高二数学月考试题及答案-济宁市金乡一中2012-2013学年高二2月月考(文)

金乡一中2012—2013学年高二2月月考数学（文）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将所选答案填在答题卷．．．中对应位置.） 1．直线01343=-+y x 与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是： ( ) A ． 相离 B ．相交 C ．相切 D ．无法判定 2．与圆035222=--+x y x C ：同圆心，且面积为圆C 面积的一半的圆的方程为 ( ) A ．3)1(22=+-y x B ．6)1(22=+-y x C ．9)1(22=+-y x
D ．18)1(22=+-y x
3． 若实数x y ，满足
10
00x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
,则23z x y =+的最大值是( )
A ． 0
B ． 1
2
C ． 2
D ． 3
4．已知椭圆22
1(0,0)
x y m n m n +=>>的长轴长为10，离心率
35e =，则椭圆的方程是( ) A ．2212516x y +=或22
11625x y +=
B ．221169x y +=或22
1916x y += C ．221259x y +=或22
1925x y +=
D ．22110025x y +=或22
125100x y +=
5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ． 若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ． 若l α//，m α//，则l m //
6． 点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1x =-的距离之和
的最小值是( )
A
B
．2
7． 已知直线2y kx =+和椭圆22
236x y +=有两个公共点，则k 的取值范围( )
A
．
k <
或k > B
．k << C
．k ≤
或k ≥ D
．k ≤≤
8．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
a ，且长为a
1
则a 的取值范围是( )
A
．(1
B ．
C ．
D ． 9．不等式10x ->成立的充分不必要条件是 ( )
A ．10x -<<或1x >
B ．01x <<
C ．2x >
D ．1x > 10.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,11
,,2
AB AC AB AC AA ⊥==
,D M 分别是是1,AA BC 的中点,则DM 与侧面11B
BCC 所成的角正弦值为
( ) A.
11．设α表示平面，b a ,表示直线，给出下列四个命题： ①αα//,//b b a a ⇒⊥； ②αα⊥⇒⊥b a b a ,//； ③αα⊂⇒⊥⊥b b a a ,； ④b a b a //,⇒⊥⊥αα。

其中正确命题的序号是 ( )
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①③
12． 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M ),
交y 轴于点P
，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ） A ．
B ． 2
C ．
D ．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．过圆2
2
1x y +=上点1(,2的切线方程为 ．
14． 直线2,
1x t y t =+⎧⎨
=--⎩
(t 为参数)与曲线
3c o s 3s i n
x y =α
⎧⎨
=α⎩(α为参数)的交点个数为 . 15． 如图，过抛物线()
220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点，交其
准线于点C ，若
3
AF =，且2CB BF =，则此抛物线的方程为 .
16．在平面直角坐标系中，设点(,)P x y ，定义坐标原点O 与点(,)P x y 之间的“出租车距离”为
[]OP x y
=+，对于下列结论：①符合[]
1OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为2；
②设P 为直线220y +-=上任意一点，则[]OP 的最小值为1；③设点P 为直线
(,)
y kx b k b R =+∈上的任意一点，则“使得[]OP 取最小值的点P 有无数个”的必要不充分条
件是“1k =±”．
其中正确的结论有 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分10分）
已知命题p ：“对任意实数x 都有2
10ax ax ++>恒成立”,命题q ：“方程
22(1)(3)a x a y -+-(3)(1)
0a a ---=表示焦点在
x 轴上的椭圆”． （1）若命题p 是真命题,求实数a 的取值范围；
（2）若命题p ,q 中有且只有一个真命题，求实数a 的取值范围．
18． （本小题满分12分）
已知圆C 过点(1,1)P ,且与圆M :222
(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由． 19．（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，(0)AB PA tBC t ==>． （1）当1t =时，求证：BD PC ⊥；
（2）若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥，求此时二面角A PD Q --的余弦值．
A
P
B
D
C
Q
20．（本小题满分12分）
已知点A 是抛物线22(0)y px p =>上一点，点F 为抛物线的焦点，准线
l 与x 轴交于点K ，
已知
AK =，三角形AFK 的面积等于8．
（1）求p 的值；
（2）过该抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与抛物线相交得两条弦，设两条弦 的中点分别为,G H ，求GH
的最小值．
21．（本小题满分12分）
如下图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面
ABCD ，PD=DC ，E 是PC
的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． 求证：(1) PA//平面EDB ；
(2) PB ⊥平面EFD ．
22. （本小题满分12分）
已知圆221:4,C x y +=圆222:25.C x y +=点O 为坐标原点,点M 是圆2C 上的一动点,线 段OM 交圆1C 于,N 过点M 作x 轴的垂线交x 轴于0M ,过点N 作0M M 的垂线交0M M 于.P
(1)当动点M 在圆2C 上运动时,求点P 的轨迹C 的方程. (2)设直线:5
x
l y m =+与轨迹C 交于不同的两点,求实数m 的取值范围. (3)当5
m =
时,直线l 与轨迹C 相交于,A B 两点, 求OAB ∆的面积.
