甘肃省天水一中2012-2013学年高二数学下学期第一学段考试试题 文 新人教A版

天水一中2011级高二第二学期第一学段考试试题
数 学（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，
有且只有一个是符合题目要求的）
1、2
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+i i =
A.1
B.-1
C.-i
D.i 2、函数[])3)(1(log 2x x y --=的定义域为（ ）
A ．)3,1(
B ．]3,1[
C ．),3()1,(+∞-∞
D ．}31|{≠≠x x x 且 3、直线12+=x y 的参数方程是（ ）。

A.⎩⎨⎧+==1
22
2
t y t x （t 为参数） B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）
C. ⎩⎨⎧-=-=121
t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨
⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 4、使不等式022
1
3>--x 成立的x 的取值范围是 A. ),2
3
(+∞ B. ),3
2
(+∞ C. ),3
1(+∞ D.1(,)3
-+∞. 5、如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( ) A ．
23π
B ．π2
C ．π3
D ．π4
6、某单位有老年人27 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 ( )
A ．6，12，18
B ．7，11，19
C ．6，13，17
D ．7，12，17 7、函数2
sin x
y =的周期是（ ） A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 8、曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。

A.
4)2(22=++y x B. 4)2(22=-+y x C. 4)2(22=+-y x
D.
4)2(22=++y x
9、动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线
10、设R k ∈，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是（ ） A ．),(k k b = B ．),(k k c --= C ．)1,1(22++=k k d D ．)1,1(22--=k k e
11、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A ．62n - B ．82n - C ．62n + D ．82n +
12、函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为________．
14、在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= 。

15、关于x 的不等式a x x ≥-+-64恒成立，则a 的范围是 。

16、已知椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a ，A 为左顶点，B 为短轴端点，F 为右焦点，且
BF AB ⊥，则这个椭圆的离心率等于 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。

）
17、（10分）在极坐标系中，已知圆θρcos 2=与直线0)sin 4cos 3(=++a θθρ相切，求实数a 的值．
18、（12分）在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为S c b a ，,,是该三角形的面积，且…
① ② ③
2
4cos sin cos 202
B
B B ⋅+=． （Ⅰ）求角B 的度数； （Ⅱ）若,35,4==S a 求b 的值． 19、（12分）数列{}n a 的前n 项和)(2+∈-=N n n n S n ， （1）判断数列{}n a 是否为等差数列，并证明你的结论； （2）设n
n S b 1
=
，且}{n b 的前n 项和为n T ，求n T ． 20、（12分）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，
⑴求证：DF ∥平面ABC ；⑵求证：AF ⊥平面BDF ． 21、（12分）已知函数x x x f ln 2
1)(2
+=
． （1）求函数)(x f 在[1，e]上的最大值、最小值
（2）求证：在),1[+∞区间上，函数)(x f 的图像在函数3
3
2)(x x g =
的图像下方． 22、（12分）已知1>m ，直线02:2=--m my x l ，椭圆1:222
=+y m
x C ，21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点．
（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，21F AF ∆，21F BF ∆的重心分别为H G ,．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
天水一中2011级高二第二学期第一学段考试数学（文科）试题答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A
C
B
A
A
D
B
D
C
C
C
二、填空题
13、18 14、32 15、2≤a 16、
2
5
1+-
三、解答题 17、82-=或a 18、（1）
3
π
（2）21
19、（1）当2≥n 时，221-=-=-n S S a n n n ；
当1=n 时，011==S a ，所以}{n a 是首项为0，公差为2的等差数列。

（2）1
1
1)1(11121
+-
=+=+=
=
+n n n n n n S b n n 所以 1
1111111141313121211+-=+-+--++-+-+-
=n n n n n T n 。

20、（1）证明：取AB 的中点E ，连接EF ，CE ， 因为F 是B A 1的中点，所以EF 是AB A 1∆的中位线， 所以12
1
AA EF =
，且1//AA EF ， 又因为D 是1CC 的中点，所以CD EF CD EF =且,//， 所以四边形CDFE 是平行四边形，所以CE DF //， 又CE 在平面ABC 中，所以DF ∥平面ABC
（2）因为AB ＝AA 1且F 是B A 1的中点，所以B A AF 1⊥， 又因为AB A CE 1平面⊥，且CE DF //，所以AB A DF 1平面⊥， 所以DF AF ⊥，所以AF ⊥平面BDF 。

21、（1）x
x x f 1)('
+
=，当],1[e x ∈时，0)('
>x f 所以)(x f 在],1[e x ∈上为增函数， 所以121)()(2max +==e e f x f ，2
1)1()(min ==f x f 。

（2）证明：设3232ln 21)(x x x x F -+=
，则)('x F =x
x x x x x x )21)(1(212++-=-+ 当),1[+∞∈x 时，0)('
<x F ，)(x F 在),1[+∞∈x 上为减函数，
且061
)1(<-=F ，故),1[+∞∈x 时，0)(<x F 所以 3232ln 21x x x <+，所以在),1[+∞∈x 上，函数)(x f 的图像在函数3
3
2)(x x g =的图
像下方。

22、（Ⅰ）解：因为直线
2
:0
2
m
l x my
--=
经过
2
F
2
2
,2
2
m
m
==
得又因为 1.
m>
所以m=故直线l
的方程为10.
x--=
（Ⅱ）解：设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，由
2
2
2
2
,
2
1
m
x my
x
y
m
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
消去x得
2
2
210
4
m
y my
+++=
则由
2
22
8(1)80
4
m
m m
∆=--=-+>，知28
m<
且有
2
1212
1
,.
282
m m
y y y y
+=-=-
由于
12
(,0),(,0)
F c F c
-故O为F1F2的中点，
由2,2
AG GO BH HO
==，可知
2
112
(,),(,)
3333
x y y
x
G H
22
21212
()()
||.
99
x x y y
GH
--
=+
设M是GH的中点，则1212
(,)
66
x x y y
M
++
由题意可知，2||||
MO GH
<
22
22
12121212
()()
4[()()]
6699
x x y y x x y y
++--
+<+
即
1212
0.
x x y y
+<而
22
12121212
()()
22
m m
x x y y my my y y
+=+++
2
2
1
(1)(),
82
m
m
=+-
所以
21
0.82
m -< 即2 4.m < 又因为10.m >∆>且所以1 2.m <<
所以m 的取值范围是（1，2）。