高一数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》章末练习题卷含答案解析(19)

高一数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》章末复习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 在空间直角坐标系中，以 A (m,1,9)，B (10,−1,6)，C (2,4,3) 为顶点的三角形是等腰三角形，其中 m ∈Z ，则 m 的值为 ( ) A ． −4
B ． 4
C ． −6 或 4
D ． 6 或 4
2. 如图，在平行六面体 ABCD −AʹBʹCʹDʹ 的棱中，与向量 AAʹ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有 ( )
A ． 0 个
B ． 3 个
C ． 7 个
D ． 9 个
3. 在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD 的中点，若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )
A ． 12a −12b ⃗ +1
2c B ． 12a −32b ⃗ −1
2c C ． 1
2a −3
2b ⃗ +1
2
c D ． 1
2a −1
2b ⃗ +3
2
c
4. 已知 {e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ ,e 3⃗⃗⃗ } 为空间向量的一组基底，若 a =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ +e 3⃗⃗⃗ ，b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ −e 3⃗⃗⃗ ，c =e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ +e 3⃗⃗⃗ ，d =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ +3e 3⃗⃗⃗ ，且 d =αa +βb ⃗ +γc ，则 α，β，γ 的值分别为 ( ) A ． 5
2，−1，−1
2
B ． 5
2，1，1
2 C ． −5
2，1，−1
2 D ． 5
2，1，−1
2
5. 如图，在平行六面体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则下列向量中与 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )
A ． 12a +1
2b ⃗ +c B ． 12a −1
2b ⃗ +c C ． −1
2a +1
2b ⃗ +c
D ． 1
2a +1
2b ⃗ −c
6. 已知点 A (−4,1,−3)，则点 A 关于原点的对称点的坐标为 ( ) A ． (4,1,−3) B ． (4,−1,3) C ． (3,−1,4) D ． (−3,1,4)
7. 已知点 A (1−t,1−t,t )，B (2,t,t )，则 A ，B 两点间距离的最小值为 ( ) A ．
√55
B ．
√55
5
C ．
3√5
5
D ． 2
8. 在空间直角坐标系 O −xyz 中，点 M (0,m,0) 与点 P (1,0,2) 和点 Q (1,−3,1) 之间的距离相等，则实数 m 的值为 ( ) A ． −2
B ． −1
C ． 1
D ． 2
9. 在空间直角坐标系中，已知点 P 1(0,√2,3)，P 2(0,1,−1)，点 P 在 x 轴上，若 ∣PP 1∣=2∣∣PP 2∣，则点 P 的坐标为 ( ) A ． (1,0,0) 或 (−1,0,0) B ． (√7,0,0) 或 (−√7,0,0)
C ． (2,0,0) 或 (−2,0,0)
D ． (√2,0,0) 或 (−√2,0,0)
10. 如图所示，在几何体 A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且 AB =BC =1，CD =2，点 E
为 CD 中点，则 AE 的长为 ( )
A ． √2
B ． √3
C ． 2
D ． √5
二、填空题（共6题）
11. 在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，M 为 △A 1B 1C 1 的重心，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c
，则
CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ．
12. 已知 {i ,j ,k ⃗ } 为单位正交基底，且 a =−i +j +3k ⃗ ，b ⃗ =2i −3j −2k ⃗ ，则向量 a −2b
⃗ 的坐标是 ．
13. 已知空间向量 a =(2,−1,3)，b ⃗ =(−1,4,−2)，c =(λ,5,5)，若 a ，b ⃗ ，c 共面，则实数 λ= ．
14. 已知点 A (4,−1,2)，B (2,−3,0)，点 C 满足 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 C 的坐标是 ．
15. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(3,−4)，则向量 a 在向量 b ⃗ 上的投影为 ．
16. 在空间直角坐标系 O −xyz 中，a =(x −2,2y,−2)，b ⃗ =(3x,2y,−3x )，且 a ⋅b
⃗ =12，则 m =x 2+y 2+2x 的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（共6题）
17. 如图，在空间四边形 OABC 中，2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点 E 为 AD 的中点，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ．
(1) 试用向量 a ，b ⃗ ，c 表示向量 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ；
(2) 若 OA =OC =3，OB =2，∠AOC =∠BOC =∠AOB =60∘，求 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．
18. 如图，在直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，底面 ABC 为等边三角形，点 D 为 AA 1 的中点，BC =
BB 1=2．
(1) 求证：BC 1⊥平面B 1CD ；
