2020优化方案高考总复习文科数学学案及第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

了解任意角的概念.
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1,sin x cos x
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能画出y＝sin x,y＝cos x,y＝tan x的图象,了解三角函数的了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式
常用知识拓展 1．象限角
2．轴线角
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2,则tan α＞sin α.( )
(6)若α为第一象限角,则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 下列与9π
4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A ．2k π＋45°(k ∈Z )
B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )
C ．k ·360°－315°(k ∈Z )
D ．k π＋5π
4
(k ∈Z )
解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度,应为π
4＋2k π或
k ·360°＋45°(k ∈Z )．
若点
⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π
6在角α的终边上,则sin α的值为( ) A ．－
3
2
B ．－12
C ．12
D ．
32
解析：选A.因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6,即⎝⎛⎭⎫12，－3
2,所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α＝－
3
2
,故选A. (教材习题改编)若θ满足sin θ＜0,cos θ＞0,则θ的终边在第________象限．
解析：由sin θ<0可知θ为第三或第四象限角,同样由cos θ>0可知θ为第一或第四象限角,综上同时满足sin θ<0且cos θ>0的θ为第四象限角．
答案：四
已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r , 由题意得π
3r ＝2π,所以r ＝6,
所以此扇形的面积为1
2×2π×6＝6π.
答案：6π
象限角及终边相同的角(典例迁移)
(1)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π
2
,k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
(2)若角α是第二象限角,则α
2是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第三象限角
D ．第二或第四象限角
【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时,2n π＋π4≤α≤2n π＋π2,n ∈Z ,此时α的终边和π4≤α≤π
2的终
边一样；当k ＝2n ＋1时,2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2,此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π
2的终边
一样．故选C.
(2)因为α是第二象限角,所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π,k ∈Z ,所以π4＋k π＜α2＜π
2＋k π,k ∈Z .当
k 为偶数时,α2是第一象限角；当k 为奇数时,α
2
是第三象限角．
【答案】 (1)C (2)C
[迁移探究] (变问法)在本例(2)的条件下,判断2α为第几象限角？
解：因为α是第二象限角,所以90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z ),则180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z ),所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间；
③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°,k ∈Z )的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[提醒] 注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边,类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z ),
则令－720°≤45°＋k ×360°<0°,
得－765°≤k ×360°<－45°,解得－765360≤k <－45
360,
从而k ＝－2和k ＝－1,
代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°
2．若sin α·tan α<0,且cos α
tan α
<0,则α是第________象限角．
解析：由sin α·tan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角；由cos α
tan α<0,可
知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角．综上,α为第三象限角．
答案：三
扇形的弧长、面积公式(师生共研)
已知扇形的圆心角是α ,半径为R ,弧长为l . (1)若α＝60°,R ＝10 cm,求扇形的弧长l ；
(2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π
3,
l ＝10×π3＝10π
3
(cm)．
(2)由已知得,l ＋2R ＝20,则l ＝20－2R ,0<R <10, 所以S ＝12lR ＝1
2(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25,
所以当R ＝5时,S 取得最大值25, 此时l ＝10 cm,α＝2 rad.
弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ,扇形的面积公式是S ＝12lr ＝1
2|α|r 2(其中l 是扇形的弧
长,α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．
1．已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8
D ．1
解析：选A.设扇形的弧长为l ,则1
2l ·2＝8,
即l ＝8,所以扇形的圆心角的弧度数为8
2
＝4.
2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的23,面积等于圆面积的5
27,则扇形
的弧长与圆周长之比为________．
解析：设圆的半径为r ,则扇形的半径为2r 3,记扇形的圆心角为α,则12α⎝⎛⎭⎫2r 32
πr 2＝527,所以α＝5π
6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·
2r
32πr ＝5
18
.
答案：5
18
三角函数的定义(多维探究
) 角度一 利用三角函数定义求值
已知α是第二象限的角,其终边的一点为P (x ,5),且cos α＝
2
4
x ,则tan α＝( ) A ．
155 B ．
153 C ．－155
D ．－
153
【解析】 因为α是第二象限的角,其终边上的一点为P (x ,5),且cos α＝2
4
x ,所以x ＜0,cos α＝
x x 2
＋5＝24
x ,解得x ＝－3,所以tan α＝5－3＝－15
3.
【
答案】 D
角度二 判断三角函数值的符号
若sin αcos α>0,cos αtan α<0,则α的终边落在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 由sin αcos α>0,得α的终边落在第一或第三象限,由cos αtan α＝cos α·sin α
cos α
＝
sin α<0,得α的终边落在第三或第四象限,综上α的终边落在第三象限．故选C.
【答案】 C
(1)定义法求三角函数值的三种情况
①已知角α终边上一点P 的坐标,可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离,再用三角函数的定义求解；
②已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值；
③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(2)三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角α终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
[提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．
1．点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π
3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，32
B.⎝
⎛⎭⎫
－
32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12
，－32
D.⎝
⎛⎭
⎫－
32，12 解析：选A.由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ,y )满足x ＝cos 2π3＝－12,y ＝sin 2π3＝3
2.
