.
跟踪训练3 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·(－cos α)
cos α·sin α＝－cos α.
(2)因为cos(α－π)＝1
5，
所以cos α＝－1
5，
所以f (α)＝－cos α＝1
5.
当堂训练
1．D 2.A 3.D 4.3
5
5．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－1
3，
∴sin α＝1
3
.
(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π
2－α ＝－sin α＝－13.
(2)sin ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝cos α， cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝8
9
.
∵sin α＝1
3，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时， sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时， sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223
.。