(2) 求直线 DB 1 与平面 BCD 所成角的正弦值； (3) 求二面角 B −CD −B 1 的正弦值．
19. 如图所示，在平行六面体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，求证：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．
20. 如图所示，M ，N 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ，CD 的中点．试判断向量 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
BC
⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共面．
21. 已知空间中的三点 A (2,0,−2)，B (1,−1,−2)，C (3,0,−4)，设 a =AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1) 若 ∣c ∣=3，且 c ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求向量 c ；
(2) 已知向量 ka +b ⃗ 与 b ⃗ 互相垂直，求 k 的值； (3) 求 △ABC 的面积．
22. 已知空间中的三点 A (0,2,3)，B (−2,1,6)，C (1,−1,5)．
(1) 若 ∣a ∣=√3，且 a 分别与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，求向量 a 的坐标； (2) 若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√14，求点 P 的坐标．
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】B
【解析】若 △ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，则 ∣AC ∣=∣BC ∣， 有 √(m −2)2+(1−4)2+(9−3)2=√(10−2)2+(−1−4)2+(6−3)2， 整理得 m 2−4m −49=0，m ∈Z ，方程无实根；
若 △ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则 ∣AB ∣=∣BC ∣，
有 √(m −10)2+(1+1)2+(9−6)2=√(10−2)2+(−1−4)2+(6−3)2， 整理得 m 2−20m +15=0，m ∈Z ，方程无实根；
若 △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，则 ∣AB ∣=∣AC ∣，
有 √(m −10)2+(1+1)2+(9−6)2=√(m −2)2+(1−4)2+(9−3)2， 即 m 2−20m +113=m 2−4m +49，m ∈Z ，解得 m =4． 【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题
2. 【答案】C
【解析】向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量 AAʹ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量是：AʹA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BBʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BʹB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CCʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CʹC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DDʹ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DʹD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，共 7 个． 【知识点】空间向量的基本概念
3. 【答案】C
【解析】
BE
⃗⃗⃗⃗⃗ =PE
⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2PD
⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(BA
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(PA
⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3
2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
a −3
2
b ⃗ +12
c .
故选C ．
【知识点】空间向量基本定理
4. 【答案】A
【解析】由题意，知
d =αa +βb ⃗ +γc
=α(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ +e 3⃗⃗⃗ )+β(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ −e 3⃗⃗⃗ )+γ(e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ +e 3⃗⃗⃗ )=(α+β+γ)e 1⃗⃗⃗ +(α+β−γ)e 2⃗⃗⃗ +(α−β+γ)e 3
⃗⃗⃗ , 又 d =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ +3e 3⃗⃗⃗ ，
所以 {α+β+γ=1,α+β−γ=2,α−β+γ=3,
解得 {α=5
2,
β=−1,γ=−1
2.
【知识点】空间向量基本定理
5. 【答案】C
【解析】
BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2B 1D 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1
2a +12b ⃗ +c .
【知识点】空间向量基本定理
6. 【答案】B
【解析】根据空间中点的位置关系可得，点 A 关于原点的对称点的坐标就是取原来横坐标、纵坐标，竖坐标的相反数，
所以点 A 关于原点的对称点的坐标为 (4,−1,3)． 【知识点】空间向量的坐标运算
7. 【答案】C
【解析】因为点 A (1−t,1−t,t )，B (2,t,t )， 所以
∣AB ∣2=(t +1)2+(2t −1)2+(t −t )2
=5t 2−2t +2=5(t −15)2
+95.