所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭
⎫－12，3
2.
2．角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边在直线y ＝2x 上,则tan 2θ＝( )
A ．2
B ．－4
C ．－34
D ．－43
解析：选D.设P (a ,2a )是角θ终边上任意一点(a ≠0),由任意角三角函数定义知tan θ＝
y
x ＝2a a ＝2,故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ
＝－43.
数形结合思想在三角函数中的应用
若－
3π4<α<－π
2
,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小关系是( )
A ．sin α<tan α<cos α
B ．cos α<sin α<tan α
C ．sin α<cos α<tan α
D ．tan α<sin α<cos α
【解析】 如图所示,作出角α的正弦线MP ,余弦线OM ,正切线AT ,因为－3π4<α<－π
2,
所以α终边位置在图中的阴影部分,观察可得AT >OM >MP ,故有sin α<cos α<tan α.
【答案】 C
(1)数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：
①“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质；
②“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确．
(2)本例利用三角函数线比较三角函数值的大小,还可利用三角函数线解不等式．
已知点P (sin α－cos α,tan α)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫
π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫
π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2
D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π
解析：选B.因为点P 在第一象限,
所以⎩
⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.
由tan α>0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆．
又sin α>cos α,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫
π，5π4.
[基础题组练]
1．将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.π
3 B.π6 C ．－π3
D ．－π6
解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角．故A 、B 不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的1
6
.
即为－16×2π＝－π3
.
2．已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：选C.设扇形的半径为r ,弧长为l ,则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝1
2r 2×4,
求得r ＝1,l ＝αr ＝4,
所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.
3．若角α的终边在直线y ＝－x 上,则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°－45°,k ∈Z } B ．{α|α＝k ·2π＋3π
4,k ∈Z }
C ．{α|α＝k ·180°＋3π
4,k ∈Z }
D ．{α|α＝k ·π－π
4
,k ∈Z }
解析：选D.由图知,角α的取值集合为{α|α＝2n π＋3π4,n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π
4,n ∈Z }
＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4,n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π
4,n ∈Z }
＝{α|α＝k π－π
4
,k ∈Z }．
4．已知在平面直角坐标系xOy 中,α为第二象限角,P (－3,y )为其终边上一点,且sin α＝2y
4
,则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5
D.3或 5
解析：选C.由题意知|OP |＝3＋y 2,且sin α＝y 3＋y 2
＝2y 4,则y ＝0(舍去)或3＋y 2＝22,得y ＝±5,又α为第二象限角,所以y >0,则y ＝5,故选C.
5．与角2 020°的终边相同,且在0°～360°内的角是________．
解析：因为2 020°＝220°＋5×360°,所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.
答案：220°
6．函数y ＝sin x －32
的定义域为________．
解析：由题意可得sin x －
32≥0即sin x ≥32.作直线y ＝32交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x
的终边的范围,故满足条件的角x 的集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3
,k ∈Z }． 答案：⎣
⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3,k ∈Z 7．已知一个扇形的圆心角为3π4,面积为3π2
,则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0),由3π2＝12×3π4
×r 2,得r ＝2. 答案：2
8．已知角θ的终边上有一点P (x ,－1)(x ≠0),且tan θ＝－x ,求sin θ＋cos θ的值． 解：因为角θ的终边过点(x ,－1)(x ≠0),
所以tan θ＝－1x
,又tan θ＝－x , 所以x 2＝1,所以x ＝±1.
当x ＝1时,sin θ＝－22,cos θ＝22
, 此时sin θ＋cos θ＝0；
当x ＝－1时,sin θ＝－22,cos θ＝－22
, 此时sin θ＋cos θ＝－ 2.
[综合题组练]
1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|
的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选B.由α＝2k π－π5
(k ∈Z )及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限, 又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,
所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
所以y ＝－1＋1－1＝－1.
2．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中,AB ︵,CD ︵,EF ︵,GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如
图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边．若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是(
)
A.AB ︵
B.CD ︵
C.EF ︵
D.GH ︵
解析：选C.设点P 的坐标为(x ,y ),利用三角函数的定义可得y x
<x <y ,所以x <0,y >0,所以P 所在的圆弧是EF ︵,故选C.
3．已知x ∈R ,则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．
解析：在[0,2π]区间内,由三角函数线可知,当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4时,sin x >cos x ,所以在(－∞,
＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是⎝
⎛⎫2k π＋π4，2k π＋5π4,k ∈Z . 答案：⎝
⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4,k ∈Z 4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为________．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r ,R (其中r ＜R ),则12αr 212
αR 2＝14, 所以r ∶R ＝1∶2,两个扇形的周长之比为2r ＋αr 2R ＋αR
＝1∶2. 答案：1∶2。