三大数学流派之直觉主义学派

三大数学流派之直觉主义学派
直觉主义学派的主要代表人物是布劳威尔（Brouwer），直觉主义学派认为，集合悖论的出现不可能通过对已有数学作局部的修改和限制加以解决，而必须对数学作全面审视和改造。

他们所依据的可信标准是：“直觉上可构造性”。

其著名口号为“存在必须是被构造”。

直觉主义者的“直觉”，是指思维的本能，一种心智活动。

直觉主义的历史根源
直觉主义的思想可以追溯到亚里士多德时期，亚里士多德是历史上第一位反对实无穷，只承认潜无穷的哲学家。

直觉主义的哲学观点则是直接渊源于康德和布劳威尔的自然数源于“原始直觉”，即康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。

19世纪的克罗内克强调能行性，说当时好些定理都只是符号的游戏，没有实际意义。

他认为：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。

而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。

” 其意是说，只有自然数是真实存在，其余都只是人为做出的一些文字符号罢了。

他还主张在自然数的基础上来构造整个数学。

20 世纪初，庞加莱亦持自然数为最基本的直观及潜无穷的主张。

其他如包瑞尔、勒贝格、鲁金等半直觉主义或法国经验主义亦强调能行性的观念。

他们公开否认选择公理，认为根据选择公理而作的集合，根本没有能行性，不能承认其存在。

他们提出能行性的概念，没有能行性的便不承认其存在。

他们都是直觉主义的先驱。

所有这一切，都为布劳威尔的直觉主义提供了直接的前提，布劳威尔集其先驱们之大成，系统的提供了直觉主义的主张。

直觉主义的数学观思想
直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔，从1907 年布劳威尔的博士论文《数学的基础》开始，直觉主义者逐步系统的阐述了他们的数学观和重建数学基础的主张。

他的数学观包括以下几个方面：
(1) 他对数学对象的观点。

他提出一个著名的口号：“存在即是被构造。

”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人皆有的一种能力），纯粹数学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。

这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。

构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。

因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。

实无穷论者认为“ 自然数全体” 就是指自然数集{1，2，3，……} ，这是一个确实存在了的完成了的集合，可以而且应该作为数学研究的对象。

潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。

在他们看来，自然数1，2，3，……只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭实体。

所以，诸如“自然数全体”这样的概念是没有意义的。

(2)对数学所用的逻辑的观点。

布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点，认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具”，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去，同样不能使用反证法。

直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。

本世纪30年代以后，由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。

数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。

构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。

1967年，美国数学家毕肖普完成并出版《构造性分析》一书，开始了直觉主义学派的构造主义时期。

历史证明，三大流派都有各自的优点和缺陷，但是他们弥补了数学基础的很多不足，为数学的严密性提供了更加精确的符号和语言。

用G. H. Hardy的一句话来说就是：“Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.”。