【备考2015】(新课标)2014年高考数学三角函数模型的简单应用(含解析)

考点14 函数y=Asin （wx ϕ+）的图象及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.（2014·浙江高考文科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x 的图像（ ）
A ．向右平移12π个单位
B ．向右平移4π
个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π
个单位
【解题提示】 由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.
【解析】选A.因为
sin 3cos3)
4y x x x π
=+=-，故只需将y x =的图象向右平移12π个单位即可.
2.（2014·浙江高考理科·Ｔ4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）
A.向右平移4π个单位
B.向左平移4π
个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π
个单位
【解题指南】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象平移与变换解决.
【解析】选D.因为
sin 3cos3)
4y x x x π
=+=+，故只需将x y 3sin 2=的图象向左平移12π个单位即可.
3.（2014·安徽高考文科·Ｔ7）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.
8π B.4π C.83π D.4
3π
【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选C ，将函数()sin 2cos 2)4
f x x x x p
=+=+的图像向右平移ϕ个单位，所得函数
为())](
2)]44
f x x x p p
j j -+=+-，其图像关于y 轴对称，则()f x x ，
所以
2=+42
k p p j p -，所以ϕ的最小正值是38p .
4.（2014·四川高考理科·Ｔ3）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ） A.向左平行移动
21个长度单位 B. 向右平行移动2
1
个长度单位 C.向左平行移动1个长度单位 D. 向右平行移动1个长度单位
【解题提示】x y 2sin =−−−−−−−−
→1
向左平行移动个长度单位
2
1
sin[2()1]2
y x =++sin(21)x =+. 【解析】选 A. 将x y 2sin =的图象上所有的点向左平行移动
2
1
个长度单位得到函数1
sin[2()1]2
y x =++sin(21)x =+.故选A.
5.（2014·四川高考文科·Ｔ3）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）
A ．向左平行移动1个单位长度
B ．向右平行移动1个单位长度
C ．向左平行移动π个单位长度
D ．向右平行移动π个单位长度 【解题提示】sin y x =−−−−−−−−→向左平行移动1个长度单位
sin(1)y x =+.
【解析】选A. 只需把sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得到函数
sin(1)y x =+的图象，选A.
二、填空题
6. （2014·上海高考文科·Ｔ12）
[]sin 10,2______.x x π=方程在区间上的所有解的和等于
【解题提示】
ωϕ首先将左边函数化为Asin(x+)的形式，再根据三角函数的图像特点可求.
【解析】
152sin()1,sin(),2+
332366
117.
2637.
3
x x x x πππππππππ
π=+=+=+=令所以即或解得x=或，所以所有解的和为答案： 7.（2014·重庆高考文科·Ｔ13）将函数()sin()0,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛⎫
=+>-
≤<
⎪⎝
⎭
图象上每一点的
横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
6
π
个单位长度得到sin y x = 的图象，则6f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. 【解题提示】先根据三角函数图象变换求出,ωϕ的值，然后求出实数6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【解析】函数()sin()f x x ωϕ=+ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为
s i n (2y x ωϕ=+，再向右平移
6π
个单位长度得到的函数为s i n 2s i n 2s i n
63y x x x πωωϕωπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=
-+=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以21
2,3k k Z ωωπϕπ=⎧⎪
⎨-+=∈⎪⎩
又因为0,22ππωϕ>-≤<
可求得1,26πωϕ=
= ，所以1
()sin 2
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以1sin sin 62664f ππππ⎛⎫⎛⎫=∙+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
答案：
2
三、解答题
8. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
错误！未找到引用源。

