人教版数学八年级下册菱形的判定

逻辑推理：（ ）+（对角线互垂） （菱形） 符号语言：∵ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD
∴ ABCD是菱形
推论:对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
逻辑推理：（四边形）+（对角线互相平分）+
（对角线互垂）
（菱形）
基础过关练习1：
已知如图， ABCD, AB=5,AO=4,BO=3
求证： ABCD是菱形
菱形的判定
温故知新：
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边 形叫做菱形。
A B
D O
C
2.菱形的性质：(平行四边形共性)+（特性）
菱
边 角 对角线 对称性 4个小三角
形
形
的
性 质
对边平 邻角
行
互补
四边相 对角
等
相等
互相垂 直平分 、每条 对角线 平分一
中心对 称图形 、轴对 称图形
4个全 等的 RT∆
证明：∵AB=5,AO=4,BO=3 ∴OA²+OB²=25=AB² ∴∠AOB=90º, ∴BD⊥AC
∴ ABCD是菱形
D
A
O
C
B
新知探究3：
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形。
B
A
证∴证△AO明AEB≌C△：D是CO菱F∵形．。AB=CD,AD=BC,
C
（2）证明菱形的思路：
（二）大题中证明菱形的思路方法 1.先证明是（平行四边形），再证明 有（一条菱形特性） 2.直接证明（四边相等 ）
注意：（平行四边形）可以用5种说法替换，所以菱 形判定有十多种变式说法
拓展提升
已知：如图，在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别是线段 AD、BC 的中点，G、H 分别是线段 BD、AC 的中点，
∴ AFCE是菱形
1.已知：如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边
AD、BC分别交于E、F．
求证：AFCE是菱形．
3
一条菱特（ 易证 ）
4
证AFCE是平行四边形（ 理由 ）
AE∥CF（易证） ∵ AO=CO（易证）
AE=CF（理由） ∴EO=FO（理由）
四边相等
证△AOE≌△COF． 证△AOE≌△COF
AAS或ASA
AAS或ASA
△AOE≌△COF 得AE=CF
EF垂直、平分AC 得EA=EC,FA=FC
课堂收获：
（一）菱形判定定理 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 判定3：四条边相等的四边形是菱形。 推论： 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
新知探究1：
A
菱形判定方法1：菱形的定义
B C
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。D
逻辑推理：（ ）+（1组邻边等） （菱形）
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴
ABCD是菱形。
注意：菱形定义得到判定1，可以放心直接使用
新知探究2：
观察与思考：
A
B C
1.如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， D 则四边形ABCD是不是菱形？ 不是 。
D
ABCD 是菱形.
O C
B
2.已知如图， ABCD中，
B
∠1=∠2，ABCD的形状 菱形 ，理由： A 证明：∵ABCD是平行四边形
1 2
3C
∴AD ∥ BC
D
∴∠2＝∠3
又∵∠1＝∠2
∴∠1=∠3
∴AB=CB ∴ ABCD是菱形
小试牛刀
1.已知：如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．
（1）求证：四边形 EGFH 是平行四边 （2）ABCD的边满足什么条件时，EGFH
为菱形，说明理由
思路分析：
（1）从中位线角度你有几种方法证明到EGFH是 平行四形？一组对边平行且相等 ; 两组对边分别相等 ;
两组对边分别平行 . （2）从执果索因角度，逆
向分析ABCD 的边满足什么条件？
，
EGFH才变成菱形。
治天下者必先立其志。
人之所以异于禽者，唯志而已矣!
∴AO=CO， 无所求则无所获。
人生各有志。 鱼跳龙门往上游。
4
∴AAS可证△AOE≌△COF． 少年心事当拿云。
对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
心随朗月高，志与秋霜洁。
∴EO=FO． 志正则众邪不生。
丈夫志气薄，儿女安得知?
