电子教案-工业机器人技术基础(双元教育)电子课件-延伸阅读-圆弧轨迹规划

由平面几何知识可知，任意不共线的三点可确定一个圆。

如下图1所示，设空间中存在不共线三点 P 1=[x 1,y 1,z 1]、 P 2=[x 2,y 2,z 2]、P 3=[x 3,y 3,z 3]。

由三点确定的平面为 P 123，三点构成圆所在平面的方程为：
k 11x +k 12y +k 13z +k 14=0 （1-1）
式中：
k 11=(y 1−y 3)(z 2−z 3)−(y 2−y 3)(z 1−z 3);
k 12=(x 2−x 3)(z 1−z 3)−(x 1−x 3)(z 2−z 3);
k 13=(x 1−x 3)(y 2−y 3)−(x 2−x 3)(y 1−y 3);
k 14=−(k 11x 3+k 12y 3+k 13z 3);
图1 圆弧轨迹规划
设P 12为P 1和P 2的垂直平分面，则P 12的方程为：
k 21x +k 22y +k 23z +k 24=0 （1-2）
式中：
k 21=x 2−x 1
k 22=y 2−y 1
k 23=z 2−z 1
k 24=−(x 22−x 12)+(y 22−y 12)+(z 22−z 12)2
设P 23为P 2和P 3的垂直平分面，则P 23的方程为：
k 31x +k 32y +k 33z +k 34=0 （1-3）
式中：
k 31=x 3−x 2
k 32=y 3−y 2
k 33=z 3−z 2
k 34=−(x 32−x 22)+(y 32−y 22)+(z 32−z 22)2
平面P 123、P 12、P 23的交点即为轨迹圆弧的圆心。

根据公式（1-1）、（1-2）、（1-3）可以列出轨迹圆弧的圆心 p 0=[x 0,y 0,z 0]的坐标方程:
[k 11k 12k 13k 21k 22k 23k 31
k 32k 33][x 0y 0z 0
]=[−k 14−k 24−k 34] (1-4) 并可以求出圆心坐标： [x 0y 0z 0]=[k 11k 12k 13k 21k 22k 23k 31
k 32k 33]−1[−k 14−k 24−k 34] (1-5)
进而可求出圆弧半径：
r=√(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2 (1-6) 使O1X1的方向与平面P123的法向量方向一致，以O1为原点建立新的坐标系O1X1Y1Z1。

由于平面 P123的方向系数分别为 k11，k12，k13，则 O1Z1在基坐标系中的方向余弦为:
a1=[11
√k11+k12+k13
12
√k11+k12+k13
13
√k11+k12+k13
] (1-7)。