因为当 t =1
5 时，∣AB ∣2 取得最小值 9
5
，
所以当 t =15
时，∣AB ∣ 的最小值为 3√5
5
． 【知识点】空间向量的坐标运算
8. 【答案】B
【解析】因为 M (0,m,0)，P (1,0,2)，Q (1,−3,1)，∣MP ∣=∣MQ ∣， 所以 12+(−m )2+22=12+(−3−m )2+12， 解得 m =−1．
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题
9. 【答案】A
【解析】设 P (a,0,0)，
因为点 P 1(0,√2,3)，P 2(0,1,−1)，∣PP 1∣=2∣∣PP 2∣， 所以 √a 2+2+9=2√a 2+1+1，
解得 a =1 或 a =−1．
所以点 P 的坐标为 (1,0,0) 或 (−1,0,0)． 【知识点】空间向量的坐标运算
10. 【答案】B
【解析】因为 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1=∣∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，且 AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．
又 ∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2
=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2
， 所以 ∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=3，即 AE 的长为 √3． 【知识点】空间向量的应用、空间线段的长度
二、填空题（共6题） 11. 【答案】 c +a
⃗ 3−
2b ⃗ 3
【解析】如图，连接 C 1M 并延长，交 A 1B 1 于点 D ，
因为在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，M 为 △A 1B 1C 1 的重心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ， 所以
CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +2
3C 1D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +2
3×1
2(C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +1
3(−b ⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +1
3(−b ⃗ +a −b
⃗ )=c +a
⃗ 3−
2b ⃗ 3
.
【知识点】空间向量基本定理
12. 【答案】 (−5,7,7)
【解析】由 a =−i +j +3k ⃗ ，b ⃗ =2i −3j −2k
⃗ ，得 a −2b
⃗ =(−i +j +3k ⃗ )−2(2i −3j −2k ⃗ )=(−i
+j +3k ⃗ )−(4i −6j −4k ⃗ )=(−i −4i )+(j +6j )+(3k ⃗ +4k ⃗ )=−5i +7j +7k
⃗ . 则 a −2b
⃗ =(−5,7,7)． 【知识点】空间向量的坐标运算
13. 【答案】 4
【解析】易知向量 a ，b
⃗ 不共线． 因为向量 a ，b ⃗ ，c 共面，
所以存在唯一的实数对 (x,y )，使 c =xa +yb
⃗ ， 即 (λ,5,5)=x (2,−1,3)+y (−1,4,−2)， 所以 {2x −y =λ,−x +4y =5,3x −2y =5, 解得 {x =3,y =2,λ=4.
【知识点】空间向量的坐标运算
14. 【答案】 (10
3,−53,4
3)
【解析】设 C (x,y,z )，O 为坐标原点．由点 C 满足 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得 OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =13(2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13[(8,−2,4)+(2,−3,0)]=(103,−53,43)，则 C 的坐标是 (103,−53,43)． 【知识点】空间向量的数乘运算
15. 【答案】−1
【解析】由已知向量 a 在向量 b ⃗ 上的投影为 a ⃗ ⋅b ⃗
∣b ⃗
∣
=√32+42=−1． 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题、投影平面和视图
16. 【答案】 0 ； 8
【解析】因为 a =(x −2,2y,−2)，b ⃗ =(3x,2y,−3x )，且 a ⋅b
⃗ =12， 所以 3x (x −2)+(2y )2+(−2)×(−3x )=3x 2+4y 2=12， 即
x 24
+
y 23
=1，
设 x =2cosθ，y =√3sinθ，
则 m =x 2+y 2+2x =4cos 2θ+3sin 2θ+4cosθ=cos 2θ+4cosθ+3=(cosθ+2)2−1， 又 cosθ∈[−1,1]， 则 m min =0，m max =8， 故答案为：0，8．
【知识点】空间向量的数量积运算
三、解答题（共6题） 17. 【答案】
(1) 因为 2BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1
3
(c −b ⃗ )， 故 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +13(c −b ⃗ )=23b ⃗ +13c ， 因为点 E 为 AD 的中点，
所以 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a +1
3b ⃗ +16
c ． (2) 由题意得 a ⋅c =9
2
，a ⋅b ⃗ =3，c ⋅b ⃗ =3，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c −a ，
故
OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12a +1
3b ⃗ +16
c )⋅(c −a )=−12a 2+1
6c 2+1
3a ⋅c +1
3b ⃗ ⋅c −1
3b ⃗ ⋅a
=−12×9+1
6×9+1
3×3×3×cos60∘
+1
3×2×3×cos60∘
−1
3×2×3×cos60∘
=−
32
【知识点】空间向量基本定理、空间向量的数量积运算
18. 【答案】
(1) 设 BC 1 与 B 1C 的交点为 E ，
取 BC 的中点 O ，连接 AO ，OE ． 因为 △ABC 是等边三角形， 所以 AO ⊥BC ．
在直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， 因为 BB 1⊥平面ABC ， 所以 平面BCC 1B 1⊥平面ABC ． 又 平面BCC 1B 1∩平面ABC =BC ，
所以 AO ⊥平面BCC 1B 1．
以 O 为坐标原点，分别以 OB ，OE ，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B (1,0,0)，B 1(1,2,0)，C (−1,0,0)，C 1(−1,2,0)，D(0,1,√3)，
所以 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)． 因为 {BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以 BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CD ． 又 B 1C ∩CD =C ，
所以 BC 1⊥平面B 1CD ．
(2) 因为 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)．
设平面 BCD 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )， 则 {
n ⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
即 {−x +y +√3z =0,x +y +√3z =0.