思考：
符号语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
及时梳理
菱形的判定方法：
判定（1）( )+(1组邻边等 )
判定（2）( )+( 对角线互垂 )
判定（3）(四边形)+( 4条边等 )
推论：(四边形)+( 对角线互相平分) +（对角线互相垂直 ）
菱形 菱形
菱形 菱形
基础过关练习2：
1.如图请添加一个条AB=AD 或AC⊥BD 使 A
∴海壮雄三虽纳志鹰军长A百 与 必 可 不∵F川毅须夺满有力比帅七CA容是鸟也尺E乃事飞，，O大业得匹而是=壁的高夫心立双，不雄平C千翼因可万仞。为夺丈O行无它志。欲的也，则猎。四刚物就边是鸟形。 ．12..证证A△FACOEE是≌平△行C四OF边还形有还方有法方吗法？吗？
又EF⊥AC，
3.证AFCE是菱形还有方法吗？
拓展提升
已知：如图，在四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别是线段 AD、BC 的中点，G、H 分别是线段 BD、AC 的中点， （1）求证：四边形 EGFH 是平行四边 （2）ABCD的边满足什么条件时，EGFH 为菱形，说明理由
证明：∵E、G、F、H分别 （2）求证：EGFH是菱形 是…的中点
（1）读小条件 想 一些小结论
ABCD 想到 哪些小结论
3
EF垂直平分AC 想到 哪些小结论
（2）证明菱形的思路：
4
思路①先证明( 平行四边形)，再
证明( 1组邻边等或对角线互垂) 思路②直接证明（ 四边都等）
（3）要证明AFCE是平行四边形，就需要
先证明（ AE=CF或者OE=OF）,那就容易想到 证明（△AOE≌△COF ）
B
2.如图 ABCD的对角线
A
C
AC⊥BD ，则 ABCD是不
是菱形？为什么？ 是 。
D
已知：在 ABCD 中,对角线AC⊥BD
B
证求明证：：∵四边AB形CADB是C菱D是形平。行四边形，A
C
O
∴OA=OC
又∵BD⊥AC ∴AB=BC（中垂线的性质）
（简单、常用、重D 要）
∴
ABCD是菱形。
菱形判定方法2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
母鸡的理想不过是一把糠。
∴ AE∥FC． 立志难也，不在胜人，在自胜。
让自己的内心藏着一条巨龙，既是一种苦刑，也是一种乐趣。
∴∠1=∠2．∠3=∠4 得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
志当存高远。
3
又EF垂直平分AC， 沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
)
壮志与毅力是事业的双翼。
（简单、常用、重要）
对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
∴四边形ABCD是菱形。 （3）要证明AFCE是平行四边形，就需要
判定2：
有（
）
： 。 菱形判定方法3 四条边相等的四边形是菱形 人之所以异于禽者，唯志而已矣!
中心对称图形、轴对称图形
逻辑推理：（四边形）+（四边相等） （菱形）
的中点，且四边形 EFGH 的周长为
O
16cm，求矩形 ABCD 的对角线长
D 菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______.
∴ ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是平行四边形。 已知：如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是线段 AD、BC 的中点，G、H 分别是线段 BD、AC 的中点，
又∵AB=BC, 思路①先证明(
)，再证明(
菱形判定方法2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
组对角
温故知新：
A D
（1）.菱形ABCD中∠ABC＝
O
60°，则∠BAC＝__6_0_°___.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B
（2）.菱形ABCD,AC=4cm和BD=6cm，
（1-2题）
那么菱形的面积是_1_2___cm2.
思考：从菱形性质逆向思考，边、对角线 需要满足什么条件时，平行四边形 （或四边形）才会是菱形呢？
1.已知：如图 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边
AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形． 古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有坚忍不拨之志。
鹰爱高飞，鸦栖一枝。 有志不在年高，无志空活百岁。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， 对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
EG 1 AB, FH 1 AB
2
2
EGFH是平行四边形（已证） EG=EH (交代理由)
∴EG FH ∴EGFH是平行四边形
EG 1 AB(中位线定理) 2
EH 1 CD(中位线定理) 2
作业：
1.教材第60页6题
2.拓展提升
3. 如图，已知 E、F、G、H 分别是
矩形ABCD四边 AB、BC、CD、DA