冀教版九年级数学上册第二十五章 图形的相似 测试题

冀教版九年级数学上册第二十五章图形的相似测试题
第二十五章 图形的相似
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．已知线段a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，若线段c 是a ，b 的比例中项，则c 的值为( )
A ．2 cm
B .4 cm
C .6 cm
D .±6 cm
2．如图25－Z －1，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( )
图25－Z －1
A ．6
B .9
C .12
D .15
3．如图25－Z －2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，点D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处．若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( )
图25－Z －2
A.12
B .2
C .3
D .4
A．2 cm2B.4 cm2 C.8 cm2D.16 cm2二、填空题(每小题4分，共24分)
7．已知a
b＝
5
7，则
a
a＋b
＝________，
a
a－b
＝
________.
8．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站在A处，那么他应至少再走________米才最理想．
9．如图25－Z－5，在四边形ABCD中，DE ∥BC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件________(不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB∽△ADE.
图25－Z－5
10．已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
AB
A1B1＝1
4，BC＝2 cm，C1D1＝16 cm，则B1C1＝
________cm，CD＝________cm.
11．如图25－Z－6，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的
三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O 为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2∶1，则点B的对应点B1的坐标是________．
图25－Z－6
12.如图25－Z－7，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3 m宽的亮区．已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE＝7 m，窗口高AB＝1.8 m，那么窗口底边离地面的高BC等于________．
图25－Z－7
三、解答题(共52分)
13．(8分)如图25－Z－8所示，已知AB∥EF∥CD.若AB＝6厘米，CD＝9厘米．求EF的长．
图25－Z－8
14．(12分)如图25－Z－9，在四边形ABCD
中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且AB AE
＝BC
ED＝AC AD.
(1)∠1与∠2相等吗？为什么？
(2)判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由．
图25－Z－9
15．(15分)如图25－Z－10，在四边形ABCD 中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求AC
AF的值．
图25－Z－10
16．(17分)猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形．已知△ABC中，AC＝40，BC＝30，∠C＝90°.
(1)如图25－Z－11①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；
(2)如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求出此正方形的边长；
(3)如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，请你求出此正方形的边长；
(4)猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形(它们组成的矩形内接于△ABC)，则此正方形的边长是多少？
图25－Z－11
教师详解详析
1．C
2．B[解析] ∵AB∥CD，∴BO
CO＝
AO
DO.∵AO
＝2，DO＝4，BO＝3，∴3
CO＝2
4，解得CO＝6，
∴BC＝BO＋CO＝3＋6＝9.故选B. 3．B
4．D[解析] ∵AB＝3AE，AD＝3AO，∴AB AE
＝AD
AO＝3.又∵∠EAO＝∠BAD，∴△AOE∽△
ADB，∴BD
OE＝
AB
AE＝3.∵OE＝40 cm，∴
BD
40＝3，
解得BD＝120(cm)．
5．D
6．C[解析] 长为8 cm，宽为4 cm的矩形的面积是32 cm2，留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，相似比是4∶8＝1∶2，因而面积的
比是1∶4，因而留下矩形的面积是32×1 4＝
8(cm2)．
故选C.
7.5
12－5 2
8．(30－105)
9．答案不唯一，如CF∥DA 10．8 4
11．(4，2)或(－4，－2)
12．2.4 m[解析] ∵BD∥AE，∴△CBD∽
△CAE，∴BC
AC＝
CD
CE，即
BC
BC＋1.8
＝
7－3
7，∴BC
＝2.4，即窗口底边离地面的高BC等于2.4 m.
13．解：在△ABC中，因为EF∥AB，
所以EF∶AB＝CF∶CB，①
同理，在△DBC中有EF∶CD＝BF∶CB，②
①＋②，得EF∶AB＋EF∶CD＝CF∶CB ＋BF∶CB＝1.③
设EF＝x厘米，又已知AB＝6厘米，CD＝9厘米，代入③，得
x∶6＋x∶9＝1，解得x＝18 5.
故EF＝18
5厘米．
14．解：(1)∠1与∠2相等．理由如下：在△ABC和△AED中，
∵AB
AE＝
BC
ED＝
AC
AD，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠2.
(2)△ABE与△ACD相似．理由如下：
由AB
AE＝
AC
AD，得
AB
AC＝
AE
AD.
在△ABE和△ACD中，
∵AB
AC＝
AE
AD，∠1＝∠2，
∴△ABE∽△ACD.
15．解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD∶AC＝AC∶AB，
∴AC 2＝AB ·AD .
(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴CE ＝EB ＝AE ，∴∠EAC ＝∠ECA . ∵∠DAC ＝∠CAB ，∴∠DAC ＝∠ECA ， ∴CE ∥AD .
(3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD ∶CE ＝AF ∶CF .
∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12
AB ＝3. ∵AD ＝4，∴43＝AF CF
，∴AC AF ＝74. 16.解：(1)如图①，作△ABC 的高CN 分别交GF ，AB 于点M ，N .
在Rt △ABC 中，∵AC ＝40，BC ＝30，∠C ＝90°，∴AB ＝50，CN ＝24.
由GF ∥AB ，得△CGF ∽△CAB ， ∴CM CN ＝GF AB
.
设此正方形的边长为x，则24－x
24＝
x
50，
解得x＝600 37，
即此正方形的边长为600 37.
(2)方法同(1)，如图②.
易证△CGF∽△CAB，则CM
CN＝
GF
AB.
设小正方形的边长为x，
则24－x
24＝
2x
50，解得x＝
600
49，
即此正方形的边长为600 49.
(3)如图③，作CN⊥AB交GF于点M，交AB于点N.
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴CM
CN＝
GF
AB.
设每个正方形的边长为x，
则24－x
24＝
3x
50，解得x＝
600
61.
即此正方形的边长为600 61.
(4)如图④，设每个正方形的边长为x，同理得到：
24－x 24＝nx
50，则x＝
600
12n＋25，
即此正方形的边长为
600
12n＋25
.。