不妨取 z =1，得 n ⃗ =(0,−√3,1)． 设直线 DB 1 与平面 BCD 所成的角为 α．
因为 sinα=∣∣cos⟨DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣∣=∣∣DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣
∣∣DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣
∣n ⃗ ∣=√155， 所以直线 DB 1 与平面 BCD 所成角的正弦值为
√15
5
． (3) 由（Ⅰ）可知，平面 B 1CD 的法向量为 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)． 由（Ⅰ）可知，平面 BCD 的法向量 n ⃗ =(0,−√3,1)． 设二面角 B −CD −B 1 的平面角为 θ．
因为 ∣cosθ∣=∣∣cos⟨BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣∣=∣∣BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣
∣
∣BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣
∣⋅∣∣n ⃗ ∣
∣=√64
， 所以 sinθ=
√10
4
． 所以二面角 B −CD −B 1 的正弦值为
√10
4
． 【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题
19. 【答案】因为平行六面体的六个面均为平行四边形．
所以有 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
所以
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
=2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
又因为 AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．
【知识点】空间向量的加减运算
20. 【答案】由题图可得 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⋯⋯①
MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⋯⋯②
MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ．由① + ②得 2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故向量 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面．
【知识点】空间向量基本定理
21. 【答案】
(1) BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2)，
因为 c ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
所以设 c =(2n,n,−2n )（n 为实数），
故 ∣c ∣=√4n 2+n 2+4n 2=3∣n ∣=3，
解得 n =±1，
故 c =(2,1,−2) 或 c =(−2,−1,2)．
(2) a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0)，b ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，
ka +b ⃗ =(1−k,−k,−2)，
因为 ka +b ⃗ 与 b ⃗ 垂直，
所以 1−k +4=0，解得 k =5．
(3) 依题意知 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√1+1+0=√2，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√1+0+4=√5，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√22+12+22=3，
故由余弦定理得 cosA =2×√2×√5=√10，
所以 sinA =√1−cos 2A =3√10
10， 故三角形 ABC 的面积为 1
2⋅∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅sinA =12×√2×√5×3√1010=3
2．
【知识点】空间向量的坐标运算
22. 【答案】
(1) AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3,2)．
设 a =(x,y,z )，
因为 ∣a ∣=√3，且 a 分别与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，
所以 {√x 2+y 2+z 2=√3,
−2x −y +3z =0,x −3y +2z =0.
解得 {x =1,y =1,z =1 或 {x =−1,
y =−1,z =−1.
所以 a =(1,1,1) 或 a =(−1,−1,−1)．
(2) 因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
所以可设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )．
因为 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,−1)，
所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3λ,−2λ,−λ)．
又因为 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√14，
所以 √(3λ)2+(−2λ)2+(−λ)2=2√14， 解得 λ=±2，
所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−4,−2) 或 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,4,2)． 设点 P 的坐标为 (x,y,z )，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2,z −3)．
所以 {x =6,y −2=−4,z −3=−2 或 {x =−6,
y −2=4,z −3=2.
解得 {x =6,y =−2,z =1 或 {x =−6,
y =6,z =5.
故点 P 的坐标为 (6,−2,1) 或 (−6,6,5)．
【知识点】空间向量的坐标运算。