参考答案：
1-5 CDDAB 6-10 CADCD 11-12 BD
13．20x -=(注意系数可变)； 14．2； 15．2
3y x =； 16．①③．
第21题图
B
A
D
C
E
F
P
17．解：（1）命题p 是真命题，对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立
⎩⎨
⎧<∆>=⇔00
0a a 或40<≤⇔a ；
（2）命题q 为真，则
30
10
1231a a a a a ->⎧⎪
->⇒<<⎨⎪->-⎩
，命题p ,q 中有且只有一个真命题，求实数a 的
取值范围为01a ≤≤或24a ≤<．
18．解：（1）设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩
则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=
（2）由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,
:1(1)PB y k x -=--,由2
21(1)
2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= ,
因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得
2221
1A k k x k --=
+, 同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k
所以,直线AB 和OP 一定平行．
19．解：（1）当1t =时，底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥ 又因为BD AP ⊥,BD PAC ⊥又PC PAC ⊂面BD PC ⊥．
（2）二面角A PD Q --
的余弦值为．
20．解：（1）设
()
00,A x y ，因为抛物线的焦点
,0,,,0,222p p p F l x K AM l M
⎛⎫
⎛⎫=--⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭准线的方程为：作于，
则
0,2p
AM x AF =+
=
AK AK AKM ==∆又得，即为等腰直角三角形
，
00000,,222p p p KM AM x y x A x x ⎛
⎫∴==+∴=++ ⎪
⎝
⎭,即，而点A 在抛物线上， 2
0002,,.
222p p p x px x A p ⎛⎫⎛⎫
∴+=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是又2
0118, 4.222AFK
p S KF y p p p ∆=⋅=⋅⋅==∴=
（2）由
x y 82=，得)0,2(F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且都不为0． 设1l 的方程为)2(-=x k y ，则2l 的方程为)
2(1
--=x k y ．
由 28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得244(2,)G k k +，同理可得
2
(24,4)H k k +- 则
2
22
244(
4)(4)GH k k k k =-++
=
42421116()k k k k +
++64≥．（当且仅当
221k k =时取等号） 所以||GH 的最小值是8．
21. 证明：
（1）连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ．
∵ 底面ABCD 是正方形，∴ 点O 是AC 的中点． 在△PAC 中，EO 是中位线，∴ PA//EO ． 而EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ， 所以，PA//平面EDB ．
（2）∵ PD ⊥底面ABCD ，且DC ⊂底面ABCD ，
∴ PD ⊥DC.
∵ 底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC, ∴ BC ⊥平面PDC ． 而D E ⊂平面PDC ，∴ BC ⊥DE.
又∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴ DE ⊥PC. ∴ DE ⊥平面PBC ．
而PB ⊂平面PBC ，∴ DE ⊥PB ． 又EF ⊥PB ，且DE
EF E =，
第21题图
B
A
D
C
E
F
P
Ｏ
所以PB ⊥平面EFD ．
22.解(1)设点(,)P x y .则(,),(,)M N M x y N x y .从而(,),(,)M N OM x y ON x y ==
因为52OM ON =
,所以5(,)(,)2M N x y x y =.即55,.22N M x x y y ==所以5
(,)2
M x y . 点M 在圆2C 上,所以2
25()252x y +=.整理得点P 的轨迹C 的方程：
22 1.254
x y += (2)联立22
1.254 5x y x y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消y 得到22
25200x mx m ++-=.
因为直线:5
x
l y m =+与轨迹C 交于不同的两点,所以22(2)4(520)0,m m ∆=-->
即2
5.m <所以实数m
的取值范围为(
(3)(方法1)
直线:55
x l y =
+设1122(,),(,)A x y B x y ,
联立22
1.2545x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消x
得到2
1905x x +-=.
则121219.5x x x x +=-=-
AB ==
===
直线:50.l x y -=设O 到直线AB 的距离为,d 则d
=
=
1122OAB S AB d ∆===
(方法2)
直线:55
x l y =+设直线l 与x 轴交于点Q ,
则(Q OQ =. 设1122(,),(,)A x y B x y ,
则1211
.22OAB OQA OQB S S S OQ y OQ y ∆∆∆=+=
+
12121211()22OQ y y OQ y y y y =+=-=-
联立22
1.254
5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消x
得到225160y +-=.
则121216.2525y y y y +=-=-
1225
y y -==
所以122255
OAB S y ∆=-==。