t-sin 错误！未找到引用源。

t,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度. (2)求实验室这一天的最大温差.
【解题指南】(1)将
π12t-sin π
12
t 化为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式,然后代入x=8求值. (2)由(1)可求得这一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差. 【解析】
π812⨯()-sin π
812
⨯()
2π3-sin 2π
3
1
()2
-
故实验室上午8时的温度为10℃.
(2)因为f(t)=π1π10sin )12212
t t -+ =10-2sin ππ
(
)123
t +. 又0≤t<24, 所以
π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin ππ
()123
t +≤1. 当t=2时,sin ππ
(
)123
t +=1; 当t=14时,sin ππ
(
)123
t +=-1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃. 9. （2014·湖北高考理科·Ｔ17）某实验室一天的温度（单位：o
C ）随时间（单位;h ）的变化近似满
足函数关系：(t)10sin
,[0,24).12
12
f t t t π
π
=--∈
(1) 求实验室这一天的最大温差；
(2) 若要求实验室温度不高于11o
C ，则在哪段时间实验室需要降温？
【解题指南】（Ⅰ）将ππ
()10sin 1212
f t t t =-化为错误！未找到引用源。

的形式， 可求得只一天的温度最大值和最小值，进而求得最大温差。

123t π
π--（）＜
【解析】（Ⅰ）因为1(t)102(t sin t)102sin(t )212212123
f ππππ
=-+=-+ 又0t 24≤< 当t 2=时，sin(
t )1123ππ+=；当t 14=时，sin(t )1123
ππ
+=-。

于是(t)f 在[0,24)上取得最大值12o
C ，取得最小值8o
C .
故实验室这一天最高温度为12o
C ，最低温度为8o
C ，最大温差为4o
C 。

（Ⅱ）依题意，当(t)11f >时实验室需要降温 由（1）得(t)102sin(t )123f ππ=-+，故有102sin(t )11123
ππ
-+>
即1
sin(
t )1232
π
π+<-。

又024t ≤<，因此711t 61236
ππππ<+<，即1018t <<。

在10时至18时实验室需要降温。

10.（2014·福建高考文科·Ｔ18）．（本小题满分12分）已知函数
()2cos (sin cos )f x x x x =+.
（1）求
5(
)4
f π
的值； （2）求函数
()f x 的最小正周期及单调递增区间.
【解题指南】（1）直接将
54
π
带入到解析式求值．（2）利用三角恒等变换将函数()f x 解析式化简，再利用正弦型函数的性质求解． 【解析】18.解法一：（1）5555(
)2cos (sin cos )4444
f ππππ=+ 2cos
(sin
cos )4
44
π
π
π
=---2=
（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14
x π
=++.
所以22
T π
π==. 由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππ
ππ-+∈. 解法二：
因为2
()2sin cos 2cos f x x x x =+ sin 2cos 21x x =++ )14
x π
=
++
（1）511()112444f πππ=+=+= （2）22
T π
π== 由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88
k k k Z ππ
ππ-+∈. 11.（2014·福建高考理科·Ｔ16）．（本小题满分13分） 已知函数
1
()cos (sin cos )2
f x x x x =+-.
（1）若02
π
α
<<
，且sin 2
α=
，求()f α的值；
（2）求函数
()f x 的最小正周期及单调递增区间.
【解题指南】⑴先由平方关系式求出cos α；⑵运用降幂公式，辅助角公式进行化简，再研究性质． 【解析】解法一：
(1)∵02απ<<
，sin 2
α=，∴cos 2α=，………………3分
∴11()22
f α=
+-=；……………………………………5分 (2)∵2
1()sin cos cos 2f x x x x =+-
11cos21
sin 2222
x x +=+-
11sin 2cos222x x =+)4
x π
=+，……………………………9分 ∴2T π=
=π2，由222242k x k ππππ-≤+≤π+，得k x k 3πππ-≤≤π+88
，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为[,]k k 3ππ
π-π+88
，k ∈Z .…………………………13分 解法二：2
1()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos21sin 2222
x x +=+
-
11sin 2cos222x x =+)24
x π
=+，…………………………………4分
(1)∵02απ<<
，sin 2
α=，∴4απ=，………………………………………6分
∴1
())442
f ααπ3π=+==；……………………………9分 (2)2T π=
=π2，由222242k x k ππππ-≤+≤π+，得k x k 3πππ-≤≤π+88
，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为[,]k k 3ππ
π-π+88
，k ∈Z (13)。